1
00:00:01,030 --> 00:00:05,980
Eu recebi a sugestão para que fizesse
problemas antigos do exame AP,

2
00:00:05,980 --> 00:00:08,194
e procurando na internet vejam só!

3
00:00:08,194 --> 00:00:11,333
no site do college board,
em collegeboard.com

4
00:00:11,333 --> 00:00:14,380
você pode - eu não encontrei as
questões de múltipla escolha,

5
00:00:14,380 --> 00:00:16,760
mas encontra-se questão
com resposta livre, então

6
00:00:16,760 --> 00:00:19,790
essa questão é a primeira questão
com resposta livre

7
00:00:19,790 --> 00:00:22,490
que está em Cálculo BC e

8
00:00:22,490 --> 00:00:24,499
foi aplicada recentemente,
em 2008.

9
00:00:24,499 --> 00:00:25,990
Vamos resolver esse problema.

10
00:00:25,990 --> 00:00:28,975
Mas sério, se você sabe resolver
todos os problemas livres

11
00:00:28,975 --> 00:00:33,240
você deve se sair muito bem nos
problemas de múltipla escolha

12
00:00:33,240 --> 00:00:35,645
porque as questões parecem
ser mais desafiadores

13
00:00:35,645 --> 00:00:36,980
especialmente a última parte

14
00:00:36,980 --> 00:00:38,260
das questões livres.

15
00:00:38,260 --> 00:00:39,842
Bem, vamos fazer este aqui.

16
00:00:39,842 --> 00:00:43,010
Vou ler porque não quero escrever
o problema todo aqui, mas

17
00:00:43,010 --> 00:00:44,632
esta é a mesma figura do problema.

18
00:00:44,632 --> 00:00:47,667
Eu copiei e colei a partir do PDF

19
00:00:47,667 --> 00:00:50,360
que eles fornecem em collegeboard.com.

20
00:00:50,360 --> 00:00:54,412
Que r - isso é r - seja a região limitada

21
00:00:54,412 --> 00:00:57,390
pelo gráfico de y igual a
seno do pi vezes x.

22
00:00:57,390 --> 00:00:58,850
Vou escrever essa parte.

23
00:00:58,850 --> 00:01:18,567
Esse gráfico de cima é
y igual a sen (pi*x)

24
00:01:19,652 --> 00:01:23,017
Deixe-me colocar entre parêntesis.

25
00:01:23,017 --> 00:01:28,885
E o gráfico de baixo é y igual
a x ao cubo menos quatro x.

26
00:01:29,363 --> 00:01:37,205
Então, este fica y = x^3 - 4x.

27
00:01:37,205 --> 00:01:39,320
E como eu sei qual é o gráfico de baixo?

28
00:01:39,320 --> 00:01:41,567
Sabemos que este é seno de pi x, certo?

29
00:01:41,567 --> 00:01:42,865
Pois seno parece com isso.

30
00:01:42,865 --> 00:01:44,910
Mas não se parece com isto aqui, né?

31
00:01:44,910 --> 00:01:48,468
Quando seno de pi é zero,
seno de zero é zero

32
00:01:48,468 --> 00:01:50,219
e sendo de dois pi é zero.

33
00:01:50,219 --> 00:01:51,760
Já sabíamos que é seno de pi x.

34
00:01:51,760 --> 00:01:56,394
Eles querem - essa é a região
entre essas duas funções

35
00:01:56,394 --> 00:02:00,572
e a parte A desse problema - essa
é a pergunta café com leite

36
00:02:00,572 --> 00:02:03,220
para garantir que sabem fazer
integrais definidas, e diz

37
00:02:03,220 --> 00:02:07,040
encontre a área de r.

38
00:02:07,040 --> 00:02:08,890
E como fazemos isso?

39
00:02:08,890 --> 00:02:11,800
Você sabe que usaremos a 
integral definida.

40
00:02:11,800 --> 00:02:13,290
Vamos lá.

41
00:02:13,290 --> 00:02:15,780
Então vamos calcular a integral definida

42
00:02:15,780 --> 00:02:22,333
digamos que a área é igual a
- eu não sei se -

43
00:02:22,333 --> 00:02:25,000
espero estar escrevendo num tamanho bom.

44
00:02:25,000 --> 00:02:28,833
A área será igual a integral definida de

45
00:02:28,833 --> 00:02:30,150
Quais são os valores de x?

46
00:02:30,150 --> 00:02:32,266
Nós saímos de x igual a zero

47
00:02:32,266 --> 00:02:34,954
à x igual a dois.

48
00:02:34,954 --> 00:02:38,364
Então vai de zero a dois.

49
00:02:38,873 --> 00:02:40,330
E o que é isso?

50
00:02:40,330 --> 00:02:44,510
Em qualquer valor de x,
o que será a mais alta

51
00:02:44,510 --> 00:02:46,000
estamos calculando a área,

52
00:02:46,000 --> 00:02:50,077
ou seja, vários retângulos com
largura igual a dx, certo?

