0:00:01.030,0:00:05.980
Eu recebi a sugestão para que fizesse[br]problemas antigos do exame AP,

0:00:05.980,0:00:08.194
e procurando na internet vejam só!

0:00:08.194,0:00:11.333
no site do college board,[br]em collegeboard.com

0:00:11.333,0:00:14.380
você pode - eu não encontrei as[br]questões de múltipla escolha,

0:00:14.380,0:00:16.760
mas encontra-se questão[br]com resposta livre, então

0:00:16.760,0:00:19.790
essa questão é a primeira questão[br]com resposta livre

0:00:19.790,0:00:22.490
que está em Cálculo BC e

0:00:22.490,0:00:24.499
foi aplicada recentemente,[br]em 2008.

0:00:24.499,0:00:25.990
Vamos resolver esse problema.

0:00:25.990,0:00:28.975
Mas sério, se você sabe resolver[br]todos os problemas livres

0:00:28.975,0:00:33.240
você deve se sair muito bem nos[br]problemas de múltipla escolha

0:00:33.240,0:00:35.645
porque as questões parecem[br]ser mais desafiadores

0:00:35.645,0:00:36.980
especialmente a última parte

0:00:36.980,0:00:38.260
das questões livres.

0:00:38.260,0:00:39.842
Bem, vamos fazer este aqui.

0:00:39.842,0:00:43.010
Vou ler porque não quero escrever[br]o problema todo aqui, mas

0:00:43.010,0:00:44.632
esta é a mesma figura do problema.

0:00:44.632,0:00:47.667
Eu copiei e colei a partir do PDF

0:00:47.667,0:00:50.360
que eles fornecem em collegeboard.com.

0:00:50.360,0:00:54.412
Que r - isso é r - seja a região limitada

0:00:54.412,0:00:57.390
pelo gráfico de y igual a[br]seno do pi vezes x.

0:00:57.390,0:00:58.850
Vou escrever essa parte.

0:00:58.850,0:01:18.567
Esse gráfico de cima é[br]y igual a sen (pi*x)

0:01:19.652,0:01:23.017
Deixe-me colocar entre parêntesis.

0:01:23.017,0:01:28.885
E o gráfico de baixo é y igual[br]a x ao cubo menos quatro x.

0:01:29.363,0:01:37.205
Então, este fica y = x^3 - 4x.

0:01:37.205,0:01:39.320
E como eu sei qual é o gráfico de baixo?

0:01:39.320,0:01:41.567
Sabemos que este é seno de pi x, certo?

0:01:41.567,0:01:42.865
Pois seno parece com isso.

0:01:42.865,0:01:44.910
Mas não se parece com isto aqui, né?

0:01:44.910,0:01:48.468
Quando seno de pi é zero,[br]seno de zero é zero

0:01:48.468,0:01:50.219
e sendo de dois pi é zero.

0:01:50.219,0:01:51.760
Já sabíamos que é seno de pi x.

0:01:51.760,0:01:56.394
Eles querem - essa é a região[br]entre essas duas funções

0:01:56.394,0:02:00.572
e a parte A desse problema - essa[br]é a pergunta café com leite

0:02:00.572,0:02:03.220
para garantir que sabem fazer[br]integrais definidas, e diz

0:02:03.220,0:02:07.040
encontre a área de r.

0:02:07.040,0:02:08.890
E como fazemos isso?

0:02:08.890,0:02:11.800
Você sabe que usaremos a [br]integral definida.

0:02:11.800,0:02:13.290
Vamos lá.

0:02:13.290,0:02:15.780
Então vamos calcular a integral definida

0:02:15.780,0:02:22.333
digamos que a área é igual a[br]- eu não sei se -

0:02:22.333,0:02:25.000
espero estar escrevendo num tamanho bom.

0:02:25.000,0:02:28.833
A área será igual a integral definida de

0:02:28.833,0:02:30.150
Quais são os valores de x?

0:02:30.150,0:02:32.266
Nós saímos de x igual a zero

0:02:32.266,0:02:34.954
à x igual a dois.

0:02:34.954,0:02:38.364
Então vai de zero a dois.

0:02:38.873,0:02:40.330
E o que é isso?

0:02:40.330,0:02:44.510
Em qualquer valor de x,[br]o que será a mais alta

0:02:44.510,0:02:46.000
estamos calculando a área,

0:02:46.000,0:02:50.077
ou seja, vários retângulos com[br]largura igual a dx, certo?

