WEBVTT

00:00:01.030 --> 00:00:05.980
Eu recebi a sugestão para que fizesse
problemas antigos do exame AP,

00:00:05.980 --> 00:00:08.194
e procurando na internet vejam só!

00:00:08.194 --> 00:00:11.333
no site do college board,
em collegeboard.com

00:00:11.333 --> 00:00:14.380
você pode - eu não encontrei as
questões de múltipla escolha,

00:00:14.380 --> 00:00:16.760
mas encontra-se questão
com resposta livre, então

00:00:16.760 --> 00:00:19.790
essa questão é a primeira questão
com resposta livre

00:00:19.790 --> 00:00:22.490
que está em Cálculo BC e

00:00:22.490 --> 00:00:24.499
foi aplicada recentemente,
em 2008.

00:00:24.499 --> 00:00:25.990
Vamos resolver esse problema.

00:00:25.990 --> 00:00:28.975
Mas sério, se você sabe resolver
todos os problemas livres

00:00:28.975 --> 00:00:33.240
você deve se sair muito bem nos
problemas de múltipla escolha

00:00:33.240 --> 00:00:35.645
porque as questões parecem
ser mais desafiadores

00:00:35.645 --> 00:00:36.980
especialmente a última parte

00:00:36.980 --> 00:00:38.260
das questões livres.

00:00:38.260 --> 00:00:39.842
Bem, vamos fazer este aqui.

00:00:39.842 --> 00:00:43.010
Vou ler porque não quero escrever
o problema todo aqui, mas

00:00:43.010 --> 00:00:44.632
esta é a mesma figura do problema.

00:00:44.632 --> 00:00:47.667
Eu copiei e colei a partir do PDF

00:00:47.667 --> 00:00:50.360
que eles fornecem em collegeboard.com.

00:00:50.360 --> 00:00:54.412
Que r - isso é r - seja a região limitada

00:00:54.412 --> 00:00:57.390
pelo gráfico de y igual a
seno do pi vezes x.

00:00:57.390 --> 00:00:58.850
Vou escrever essa parte.

00:00:58.850 --> 00:01:18.567
Esse gráfico de cima é
y igual a sen (pi*x)

00:01:19.652 --> 00:01:23.017
Deixe-me colocar entre parêntesis.

00:01:23.017 --> 00:01:28.885
E o gráfico de baixo é y igual
a x ao cubo menos quatro x.

00:01:29.363 --> 00:01:37.205
Então, este fica y = x^3 - 4x.

00:01:37.205 --> 00:01:39.320
E como eu sei qual é o gráfico de baixo?

00:01:39.320 --> 00:01:41.567
Sabemos que este é seno de pi x, certo?

00:01:41.567 --> 00:01:42.865
Pois seno parece com isso.

00:01:42.865 --> 00:01:44.910
Mas não se parece com isto aqui, né?

00:01:44.910 --> 00:01:48.468
Quando seno de pi é zero,
seno de zero é zero

00:01:48.468 --> 00:01:50.219
e sendo de dois pi é zero.

00:01:50.219 --> 00:01:51.760
Já sabíamos que é seno de pi x.

00:01:51.760 --> 00:01:56.394
Eles querem - essa é a região
entre essas duas funções

00:01:56.394 --> 00:02:00.572
e a parte A desse problema - essa
é a pergunta café com leite

00:02:00.572 --> 00:02:03.220
para garantir que sabem fazer
integrais definidas, e diz

00:02:03.220 --> 00:02:07.040
encontre a área de r.

00:02:07.040 --> 00:02:08.890
E como fazemos isso?

00:02:08.890 --> 00:02:11.800
Você sabe que usaremos a 
integral definida.

00:02:11.800 --> 00:02:13.290
Vamos lá.

00:02:13.290 --> 00:02:15.780
Então vamos calcular a integral definida

00:02:15.780 --> 00:02:22.333
digamos que a área é igual a
- eu não sei se -

00:02:22.333 --> 00:02:25.000
espero estar escrevendo num tamanho bom.

00:02:25.000 --> 00:02:28.833
A área será igual a integral definida de

00:02:28.833 --> 00:02:30.150
Quais são os valores de x?

00:02:30.150 --> 00:02:32.266
Nós saímos de x igual a zero

00:02:32.266 --> 00:02:34.954
à x igual a dois.

00:02:34.954 --> 00:02:38.364
Então vai de zero a dois.

00:02:38.873 --> 00:02:40.330
E o que é isso?