53
00:02:50,534 --> 00:02:53,532
Isso não está bem escuro, não acho
que vocês conseguem ver

54
00:02:53,532 --> 00:02:55,750
bem aqui está um dos meus retângulos.

55
00:02:55,750 --> 00:02:56,890
Whoops.

56
00:02:56,890 --> 00:03:00,730
Digamos que um destes retângulos aqui

57
00:03:00,730 --> 00:03:02,070
que vou somar um ou outro.

58
00:03:02,070 --> 00:03:04,110
Tenha largura igual a dx.

59
00:03:04,110 --> 00:03:06,220
Qual a sua altura?

60
00:03:06,220 --> 00:03:09,440
A altura é igual a função do topo menos

61
00:03:09,440 --> 00:03:12,340
a função do fundo.

62
00:03:12,340 --> 00:03:15,240
Assim, nós vamos calcular a soma
de todos esses retângulos.

63
00:03:15,240 --> 00:03:20,365
e suas alturas serão iguais a -
vou escolher as cores

64
00:03:20,667 --> 00:03:22,670
a altura é igual a função do topo

65
00:03:22,670 --> 00:03:24,500
menos a função do fundo.

66
00:03:24,500 --> 00:03:34,000
Seno de pi x, entre parêntesis,

67
00:03:34,000 --> 00:03:35,720
menos a função do fundo.

68
00:03:35,720 --> 00:03:40,250
Portanto menos x ao cubo mais quatro x.

69
00:03:42,810 --> 00:03:47,270
Como estamos subtraindo, eu
troquei ambos os sinais.

70
00:03:47,270 --> 00:03:51,010
E tudo isso vezes a largura de cada
um desses pequenos retângulos

71
00:03:51,010 --> 00:03:54,670
que são infinitesimalmente pequenos - dx.

72
00:03:54,670 --> 00:03:56,180
Nós somaremos todos eles desde

73
00:03:56,180 --> 00:03:59,510
x igual a zero à x igual a dois.

74
00:03:59,510 --> 00:04:01,610
Isto deve ser bem simples para vocês.

75
00:04:01,610 --> 00:04:02,850
E como calculamos isso?

76
00:04:02,850 --> 00:04:06,047
Tomamos a integral disso e

77
00:04:06,047 --> 00:04:08,870
calculamos ela para dois
e então para zero.

78
00:04:08,870 --> 00:04:12,590
Qual a anti-derivada de seno de pi x?

79
00:04:12,590 --> 00:04:17,900
Será a função cuja derivada é seno de x.

80
00:04:17,900 --> 00:04:19,100
Cosseno de x - vejamos.

81
00:04:19,100 --> 00:04:21,420
Se vamos tomar a derivada de cosseno

82
00:04:21,420 --> 00:04:24,960
digamos a derivada de cosseno de pi x.

83
00:04:24,960 --> 00:04:27,090
Isso deve ser algo familiar para vocês.

84
00:04:27,090 --> 00:04:31,806
Cosseno de pi x, se eu fosse
calcular a derivada disso

85
00:04:32,766 --> 00:04:34,200
o que eu teria?

86
00:04:34,200 --> 00:04:36,110
Isso é igual a pi.

87
00:04:36,110 --> 00:04:38,052
Essa é a derivada do que
está dentro, né?

88
00:04:38,052 --> 00:04:39,120
Pela regra da cadeia.

89
00:04:39,120 --> 00:04:43,130
Então é pi vezes a derivada de tudo isso.

90
00:04:43,130 --> 00:04:46,230
A derivada de cosseno de x
é menos seno de x

91
00:04:46,230 --> 00:04:53,801
logo a derivada disso será
vezes menos seno de pi x

92
00:04:54,061 --> 00:05:01,294
ou pode-se dizer que isso é igual
a menos pi seno de pi x.

93
00:05:02,080 --> 00:05:06,810
Assim a derivada de cosseno
de pi x é quase isso

94
00:05:06,810 --> 00:05:09,270
apenas tem o menos pi aqui, certo?

95
00:05:09,270 --> 00:05:12,150
Vamos reescrever isso para que pareça como

96
00:05:12,150 --> 00:05:16,440
a derivada de cosseno pi x.

97
00:05:16,440 --> 00:05:18,839
E vou trocar para magenta.

98
00:05:20,266 --> 00:05:22,166
Quero ter espaço suficiente

99
00:05:22,166 --> 00:05:23,901
para o problema inteiro.

100
00:05:26,106 --> 00:05:36,880
Vou escrever -1/pi vezes menos pi.