0:02:50.534,0:02:53.532
Isso não está bem escuro, não acho[br]que vocês conseguem ver

0:02:53.532,0:02:55.750
bem aqui está um dos meus retângulos.

0:02:55.750,0:02:56.890
Whoops.

0:02:56.890,0:03:00.730
Digamos que um destes retângulos aqui

0:03:00.730,0:03:02.070
que vou somar um ou outro.

0:03:02.070,0:03:04.110
Tenha largura igual a dx.

0:03:04.110,0:03:06.220
Qual a sua altura?

0:03:06.220,0:03:09.440
A altura é igual a função do topo menos

0:03:09.440,0:03:12.340
a função do fundo.

0:03:12.340,0:03:15.240
Assim, nós vamos calcular a soma[br]de todos esses retângulos.

0:03:15.240,0:03:20.365
e suas alturas serão iguais a -[br]vou escolher as cores

0:03:20.667,0:03:22.670
a altura é igual a função do topo

0:03:22.670,0:03:24.500
menos a função do fundo.

0:03:24.500,0:03:34.000
Seno de pi x, entre parêntesis,

0:03:34.000,0:03:35.720
menos a função do fundo.

0:03:35.720,0:03:40.250
Portanto menos x ao cubo mais quatro x.

0:03:42.810,0:03:47.270
Como estamos subtraindo, eu[br]troquei ambos os sinais.

0:03:47.270,0:03:51.010
E tudo isso vezes a largura de cada[br]um desses pequenos retângulos

0:03:51.010,0:03:54.670
que são infinitesimalmente pequenos - dx.

0:03:54.670,0:03:56.180
Nós somaremos todos eles desde

0:03:56.180,0:03:59.510
x igual a zero à x igual a dois.

0:03:59.510,0:04:01.610
Isto deve ser bem simples para vocês.

0:04:01.610,0:04:02.850
E como calculamos isso?

0:04:02.850,0:04:06.047
Tomamos a integral disso e

0:04:06.047,0:04:08.870
calculamos ela para dois[br]e então para zero.

0:04:08.870,0:04:12.590
Qual a anti-derivada de seno de pi x?

0:04:12.590,0:04:17.900
Será a função cuja derivada é seno de x.

0:04:17.900,0:04:19.100
Cosseno de x - vejamos.

0:04:19.100,0:04:21.420
Se vamos tomar a derivada de cosseno

0:04:21.420,0:04:24.960
digamos a derivada de cosseno de pi x.

0:04:24.960,0:04:27.090
Isso deve ser algo familiar para vocês.

0:04:27.090,0:04:31.806
Cosseno de pi x, se eu fosse[br]calcular a derivada disso

0:04:32.766,0:04:34.200
o que eu teria?

0:04:34.200,0:04:36.110
Isso é igual a pi.

0:04:36.110,0:04:38.052
Essa é a derivada do que[br]está dentro, né?

0:04:38.052,0:04:39.120
Pela regra da cadeia.

0:04:39.120,0:04:43.130
Então é pi vezes a derivada de tudo isso.

0:04:43.130,0:04:46.230
A derivada de cosseno de x[br]é menos seno de x

0:04:46.230,0:04:53.801
logo a derivada disso será[br]vezes menos seno de pi x

0:04:54.061,0:05:01.294
ou pode-se dizer que isso é igual[br]a menos pi seno de pi x.

0:05:02.080,0:05:06.810
Assim a derivada de cosseno[br]de pi x é quase isso

0:05:06.810,0:05:09.270
apenas tem o menos pi aqui, certo?

0:05:09.270,0:05:12.150
Vamos reescrever isso para que pareça como

0:05:12.150,0:05:16.440
a derivada de cosseno pi x.

0:05:16.440,0:05:18.839
E vou trocar para magenta.

0:05:20.266,0:05:22.166
Quero ter espaço suficiente

0:05:22.166,0:05:23.901
para o problema inteiro.

0:05:26.106,0:05:36.880
Vou escrever -1/pi vezes menos pi.

0:05:36.880,0:05:40.020
Tudo que se faz ao avaliar isso,[br]isto é igual a um

0:05:40.020,0:05:46.127
então posso fazer isto vezes seno de pi x,

0:05:46.127,0:05:54.000
e isso é menos x ao cubo mais quatro x[br]e então tudo isso vezes a largura dx.

