[Script Info]
Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.00,0:00:01.00,Default,,0000,0000,0000,,И снова здравствуйте!
Dialogue: 0,0:00:01.00,0:00:05.00,Default,,0000,0000,0000,,Теперь, когда мы хорошо понимаем, в чем состоит теорема сжатия
Dialogue: 0,0:00:05.00,0:00:09.00,Default,,0000,0000,0000,,(или ее еще называют теоремой о 2-ух милиционерах),
Dialogue: 0,0:00:09.00,0:00:12.00,Default,,0000,0000,0000,,мы будем использовать ее, чтобы доказать, что предел…
Dialogue: 0,0:00:12.00,0:00:14.00,Default,,0000,0000,0000,,(напишу желтым цветом)…
Dialogue: 0,0:00:14.00,0:00:22.00,Default,,0000,0000,0000,,предел при х, стремящемся к 0-лю, [(sin x)/x]=1.
Dialogue: 0,0:00:22.00,0:00:24.00,Default,,0000,0000,0000,,Итак, докажем эту теорему.
Dialogue: 0,0:00:24.00,0:00:29.00,Default,,0000,0000,0000,,Мы должны сопровождать доказательство графическим подтверждением.
Dialogue: 0,0:00:29.00,0:00:36.00,Default,,0000,0000,0000,,Поэтому я нарисую, хотя бы, 1-ую и 4-ую четверти единичной окружности.
Dialogue: 0,0:00:36.00,0:00:45.00,Default,,0000,0000,0000,,Нарисую лиловым. Итак, посмотрим…
Dialogue: 0,0:00:45.00,0:00:47.00,Default,,0000,0000,0000,,Нужно нарисовать побольше.
Dialogue: 0,0:00:47.00,0:00:59.00,Default,,0000,0000,0000,,Так… Нужно нарисовать их очень большими. Поэтому я вот так рисую.
Dialogue: 0,0:00:59.00,0:01:10.00,Default,,0000,0000,0000,,Ну, пусть будет так. И нарисую оси. Это ось Y, а это ось Х. Вот так.
Dialogue: 0,0:01:10.00,0:01:14.00,Default,,0000,0000,0000,,Это наша единичная окружность.
Dialogue: 0,0:01:14.00,0:01:15.00,Default,,0000,0000,0000,,Теперь нарисую радиус,
Dialogue: 0,0:01:15.00,0:01:20.00,Default,,0000,0000,0000,,только я нарисую его выходящим за пределы окружности.
Dialogue: 0,0:01:20.00,0:01:26.00,Default,,0000,0000,0000,,Нарисую еще кое-что, чтобы решить нашу задачу.
Dialogue: 0,0:01:26.00,0:01:28.00,Default,,0000,0000,0000,,Нет, это не то, что я хотела сделать.
Dialogue: 0,0:01:28.00,0:01:32.00,Default,,0000,0000,0000,,Я хотела начать вот с этой точки.
Dialogue: 0,0:01:32.00,0:01:45.00,Default,,0000,0000,0000,,А из этой точки я хотела провести линию…и еще одну линию из той же точки. Вот так.
Dialogue: 0,0:01:45.00,0:01:47.00,Default,,0000,0000,0000,,Теперь мы готовы приступить к решению.
Dialogue: 0,0:01:47.00,0:01:50.00,Default,,0000,0000,0000,,Итак, это единичная окружность, правильно?
Dialogue: 0,0:01:50.00,0:01:53.00,Default,,0000,0000,0000,,Что значит «единичная окружность»?
Dialogue: 0,0:01:53.00,0:01:57.00,Default,,0000,0000,0000,,Это значит, что радиус этой окружности равен единице.
Dialogue: 0,0:01:57.00,0:02:03.00,Default,,0000,0000,0000,,Т.е. расстояние от этой точки до этой равно единице.
Dialogue: 0,0:02:03.00,0:02:10.00,Default,,0000,0000,0000,,И если это угол х (в радианах), то чему равна длина вот этого отрезка?
Dialogue: 0,0:02:10.00,0:02:15.00,Default,,0000,0000,0000,,По определению, sin х является Y-координатой
Dialogue: 0,0:02:15.00,0:02:18.00,Default,,0000,0000,0000,,любой точки на единичной окружности.
Dialogue: 0,0:02:18.00,0:02:30.00,Default,,0000,0000,0000,,Потому это – sin x (мне не хватает здесь места чтобы написать, поэтому нарисую стрелочку… так, вот это – sin х).
Dialogue: 0,0:02:30.00,0:02:36.00,Default,,0000,0000,0000,,А теперь задам вопрос посложнее. Чему равна длина вот этого отрезка?