00:02:40.330 --> 00:02:44.510
Em qualquer valor de x,
o que será a mais alta

00:02:44.510 --> 00:02:46.000
estamos calculando a área,

00:02:46.000 --> 00:02:50.077
ou seja, vários retângulos com
largura igual a dx, certo?

00:02:50.534 --> 00:02:53.532
Isso não está bem escuro, não acho
que vocês conseguem ver

00:02:53.532 --> 00:02:55.750
bem aqui está um dos meus retângulos.

00:02:55.750 --> 00:02:56.890
Whoops.

00:02:56.890 --> 00:03:00.730
Digamos que um destes retângulos aqui

00:03:00.730 --> 00:03:02.070
que vou somar um ou outro.

00:03:02.070 --> 00:03:04.110
Tenha largura igual a dx.

00:03:04.110 --> 00:03:06.220
Qual a sua altura?

00:03:06.220 --> 00:03:09.440
A altura é igual a função do topo menos

00:03:09.440 --> 00:03:12.340
a função do fundo.

00:03:12.340 --> 00:03:15.240
Assim, nós vamos calcular a soma
de todos esses retângulos.

00:03:15.240 --> 00:03:20.365
e suas alturas serão iguais a -
vou escolher as cores

00:03:20.667 --> 00:03:22.670
a altura é igual a função do topo

00:03:22.670 --> 00:03:24.500
menos a função do fundo.

00:03:24.500 --> 00:03:34.000
Seno de pi x, entre parêntesis,

00:03:34.000 --> 00:03:35.720
menos a função do fundo.

00:03:35.720 --> 00:03:40.250
Portanto menos x ao cubo mais quatro x.

00:03:42.810 --> 00:03:47.270
Como estamos subtraindo, eu
troquei ambos os sinais.

00:03:47.270 --> 00:03:51.010
E tudo isso vezes a largura de cada
um desses pequenos retângulos

00:03:51.010 --> 00:03:54.670
que são infinitesimalmente pequenos - dx.

00:03:54.670 --> 00:03:56.180
Nós somaremos todos eles desde

00:03:56.180 --> 00:03:59.510
x igual a zero à x igual a dois.

00:03:59.510 --> 00:04:01.610
Isto deve ser bem simples para vocês.

00:04:01.610 --> 00:04:02.850
E como calculamos isso?

00:04:02.850 --> 00:04:06.047
Tomamos a integral disso e

00:04:06.047 --> 00:04:08.870
calculamos ela para dois
e então para zero.

00:04:08.870 --> 00:04:12.590
Qual a anti-derivada de seno de pi x?

00:04:12.590 --> 00:04:17.900
Será a função cuja derivada é seno de x.

00:04:17.900 --> 00:04:19.100
Cosseno de x - vejamos.

00:04:19.100 --> 00:04:21.420
Se vamos tomar a derivada de cosseno

00:04:21.420 --> 00:04:24.960
digamos a derivada de cosseno de pi x.

00:04:24.960 --> 00:04:27.090
Isso deve ser algo familiar para vocês.

00:04:27.090 --> 00:04:31.806
Cosseno de pi x, se eu fosse
calcular a derivada disso

00:04:32.766 --> 00:04:34.200
o que eu teria?

00:04:34.200 --> 00:04:36.110
Isso é igual a pi.

00:04:36.110 --> 00:04:38.052
Essa é a derivada do que
está dentro, né?

00:04:38.052 --> 00:04:39.120
Pela regra da cadeia.

00:04:39.120 --> 00:04:43.130
Então é pi vezes a derivada de tudo isso.

00:04:43.130 --> 00:04:46.230
A derivada de cosseno de x
é menos seno de x

00:04:46.230 --> 00:04:53.801
logo a derivada disso será
vezes menos seno de pi x

00:04:54.061 --> 00:05:01.294
ou pode-se dizer que isso é igual
a menos pi seno de pi x.

00:05:02.080 --> 00:05:06.810
Assim a derivada de cosseno
de pi x é quase isso

00:05:06.810 --> 00:05:09.270
apenas tem o menos pi aqui, certo?

00:05:09.270 --> 00:05:12.150
Vamos reescrever isso para que pareça como

00:05:12.150 --> 00:05:16.440
a derivada de cosseno pi x.

00:05:16.440 --> 00:05:18.839
E vou trocar para magenta.

00:05:20.266 --> 00:05:22.166
Quero ter espaço suficiente

00:05:22.166 --> 00:05:23.901
para o problema inteiro.

00:05:26.106 --> 00:05:36.880
Vou escrever -1/pi vezes menos pi.

