Доказательство: lim (sin x)/x=1

В этом видео с использованием теоремы сжатия приводится подробное доказательство того, что предел функции [sin x/x] при х, стремящемся к 0, равен 1. Этот предел еще называют замечательным пределом.

Это видео - русская версия видео «Proof: lim (sin x)/x» Академии Хана (http://www.khanacademy.org/video?v=Ve99biD1KtA). Перевод и дублирование выполнены командой проектов «Edukit» (http://www.edukit.org.ua) и «Study Planner» (http://www.studyplanner.org).

This video is a Russian dubbed version of the Khan Academy video "Proof: lim (sin x)/x" (http://www.khanacademy.org/video?v=Ve99biD1KtA). The translation and sampling are made by the "Edukit" (http://www.edukit.org.ua) and "Study Planner" team (http://www.studyplanner.org).

Наша страница на Facebook - http://www.facebook.com/KhanAcademyRussian

И снова здравствуйте!

Теперь, когда мы хорошо понимаем, в чем состоит теорема сжатия

(или ее еще называют теоремой о 2-ух милиционерах),

мы будем использовать ее, чтобы доказать, что предел…

(напишу желтым цветом)…

предел при х, стремящемся к 0-лю, [(sin x)/x]=1.

Итак, докажем эту теорему.

Мы должны сопровождать доказательство графическим подтверждением.

Поэтому я нарисую, хотя бы, 1-ую и 4-ую четверти единичной окружности.

Нарисую лиловым. Итак, посмотрим…

Нужно нарисовать побольше.

Так… Нужно нарисовать их очень большими. Поэтому я вот так рисую.

Ну, пусть будет так. И нарисую оси. Это ось Y, а это ось Х. Вот так.

Это наша единичная окружность.

Теперь нарисую радиус,

только я нарисую его выходящим за пределы окружности.

Нарисую еще кое-что, чтобы решить нашу задачу.

Нет, это не то, что я хотела сделать.

Я хотела начать вот с этой точки.

А из этой точки я хотела провести линию…и еще одну линию из той же точки. Вот так.

Теперь мы готовы приступить к решению.

Итак, это единичная окружность, правильно?

Что значит «единичная окружность»?

Это значит, что радиус этой окружности равен единице.

Т.е. расстояние от этой точки до этой равно единице.

И если это угол х (в радианах), то чему равна длина вот этого отрезка?

По определению, sin х является Y-координатой

любой точки на единичной окружности.

Потому это – sin x (мне не хватает здесь места чтобы написать, поэтому нарисую стрелочку… так, вот это – sin х).

А теперь задам вопрос посложнее. Чему равна длина вот этого отрезка?

Давайте подумаем. Что такое тангенс (tg)?

Вернемся к нашему SOH-CAH-TOA-определению тангенса. Вспомните еще такое?

Тангенс, т.е. отношению противолежащего катета (от англ. «opposite»)

к прилежащему (от англ. «adjacent») - это тангенс. Тогда чему равен tg x?

Если это прямоугольный треугольник, то тангенс –

это отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего, правильно?

Назовем длину этого катета о (от англ. «opposite»).

А чему равна длина прилежащего катета?

Чему равно основание вот этого, большего, треугольника?

Это ведь единичная окружность, правильно?

Значит, расстояние от этой точки до этой будет равно единице.

Потому что это – тоже радиус окружности. И равен он единице.

Итак, отношение противолежащего катета к прилежащему равно tg x.

Но если подставить в это соотношение единицу вместо прилежащего катета,

то получится, что противолежащий катет (вот этот) будет равен tg x.

Иначе говоря, tg x равен длине вот этого катета, деленной на единицу;

или tg x равен длине вот этого катета. Запишу это.

Этот катет равен tg x.

А теперь давайте подумаем о площадях других частей нарисованной здесь фигуры.

Может, стоило нарисовать ее побольше, но, думаю, у нас и так получится.

Итак, первым делом выберу относительно небольшой треугольник.

Возьму вот этот треугольник. Обведу его зеленым.

Итак, чему равна площадь вот этого зеленого треугольника?

Она будет равна 1/2, умножить на основание и умножить на высоту.

Т.е. 1/2 умножить на основание, которое равно единице, правильно?

А чему равна высота? Мы только что выяснили, что вот эта высота равна sin x.

Значит, умножить на sin x. Это площадь вот этого зеленого треугольника.

А чему равна площадь… не этого, не зеленого...

Обведу другим цветом. Например, красным.

Чему равна площадь вот этого сектора? Вот этого сектора.…

Надеюсь, вы видите. Нет, все-таки этот цвет не сильно отличается.

Итак, вот этот сектор. Сначала вот этот радиус, а затем дуга…

Т.е. эта площадь будет больше площади треугольника, которую мы только что вычислили.

Она будет немного больше потому,

что включает в себя площадь между треугольником и дугой, правильно?

Чему же она равна?

Если этот угол равен х радиан,

то какую долю он составляет от целой единичной окружности?