0:05:54.000,0:05:55.200
Pronto, agora está feito.

0:05:55.200,0:05:59.604
Sabemos que a integral disso[br]é cosseno de pi x, certo?

0:05:59.604,0:06:00.910
E isso é só uma constante.

0:06:00.910,0:06:03.370
E qual é a integral de tudo isso?

0:06:03.370,0:06:05.780
E vou mudar as cores novamente.

0:06:05.780,0:06:10.070
A integral é cosseno de pi x.

0:06:10.070,0:06:17.530
Temos -1/pi cosseno de pi x,

0:06:17.530,0:06:21.320
lembre-se que posso levar isso,[br]pois é apenas uma constante

0:06:21.320,0:06:25.590
esta integral é isso aqui.

0:06:25.590,0:06:28.330
E agora estas são mais diretas.

0:06:28.330,0:06:31.241
Menos a integral de x ao cubo

0:06:31.241,0:06:40.039
é x elevado a quatro sobre quatro[br]mais a integral disto que é

0:06:40.039,0:06:47.250
quatro x ao quadrado sobre dois,[br]ou apenas dois x ao quadrado

0:06:47.250,0:06:52.620
e vamos calcular isso em dois e em zero

0:06:52.620,0:06:55.260
vamos fazer isso.

0:06:55.260,0:07:03.510
Isso é igual a cosseno de dois pi[br]e teremos um sinal de menos

0:07:03.510,0:07:09.500
menos cosseno de dois pi[br]sobre pi, menos...

0:07:09.500,0:07:12.042
o que é dois elevado a quatro?[br]Vejamos.

0:07:12.042,0:07:16.705
Dois ao cubo é oito, dois a quarta[br]potência é dezesseis

0:07:16.705,0:07:19.936
dezesseis sobre quatro é quatro,[br]logo menos quatro

0:07:20.333,0:07:26.750
dois ao quadrado é quatro, vezes dois é[br]oito, logo mais oito

0:07:26.750,0:07:31.020
então essa é a integral calculada[br]em dois, e agora

0:07:31.020,0:07:35.460
vamos subtrair isso calculado em zero.

0:07:35.460,0:07:46.470
Isso será menos cosseno de zero sobre pi

0:07:46.470,0:07:50.630
isso fica igual a zero - menos[br]zero, mais zero.

0:07:50.630,0:07:52.540
Logo esses termos não acrescentam nada

0:07:52.540,0:07:54.880
quando avaliados para zero.

0:07:54.880,0:07:56.250
E com o que nós ficamos?

0:07:56.250,0:07:58.620
O que é cosseno de dois pi?

0:07:58.620,0:08:02.169
Cosseno de dois pi é a mesma[br]coisa que cosseno de zero

0:08:02.169,0:08:03.210
o que é igual a um.

0:08:03.210,0:08:06.093
Qual o valor de x no círculo unitário[br]em dois pi ou em zero?

0:08:06.093,0:08:07.070
Isso é igual a um.

0:08:07.070,0:08:14.632
Logo isso é igual a menos um sobre pi[br]menos quatro mais oito

0:08:14.632,0:08:19.900
esses dois negativos, se tornam positivo,[br]cosseno de zero também é um

0:08:19.900,0:08:25.204
logo um positivo sobre pi, e[br]esse menos um sobre pi

0:08:25.204,0:08:30.570
e esse mais um sobre pi se anulam e[br]ficamos com menos quatro mais oito

0:08:30.570,0:08:34.210
e isso é igual a quatro.

0:08:34.210,0:08:39.864
Portanto, esta foi a primeira parte,[br]parte A do problema número um

0:08:39.864,0:08:43.894
das questões com respostas livres de 2008.

0:08:43.894,0:08:46.090
Foi preciso um vídeo inteiro[br]para essa parte.

0:08:46.090,0:08:48.550
No próximo, faço a parte B, e[br]seguirei fazendo isso

0:08:48.550,0:08:51.115
e tentarei fazer esses problemas[br]todos os dias.

0:08:51.115,0:08:52.237
Até breve.

0:08:52.237,0:08:52.843
Legendado por: [ Marcos Pereira ][br]Revisado por: [Tatiana F. D'Addio]