00:05:36.880 --> 00:05:40.020
Tudo que se faz ao avaliar isso,
isto é igual a um

00:05:40.020 --> 00:05:46.127
então posso fazer isto vezes seno de pi x,

00:05:46.127 --> 00:05:54.000
e isso é menos x ao cubo mais quatro x
e então tudo isso vezes a largura dx.

00:05:54.000 --> 00:05:55.200
Pronto, agora está feito.

00:05:55.200 --> 00:05:59.604
Sabemos que a integral disso
é cosseno de pi x, certo?

00:05:59.604 --> 00:06:00.910
E isso é só uma constante.

00:06:00.910 --> 00:06:03.370
E qual é a integral de tudo isso?

00:06:03.370 --> 00:06:05.780
E vou mudar as cores novamente.

00:06:05.780 --> 00:06:10.070
A integral é cosseno de pi x.

00:06:10.070 --> 00:06:17.530
Temos -1/pi cosseno de pi x,

00:06:17.530 --> 00:06:21.320
lembre-se que posso levar isso,
pois é apenas uma constante

00:06:21.320 --> 00:06:25.590
esta integral é isso aqui.

00:06:25.590 --> 00:06:28.330
E agora estas são mais diretas.

00:06:28.330 --> 00:06:31.241
Menos a integral de x ao cubo

00:06:31.241 --> 00:06:40.039
é x elevado a quatro sobre quatro
mais a integral disto que é

00:06:40.039 --> 00:06:47.250
quatro x ao quadrado sobre dois,
ou apenas dois x ao quadrado

00:06:47.250 --> 00:06:52.620
e vamos calcular isso em dois e em zero

00:06:52.620 --> 00:06:55.260
vamos fazer isso.

00:06:55.260 --> 00:07:03.510
Isso é igual a cosseno de dois pi
e teremos um sinal de menos

00:07:03.510 --> 00:07:09.500
menos cosseno de dois pi
sobre pi, menos...

00:07:09.500 --> 00:07:12.042
o que é dois elevado a quatro?
Vejamos.

00:07:12.042 --> 00:07:16.705
Dois ao cubo é oito, dois a quarta
potência é dezesseis

00:07:16.705 --> 00:07:19.936
dezesseis sobre quatro é quatro,
logo menos quatro

00:07:20.333 --> 00:07:26.750
dois ao quadrado é quatro, vezes dois é
oito, logo mais oito

00:07:26.750 --> 00:07:31.020
então essa é a integral calculada
em dois, e agora

00:07:31.020 --> 00:07:35.460
vamos subtrair isso calculado em zero.

00:07:35.460 --> 00:07:46.470
Isso será menos cosseno de zero sobre pi

00:07:46.470 --> 00:07:50.630
isso fica igual a zero - menos
zero, mais zero.

00:07:50.630 --> 00:07:52.540
Logo esses termos não acrescentam nada

00:07:52.540 --> 00:07:54.880
quando avaliados para zero.

00:07:54.880 --> 00:07:56.250
E com o que nós ficamos?

00:07:56.250 --> 00:07:58.620
O que é cosseno de dois pi?

00:07:58.620 --> 00:08:02.169
Cosseno de dois pi é a mesma
coisa que cosseno de zero

00:08:02.169 --> 00:08:03.210
o que é igual a um.

00:08:03.210 --> 00:08:06.093
Qual o valor de x no círculo unitário
em dois pi ou em zero?

00:08:06.093 --> 00:08:07.070
Isso é igual a um.

00:08:07.070 --> 00:08:14.632
Logo isso é igual a menos um sobre pi
menos quatro mais oito

00:08:14.632 --> 00:08:19.900
esses dois negativos, se tornam positivo,
cosseno de zero também é um

00:08:19.900 --> 00:08:25.204
logo um positivo sobre pi, e
esse menos um sobre pi

00:08:25.204 --> 00:08:30.570
e esse mais um sobre pi se anulam e
ficamos com menos quatro mais oito

00:08:30.570 --> 00:08:34.210
e isso é igual a quatro.

00:08:34.210 --> 00:08:39.864
Portanto, esta foi a primeira parte,
parte A do problema número um

00:08:39.864 --> 00:08:43.894
das questões com respostas livres de 2008.

00:08:43.894 --> 00:08:46.090
Foi preciso um vídeo inteiro
para essa parte.

00:08:46.090 --> 00:08:48.550
No próximo, faço a parte B, e
seguirei fazendo isso

00:08:48.550 --> 00:08:51.115
e tentarei fazer esses problemas
todos os dias.

00:08:51.115 --> 00:08:52.237
Até breve.

00:08:52.237 --> 00:08:52.843
Legendado por: [ Marcos Pereira ]
Revisado por: [Tatiana F. D'Addio]