И снова здравствуйте! Теперь, когда мы хорошо понимаем, в чем состоит теорема сжатия (или ее еще называют теоремой о 2-ух милиционерах), мы будем использовать ее, чтобы доказать, что предел… (напишу желтым цветом)… предел при х, стремящемся к 0-лю, [(sin x)/x]=1. Итак, докажем эту теорему. Мы должны сопровождать доказательство графическим подтверждением. Поэтому я нарисую, хотя бы, 1-ую и 4-ую четверти единичной окружности. Нарисую лиловым. Итак, посмотрим… Нужно нарисовать побольше. Так… Нужно нарисовать их очень большими. Поэтому я вот так рисую. Ну, пусть будет так. И нарисую оси. Это ось Y, а это ось Х. Вот так. Это наша единичная окружность. Теперь нарисую радиус, только я нарисую его выходящим за пределы окружности. Нарисую еще кое-что, чтобы решить нашу задачу. Нет, это не то, что я хотела сделать. Я хотела начать вот с этой точки. А из этой точки я хотела провести линию…и еще одну линию из той же точки. Вот так. Теперь мы готовы приступить к решению. Итак, это единичная окружность, правильно? Что значит «единичная окружность»? Это значит, что радиус этой окружности равен единице. Т.е. расстояние от этой точки до этой равно единице. И если это угол х (в радианах), то чему равна длина вот этого отрезка? По определению, sin х является Y-координатой любой точки на единичной окружности. Потому это – sin x (мне не хватает здесь места чтобы написать, поэтому нарисую стрелочку… так, вот это – sin х). А теперь задам вопрос посложнее. Чему равна длина вот этого отрезка? Давайте подумаем. Что такое тангенс (tg)? Вернемся к нашему SOH-CAH-TOA-определению тангенса. Вспомните еще такое? Тангенс, т.е. отношению противолежащего катета (от англ. «opposite») к прилежащему (от англ. «adjacent») - это тангенс. Тогда чему равен tg x? Если это прямоугольный треугольник, то тангенс – это отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего, правильно? Назовем длину этого катета о (от англ. «opposite»). А чему равна длина прилежащего катета? Чему равно основание вот этого, большего, треугольника? Это ведь единичная окружность, правильно? Значит, расстояние от этой точки до этой будет равно единице. Потому что это – тоже радиус окружности. И равен он единице. Итак, отношение противолежащего катета к прилежащему равно tg x. Но если подставить в это соотношение единицу вместо прилежащего катета, то получится, что противолежащий катет (вот этот) будет равен tg x. Иначе говоря, tg x равен длине вот этого катета, деленной на единицу; или tg x равен длине вот этого катета. Запишу это. Этот катет равен tg x. А теперь давайте подумаем о площадях других частей нарисованной здесь фигуры. Может, стоило нарисовать ее побольше, но, думаю, у нас и так получится. Итак, первым делом выберу относительно небольшой треугольник. Возьму вот этот треугольник. Обведу его зеленым. Итак, чему равна площадь вот этого зеленого треугольника? Она будет равна 1/2, умножить на основание и умножить на высоту. Т.е. 1/2 умножить на основание, которое равно единице, правильно? А чему равна высота? Мы только что выяснили, что вот эта высота равна sin x. Значит, умножить на sin x. Это площадь вот этого зеленого треугольника. А чему равна площадь… не этого, не зеленого... Обведу другим цветом. Например, красным. Чему равна площадь вот этого сектора? Вот этого сектора.… Надеюсь, вы видите. Нет, все-таки этот цвет не сильно отличается. Итак, вот этот сектор. Сначала вот этот радиус, а затем дуга… Т.е. эта площадь будет больше площади треугольника, которую мы только что вычислили. Она будет немного больше потому, что включает в себя площадь между треугольником и дугой, правильно? Чему же она равна? Если этот угол равен х радиан, то какую долю он составляет от целой единичной окружности? В целой единичной окружности 2π радиан, так? Тогда чему будет равна вот эта площадь? Она будет равна доле угла х от целой единичной окружности, так? Т.