Dialogue: 0,0:02:36.00,0:02:40.00,Default,,0000,0000,0000,,Давайте подумаем. Что такое тангенс (tg)?
Dialogue: 0,0:02:40.00,0:02:47.00,Default,,0000,0000,0000,,Вернемся к нашему SOH-CAH-TOA-определению тангенса. Вспомните еще такое?
Dialogue: 0,0:02:47.00,0:02:53.00,Default,,0000,0000,0000,,Тангенс, т.е. отношению противолежащего катета (от англ. «opposite»)
Dialogue: 0,0:02:53.00,0:03:02.00,Default,,0000,0000,0000,,к прилежащему (от англ. «adjacent») - это тангенс. Тогда чему равен tg x?
Dialogue: 0,0:03:02.00,0:03:04.00,Default,,0000,0000,0000,,Если это прямоугольный треугольник, то тангенс –
Dialogue: 0,0:03:04.00,0:03:10.00,Default,,0000,0000,0000,,это отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего, правильно?
Dialogue: 0,0:03:10.00,0:03:17.00,Default,,0000,0000,0000,,Назовем длину этого катета о (от англ. «opposite»).
Dialogue: 0,0:03:17.00,0:03:21.00,Default,,0000,0000,0000,,А чему равна длина прилежащего катета?
Dialogue: 0,0:03:21.00,0:03:24.00,Default,,0000,0000,0000,,Чему равно основание вот этого, большего, треугольника?
Dialogue: 0,0:03:24.00,0:03:26.00,Default,,0000,0000,0000,,Это ведь единичная окружность, правильно?
Dialogue: 0,0:03:26.00,0:03:31.00,Default,,0000,0000,0000,,Значит, расстояние от этой точки до этой будет равно единице.
Dialogue: 0,0:03:31.00,0:03:36.00,Default,,0000,0000,0000,,Потому что это – тоже радиус окружности. И равен он единице.
Dialogue: 0,0:03:36.00,0:03:41.00,Default,,0000,0000,0000,,Итак, отношение противолежащего катета к прилежащему равно tg x.
Dialogue: 0,0:03:41.00,0:03:46.00,Default,,0000,0000,0000,,Но если подставить в это соотношение единицу вместо прилежащего катета,
Dialogue: 0,0:03:46.00,0:03:52.00,Default,,0000,0000,0000,,то получится, что противолежащий катет (вот этот) будет равен tg x.
Dialogue: 0,0:03:52.00,0:03:59.00,Default,,0000,0000,0000,,Иначе говоря, tg x равен длине вот этого катета, деленной на единицу;
Dialogue: 0,0:03:59.00,0:04:05.00,Default,,0000,0000,0000,,или tg x равен длине вот этого катета. Запишу это.
Dialogue: 0,0:04:05.00,0:04:10.00,Default,,0000,0000,0000,,Этот катет равен tg x.
Dialogue: 0,0:04:10.00,0:04:16.00,Default,,0000,0000,0000,,А теперь давайте подумаем о площадях других частей нарисованной здесь фигуры.
Dialogue: 0,0:04:16.00,0:04:20.00,Default,,0000,0000,0000,,Может, стоило нарисовать ее побольше, но, думаю, у нас и так получится.
Dialogue: 0,0:04:20.00,0:04:24.00,Default,,0000,0000,0000,,Итак, первым делом выберу относительно небольшой треугольник.
Dialogue: 0,0:04:24.00,0:04:30.00,Default,,0000,0000,0000,,Возьму вот этот треугольник. Обведу его зеленым.
Dialogue: 0,0:04:30.00,0:04:34.00,Default,,0000,0000,0000,,Итак, чему равна площадь вот этого зеленого треугольника?
Dialogue: 0,0:04:34.00,0:04:40.00,Default,,0000,0000,0000,,Она будет равна 1/2, умножить на основание и умножить на высоту.
Dialogue: 0,0:04:40.00,0:04:45.00,Default,,0000,0000,0000,,Т.е. 1/2 умножить на основание, которое равно единице, правильно?
Dialogue: 0,0:04:45.00,0:04:51.00,Default,,0000,0000,0000,,А чему равна высота? Мы только что выяснили, что вот эта высота равна sin x.
Dialogue: 0,0:04:51.00,0:04:58.00,Default,,0000,0000,0000,,Значит, умножить на sin x. Это площадь вот этого зеленого треугольника.
Dialogue: 0,0:04:58.00,0:05:03.00,Default,,0000,0000,0000,,А чему равна площадь… не этого, не зеленого...