В целой единичной окружности 2π радиан, так?

Тогда чему будет равна вот эта площадь?

Она будет равна доле угла х от целой единичной окружности, так?

Т.е. х радиан разделить на 2π радиан

(это доля, которую составляет вот этот угол от 360 градусов, если перейти к градусам)

и умножить еще на площадь всего круга, правильно?

Вот это показывает, какую долю от окружности занимает наша фигура,

и нам нужно умножить это еще на площадь всего круга.

А чему равна площадь всего этого круга?

Она равна πR², а радиус равен единице, правильно?

Значит, площадь всего круга равна просто п. (πR², где R=1).

Тогда площадь всего вот этого сектора будет равна…

π сокращаются, значит, получится х/2.

Итак, площадь вот этого, первого, небольшого зеленого треугольника равна 1/2*sin x.

Это площадь вот этого, зеленого, треугольника.

Площадь вот этого сектора (мы только что нашли) равна х/2.

А теперь давайте найдем площадь вот этого, большого треугольника.

Она равна 1/2 умножить на основание, и умножить на высоту.

Итак, основание опять равно единице, умножить на высоту, т.е. tg x.

Значит, площадь равна 1/2*tg x.

При взгляде на эту схему сразу должно быть ясно

(и неважно, где нарисована вот эта линия),

что площадь вот этого, зеленого, треугольника меньше площади вот этого сектора,

а площадь сектора меньше площади вот этого, большого, треугольника. Правильно?

Запишем это в виде неравенства.

Площадь зеленого треугольника, т.е. 1/2*sin x,

меньше площади вот этого сектора, которая равна х/2.

И обе эти площади меньше площади вот этого,

большого, треугольника, которая равна 1/2*tg x.

Когда это неравенство справедливо?

Оно справедливо, пока мы находимся в 1-ой четверти, правильно?

Пока мы находимся в 1-ой четверти.

Также оно почти справедливо, если мы переходим в 4-ую четверть,

за исключением того, что тогда синус и тангенс становятся отрицательными,

и х также становится отрицательным.

Но если мы возьмем абсолютные значения, т.е. модуль,

то неравенство все еще будет справедливым и в 4-ой четверти.

Потому что, если пойти в отрицательном направлении,

и при этом брать абсолютные значения, то расстояние будет сохраняться,

значит, и значения площадей будут положительными.

Итак, моя цель – найти предел при х, стремящемся к 0-лю.

И чтобы этот предел был вообще определен, неравенство должно быть справедливым

как с положительной, так и с отрицательной стороны.

Давайте возьмем абсолютные значения в неравенстве.

Надеюсь, вам это понятно.

Если провести линию вниз, то это будет синусом х, это – тангенсом.…

И если вы берете абсолютные значения, то делаете то же самое, что и в первой четверти.

Итак, давайте возьмем абсолютные значения.

От этого ничего не должно измениться, особенно, если вы находитесь в 1-ой четверти.

Итак, у нас есть это неравенство. Посмотрим, можно ли его как-то преобразовать.

Прежде всего, давайте избавимся от 1/2-ой, умножив все на 2.

Итак, модуль sin x меньше модуля х,

который в свою очередь меньше модуля tg x.

Надеюсь, я не запутала вас этими модулями.

Начальное неравенство, которое я записала, полностью соблюдалось в 1-й четверти.

Но т.к. я хотела, чтобы это неравенство соблюдалось и в 1-ой, и в 4-ой четверти,

потому что ищу предел при х, стремящемся к 0-лю с обеих сторон,

то беру здесь абсолютные значения.

Т.е. можно было бы провести линию вниз

и то же самое, что мы делали здесь, сделать и для 4-ой четверти,

но при этом брать абсолютные значения, и неравенство снова должно сработать.

Вернемся к задаче. Итак, у нас есть это неравенство.

Возьмем это выражение и разделим все его части…

Можно сказать, что у него 3 части – левая, средняя и правая.

Разделим их все на модуль sin x.

И поскольку мы знаем, что модуль sin x – это положительное число,

то знаем и то, что вот эти знаки < (меньше) не меняются, правильно?

Давайте разделим.

Итак, модуль sin x, деленный на модуль sin x – это просто единица.

Единица меньше модуля х, деленного на модуль sin x, а это в свою очередь меньше.…

Повторю, что я делю вот это неравенство на модуль sin x.

Чему равен модуль tg x, деленный на модуль sin x?

Тангенс – это отношение синуса к косинусу.

Итак, это равно… Просто преобразуем правую часть.

Это равно отношению синуса к косинусу, деленному еще на синус.

И можно сказать, что это то же самое, что модуль, и модуль, деленные на модуль.

Что останется? Останется только единица разделить на….

синусы сокращаются, значит, останется единица разделить на модуль cos x.

Мы уже близки к разгадке. Вот это выглядит как наша функция, только перевернутая.

И чтобы в средней части получить нашу функцию, давайте перевернем неравенство.

Что тогда произойдет?

Прежде всего, что будет, если перевернуть единицу?