е. х радиан разделить на 2π радиан (это доля, которую составляет вот этот угол от 360 градусов, если перейти к градусам) и умножить еще на площадь всего круга, правильно? Вот это показывает, какую долю от окружности занимает наша фигура, и нам нужно умножить это еще на площадь всего круга. А чему равна площадь всего этого круга? Она равна πR², а радиус равен единице, правильно? Значит, площадь всего круга равна просто п. (πR², где R=1). Тогда площадь всего вот этого сектора будет равна… π сокращаются, значит, получится х/2. Итак, площадь вот этого, первого, небольшого зеленого треугольника равна 1/2*sin x. Это площадь вот этого, зеленого, треугольника. Площадь вот этого сектора (мы только что нашли) равна х/2. А теперь давайте найдем площадь вот этого, большого треугольника. Она равна 1/2 умножить на основание, и умножить на высоту. Итак, основание опять равно единице, умножить на высоту, т.е. tg x. Значит, площадь равна 1/2*tg x. При взгляде на эту схему сразу должно быть ясно (и неважно, где нарисована вот эта линия), что площадь вот этого, зеленого, треугольника меньше площади вот этого сектора, а площадь сектора меньше площади вот этого, большого, треугольника. Правильно? Запишем это в виде неравенства. Площадь зеленого треугольника, т.е. 1/2*sin x, меньше площади вот этого сектора, которая равна х/2. И обе эти площади меньше площади вот этого, большого, треугольника, которая равна 1/2*tg x. Когда это неравенство справедливо? Оно справедливо, пока мы находимся в 1-ой четверти, правильно? Пока мы находимся в 1-ой четверти. Также оно почти справедливо, если мы переходим в 4-ую четверть, за исключением того, что тогда синус и тангенс становятся отрицательными, и х также становится отрицательным. Но если мы возьмем абсолютные значения, т.е. модуль, то неравенство все еще будет справедливым и в 4-ой четверти. Потому что, если пойти в отрицательном направлении, и при этом брать абсолютные значения, то расстояние будет сохраняться, значит, и значения площадей будут положительными. Итак, моя цель – найти предел при х, стремящемся к 0-лю. И чтобы этот предел был вообще определен, неравенство должно быть справедливым как с положительной, так и с отрицательной стороны. Давайте возьмем абсолютные значения в неравенстве. Надеюсь, вам это понятно. Если провести линию вниз, то это будет синусом х, это – тангенсом.… И если вы берете абсолютные значения, то делаете то же самое, что и в первой четверти. Итак, давайте возьмем абсолютные значения. От этого ничего не должно измениться, особенно, если вы находитесь в 1-ой четверти. Итак, у нас есть это неравенство. Посмотрим, можно ли его как-то преобразовать. Прежде всего, давайте избавимся от 1/2-ой, умножив все на 2. Итак, модуль sin x меньше модуля х, который в свою очередь меньше модуля tg x. Надеюсь, я не запутала вас этими модулями. Начальное неравенство, которое я записала, полностью соблюдалось в 1-й четверти. Но т.к. я хотела, чтобы это неравенство соблюдалось и в 1-ой, и в 4-ой четверти, потому что ищу предел при х, стремящемся к 0-лю с обеих сторон, то беру здесь абсолютные значения. Т.е. можно было бы провести линию вниз и то же самое, что мы делали здесь, сделать и для 4-ой четверти, но при этом брать абсолютные значения, и неравенство снова должно сработать. Вернемся к задаче. Итак, у нас есть это неравенство. Возьмем это выражение и разделим все его части… Можно сказать, что у него 3 части – левая, средняя и правая. Разделим их все на модуль sin x. И поскольку мы знаем, что модуль sin x – это положительное число, то знаем и то, что вот эти знаки < (меньше) не меняются, правильно? Давайте разделим. Итак, модуль sin x, деленный на модуль sin x – это просто единица. Единица меньше модуля х, деленного на модуль sin x, а это в свою очередь меньше.… Повторю, что я делю вот это неравенство на модуль sin x. Чему равен модуль tg x, деленный на модуль sin x? Тангенс – это отношение синуса к косинусу. Итак, это равно… Просто преобразуем правую часть. Это равно отношению синуса к косинусу, деленному еще на синус. И можно сказать, что это то же самое, что модуль, и модуль, деленные на модуль. Что останется? Останется только единица разделить на…. синусы сокращаются, значит, останется единица разделить на модуль cos x. Мы уже близки к разгадке. Вот это выглядит как наша функция, только перевернутая. И чтобы в средней части получить нашу функцию, давайте перевернем неравенство. Что тогда произойдет? Прежде всего, что будет, если перевернуть единицу? 1/1 – это просто единица. Но если вы перевернете все части неравенства, то и знак неравенства поменяется, правильно? Если вам это непонятно, рассуждайте так: если я скажу, что 1/2<2, а затем переверну обе части неравенства, то получу 2>1/2. Надеюсь, что так вам более понятно. Т.