101
00:05:36,880 --> 00:05:40,020
Tudo que se faz ao avaliar isso,
isto é igual a um

102
00:05:40,020 --> 00:05:46,127
então posso fazer isto vezes seno de pi x,

103
00:05:46,127 --> 00:05:54,000
e isso é menos x ao cubo mais quatro x
e então tudo isso vezes a largura dx.

104
00:05:54,000 --> 00:05:55,200
Pronto, agora está feito.

105
00:05:55,200 --> 00:05:59,604
Sabemos que a integral disso
é cosseno de pi x, certo?

106
00:05:59,604 --> 00:06:00,910
E isso é só uma constante.

107
00:06:00,910 --> 00:06:03,370
E qual é a integral de tudo isso?

108
00:06:03,370 --> 00:06:05,780
E vou mudar as cores novamente.

109
00:06:05,780 --> 00:06:10,070
A integral é cosseno de pi x.

110
00:06:10,070 --> 00:06:17,530
Temos -1/pi cosseno de pi x,

111
00:06:17,530 --> 00:06:21,320
lembre-se que posso levar isso,
pois é apenas uma constante

112
00:06:21,320 --> 00:06:25,590
esta integral é isso aqui.

113
00:06:25,590 --> 00:06:28,330
E agora estas são mais diretas.

114
00:06:28,330 --> 00:06:31,241
Menos a integral de x ao cubo

115
00:06:31,241 --> 00:06:40,039
é x elevado a quatro sobre quatro
mais a integral disto que é

116
00:06:40,039 --> 00:06:47,250
quatro x ao quadrado sobre dois,
ou apenas dois x ao quadrado

117
00:06:47,250 --> 00:06:52,620
e vamos calcular isso em dois e em zero

118
00:06:52,620 --> 00:06:55,260
vamos fazer isso.

119
00:06:55,260 --> 00:07:03,510
Isso é igual a cosseno de dois pi
e teremos um sinal de menos

120
00:07:03,510 --> 00:07:09,500
menos cosseno de dois pi
sobre pi, menos...

121
00:07:09,500 --> 00:07:12,042
o que é dois elevado a quatro?
Vejamos.

122
00:07:12,042 --> 00:07:16,705
Dois ao cubo é oito, dois a quarta
potência é dezesseis

123
00:07:16,705 --> 00:07:19,936
dezesseis sobre quatro é quatro,
logo menos quatro

124
00:07:20,333 --> 00:07:26,750
dois ao quadrado é quatro, vezes dois é
oito, logo mais oito

125
00:07:26,750 --> 00:07:31,020
então essa é a integral calculada
em dois, e agora

126
00:07:31,020 --> 00:07:35,460
vamos subtrair isso calculado em zero.

127
00:07:35,460 --> 00:07:46,470
Isso será menos cosseno de zero sobre pi

128
00:07:46,470 --> 00:07:50,630
isso fica igual a zero - menos
zero, mais zero.

129
00:07:50,630 --> 00:07:52,540
Logo esses termos não acrescentam nada

130
00:07:52,540 --> 00:07:54,880
quando avaliados para zero.

131
00:07:54,880 --> 00:07:56,250
E com o que nós ficamos?

132
00:07:56,250 --> 00:07:58,620
O que é cosseno de dois pi?

133
00:07:58,620 --> 00:08:02,169
Cosseno de dois pi é a mesma
coisa que cosseno de zero

134
00:08:02,169 --> 00:08:03,210
o que é igual a um.

135
00:08:03,210 --> 00:08:06,093
Qual o valor de x no círculo unitário
em dois pi ou em zero?

136
00:08:06,093 --> 00:08:07,070
Isso é igual a um.

137
00:08:07,070 --> 00:08:14,632
Logo isso é igual a menos um sobre pi
menos quatro mais oito

138
00:08:14,632 --> 00:08:19,900
esses dois negativos, se tornam positivo,
cosseno de zero também é um

139
00:08:19,900 --> 00:08:25,204
logo um positivo sobre pi, e
esse menos um sobre pi

140
00:08:25,204 --> 00:08:30,570
e esse mais um sobre pi se anulam e
ficamos com menos quatro mais oito

141
00:08:30,570 --> 00:08:34,210
e isso é igual a quatro.

142
00:08:34,210 --> 00:08:39,864
Portanto, esta foi a primeira parte,
parte A do problema número um

143
00:08:39,864 --> 00:08:43,894
das questões com respostas livres de 2008.

144
00:08:43,894 --> 00:08:46,090
Foi preciso um vídeo inteiro
para essa parte.

145
00:08:46,090 --> 00:08:48,550
No próximo, faço a parte B, e
seguirei fazendo isso

146
00:08:48,550 --> 00:08:51,115
e tentarei fazer esses problemas
todos os dias.

147
00:08:51,115 --> 00:08:52,237
Até breve.

148
00:08:52,237 --> 00:08:52,843
Legendado por: [ Marcos Pereira ]
Revisado por: [Tatiana F. D'Addio]