1/1 – это просто единица.

Но если вы перевернете все части неравенства,

то и знак неравенства поменяется, правильно?

Если вам это непонятно, рассуждайте так:

если я скажу, что 1/2<2, а затем переверну обе части неравенства,

то получу 2>1/2. Надеюсь, что так вам более понятно.

Т.е. если я переворачиваю все части этого неравенства,

то знаки неравенства я должна изменить.

Итак, единица больше модуля sin x, деленного на модуль х,

что в свою очередь больше модуля cos x.

Теперь я задам вам вопрос.

Модуль sin x… прежде всего, sin x/x.

Будет ли такой случай, когда выражение sin x/x

в 1-ой или 4-ой четверти будет иметь знак «минус»?

В 1-ой четверти значения sin x будут положительными, значения х тоже.

Положительное значение, деленное на положительное,

в результате также даст положительное значение.

А в 4-ой четверти синус принимает отрицательные значения

(т.к. y отрицательный и угол отрицательный),

значит, значения х также будут отрицательными.

В этом случае sin x/x – принимает отрицательное значение, деленное на отрицательное значение,

что в результате даст положительное значение.

Значит, sin x/x –всегда будет положительным. Поэтому знаки модуля тут не нужны.

Тогда можно записать так: единица больше sin x/x…

И по той же логике: в 1-ой и 4-ой четвертях,

т.е. если имеем дело, например, с (-π/2), которое меньше x,

а х в свою очередь меньше π/2.

Т.е. мы идем от (-π/2) до π/2, в 1-ой и 4-ой четвертях.

Будет ли cos x отрицательным?

По определению, значения косинуса в 1-ой и 4-ой четвертях всегда положительные.

Значит, и в правой части неравенства

можно убрать знаки абсолютного значения и оставить только cos x.

Теперь мы готовы использовать теорему о двух милиционерах.

Итак, чему равен предел при х, стремящемся к 0-лю, функции единицы?

Функция единицы всегда равна единице.

Т.е. я могу искать ее предел при х, стремящемся к бесконечности, при х, стремящемся к π.

И он всегда будет равен единице.

Т.е. при х, стремящемся к 0-лю, этот предел равен единице.

А чему равен предел при х, стремящемся к 0-лю, функции cos x?

Это тоже легко. При х, стремящемся к 0-лю, косинус нуля равен просто единице.

Как вы знаете, косинус – это непрерывная функция, значит, предел равен единице.

Итак, мы готовы использовать теорему сжатия.

При х, стремящемся к 0-лю, вот эта функция стремится к единице,

и вот эта функция тоже стремится к единице.

А вот эта – она здесь находится между двумя другими функциями.

И если она находится между двумя…

Т.е. если эта функция стремится к единице при х, стремящемся к 0-лю,

и эта функция также стремится к единице при х, стремящемся к 0-лю,

а эта находится между ними, то она тоже должна стремиться к единице

при х, стремящемся к 0-лю.

Используем теорему о двух милиционерах, основанную на этом и на этом.

И можно было бы сказать, что вследствие этой теоремы

(потому что вот это соблюдается, вот это соблюдается и это тоже)

предел sin x/x при х, стремящемся к 0-лю, равен единице.

Надеюсь, что это понятно. Можно пойти и другим путем:

если вот эта линия все ниже и ниже опускается к нулю,

если х стремится к 0-лю, то эта площадь и эта площадь сходятся в одну,

значит, и площадь, которая между ними, сводится к ним обеим.

Если вы хотите увидеть графическое отображение, то оно вот здесь.

Посмотрю, получится ли показать вам график… Тогда вы мне поверите.

Итак, мы говорили, что единица всегда больше sin x/х,

что в свою очередь больше cos x в промежутке от (-π/2) до π/2.

И, конечно, sin x/х не определен при х=0.

Но мы можем найти предел. Здесь можно его увидеть.

Синяя линия – это график функции единицы, т.е. y=1.

Светло-голубая линия – это график косинуса х.

А красная – это график sin x/х. Это обозначено вот здесь.

Итак, график sin x/х в промежутке (-π/2, π/2) или в 1-ой и 4-ой четвертях,

т.е. красная линия, всегда находится между синей и светло-голубой линиями.

Я это говорю, чтоб вы поняли, что происходит в теореме о двух милиционерах.

Мы знаем, что для этой светло-голубой лини

предел равен единице, при х, стремящемся к 0.

И знаем также, что для этой верхней, синей, линии

предел равен единице, при х, стремящемся к 0.

А эта красная линия находится всегда между ними,

значит, предел этой функции тоже будет равен единице.

Что и требовалось доказать.

Мы использовали теорему сжатия и немного тригонометрии, чтобы доказать,

что предел при х, стремящемся к 0-лю, функции sin x/х равен единице.

Еще этот предел называют замечательным пределом.

Почему его так называют, вы узнаете позже.

Надеюсь, вы все поняли, и я вас не запутала.

На сегодня все! До встречи на следующем уроке!