е. если я переворачиваю все части этого неравенства, то знаки неравенства я должна изменить. Итак, единица больше модуля sin x, деленного на модуль х, что в свою очередь больше модуля cos x. Теперь я задам вам вопрос. Модуль sin x… прежде всего, sin x/x. Будет ли такой случай, когда выражение sin x/x в 1-ой или 4-ой четверти будет иметь знак «минус»? В 1-ой четверти значения sin x будут положительными, значения х тоже. Положительное значение, деленное на положительное, в результате также даст положительное значение. А в 4-ой четверти синус принимает отрицательные значения (т.к. y отрицательный и угол отрицательный), значит, значения х также будут отрицательными. В этом случае sin x/x – принимает отрицательное значение, деленное на отрицательное значение, что в результате даст положительное значение. Значит, sin x/x –всегда будет положительным. Поэтому знаки модуля тут не нужны. Тогда можно записать так: единица больше sin x/x… И по той же логике: в 1-ой и 4-ой четвертях, т.е. если имеем дело, например, с (-π/2), которое меньше x, а х в свою очередь меньше π/2. Т.е. мы идем от (-π/2) до π/2, в 1-ой и 4-ой четвертях. Будет ли cos x отрицательным? По определению, значения косинуса в 1-ой и 4-ой четвертях всегда положительные. Значит, и в правой части неравенства можно убрать знаки абсолютного значения и оставить только cos x. Теперь мы готовы использовать теорему о двух милиционерах. Итак, чему равен предел при х, стремящемся к 0-лю, функции единицы? Функция единицы всегда равна единице. Т.е. я могу искать ее предел при х, стремящемся к бесконечности, при х, стремящемся к π. И он всегда будет равен единице. Т.е. при х, стремящемся к 0-лю, этот предел равен единице. А чему равен предел при х, стремящемся к 0-лю, функции cos x? Это тоже легко. При х, стремящемся к 0-лю, косинус нуля равен просто единице. Как вы знаете, косинус – это непрерывная функция, значит, предел равен единице. Итак, мы готовы использовать теорему сжатия. При х, стремящемся к 0-лю, вот эта функция стремится к единице, и вот эта функция тоже стремится к единице. А вот эта – она здесь находится между двумя другими функциями. И если она находится между двумя… Т.е. если эта функция стремится к единице при х, стремящемся к 0-лю, и эта функция также стремится к единице при х, стремящемся к 0-лю, а эта находится между ними, то она тоже должна стремиться к единице при х, стремящемся к 0-лю. Используем теорему о двух милиционерах, основанную на этом и на этом. И можно было бы сказать, что вследствие этой теоремы (потому что вот это соблюдается, вот это соблюдается и это тоже) предел sin x/x при х, стремящемся к 0-лю, равен единице. Надеюсь, что это понятно. Можно пойти и другим путем: если вот эта линия все ниже и ниже опускается к нулю, если х стремится к 0-лю, то эта площадь и эта площадь сходятся в одну, значит, и площадь, которая между ними, сводится к ним обеим. Если вы хотите увидеть графическое отображение, то оно вот здесь. Посмотрю, получится ли показать вам график… Тогда вы мне поверите. Итак, мы говорили, что единица всегда больше sin x/х, что в свою очередь больше cos x в промежутке от (-π/2) до π/2. И, конечно, sin x/х не определен при х=0. Но мы можем найти предел. Здесь можно его увидеть. Синяя линия – это график функции единицы, т.е. y=1. Светло-голубая линия – это график косинуса х. А красная – это график sin x/х. Это обозначено вот здесь. Итак, график sin x/х в промежутке (-π/2, π/2) или в 1-ой и 4-ой четвертях, т.е. красная линия, всегда находится между синей и светло-голубой линиями. Я это говорю, чтоб вы поняли, что происходит в теореме о двух милиционерах. Мы знаем, что для этой светло-голубой лини предел равен единице, при х, стремящемся к 0. И знаем также, что для этой верхней, синей, линии предел равен единице, при х, стремящемся к 0. А эта красная линия находится всегда между ними, значит, предел этой функции тоже будет равен единице. Что и требовалось доказать. Мы использовали теорему сжатия и немного тригонометрии, чтобы доказать, что предел при х, стремящемся к 0-лю, функции sin x/х равен единице. Еще этот предел называют замечательным пределом. Почему его так называют, вы узнаете позже. Надеюсь, вы все поняли, и я вас не запутала. На сегодня все! До встречи на следующем уроке!