Dialogue: 0,0:05:03.00,0:05:06.00,Default,,0000,0000,0000,,Обведу другим цветом. Например, красным.
Dialogue: 0,0:05:06.00,0:05:12.00,Default,,0000,0000,0000,,Чему равна площадь вот этого сектора? Вот этого сектора.…
Dialogue: 0,0:05:12.00,0:05:16.00,Default,,0000,0000,0000,,Надеюсь, вы видите. Нет, все-таки этот цвет не сильно отличается.
Dialogue: 0,0:05:16.00,0:05:22.00,Default,,0000,0000,0000,,Итак, вот этот сектор. Сначала вот этот радиус, а затем дуга…
Dialogue: 0,0:05:22.00,0:05:28.00,Default,,0000,0000,0000,,Т.е. эта площадь будет больше площади треугольника, которую мы только что вычислили.
Dialogue: 0,0:05:28.00,0:05:29.00,Default,,0000,0000,0000,,Она будет немного больше потому,
Dialogue: 0,0:05:29.00,0:05:34.00,Default,,0000,0000,0000,,что включает в себя площадь между треугольником и дугой, правильно?
Dialogue: 0,0:05:34.00,0:05:36.00,Default,,0000,0000,0000,,Чему же она равна?
Dialogue: 0,0:05:36.00,0:05:38.00,Default,,0000,0000,0000,,Если этот угол равен х радиан,
Dialogue: 0,0:05:38.00,0:05:43.00,Default,,0000,0000,0000,,то какую долю он составляет от целой единичной окружности?
Dialogue: 0,0:05:43.00,0:05:47.00,Default,,0000,0000,0000,,В целой единичной окружности 2π радиан, так?
Dialogue: 0,0:05:47.00,0:05:49.00,Default,,0000,0000,0000,,Тогда чему будет равна вот эта площадь?
Dialogue: 0,0:05:49.00,0:05:55.00,Default,,0000,0000,0000,,Она будет равна доле угла х от целой единичной окружности, так?
Dialogue: 0,0:05:55.00,0:05:59.00,Default,,0000,0000,0000,,Т.е. х радиан разделить на 2π радиан
Dialogue: 0,0:05:59.00,0:06:04.00,Default,,0000,0000,0000,,(это доля, которую составляет вот этот угол от 360 градусов, если перейти к градусам)
Dialogue: 0,0:06:04.00,0:06:09.00,Default,,0000,0000,0000,,и умножить еще на площадь всего круга, правильно?
Dialogue: 0,0:06:09.00,0:06:14.00,Default,,0000,0000,0000,,Вот это показывает, какую долю от окружности занимает наша фигура,
Dialogue: 0,0:06:14.00,0:06:19.00,Default,,0000,0000,0000,,и нам нужно умножить это еще на площадь всего круга.
Dialogue: 0,0:06:19.00,0:06:21.00,Default,,0000,0000,0000,,А чему равна площадь всего этого круга?
Dialogue: 0,0:06:21.00,0:06:27.00,Default,,0000,0000,0000,,Она равна πR², а радиус равен единице, правильно?
Dialogue: 0,0:06:27.00,0:06:34.00,Default,,0000,0000,0000,,Значит, площадь всего круга равна просто п. (πR², где R=1).
Dialogue: 0,0:06:34.00,0:06:38.00,Default,,0000,0000,0000,,Тогда площадь всего вот этого сектора будет равна…
Dialogue: 0,0:06:38.00,0:06:42.00,Default,,0000,0000,0000,,π сокращаются, значит, получится х/2.
Dialogue: 0,0:06:42.00,0:06:49.00,Default,,0000,0000,0000,,Итак, площадь вот этого, первого, небольшого зеленого треугольника равна 1/2*sin x.
Dialogue: 0,0:06:49.00,0:06:52.00,Default,,0000,0000,0000,,Это площадь вот этого, зеленого, треугольника.
Dialogue: 0,0:06:52.00,0:06:57.00,Default,,0000,0000,0000,,Площадь вот этого сектора (мы только что нашли) равна х/2.
Dialogue: 0,0:06:57.00,0:07:01.00,Default,,0000,0000,0000,,А теперь давайте найдем площадь вот этого, большого треугольника.
Dialogue: 0,0:07:01.00,0:07:05.00,Default,,0000,0000,0000,,Она равна 1/2 умножить на основание, и умножить на высоту.
Dialogue: 0,0:07:05.00,0:07:11.00,Default,,0000,0000,0000,,Итак, основание опять равно единице, умножить на высоту, т.е. tg x.
Dialogue: 0,0:07:11.00,0:07:16.00,Default,,0000,0000,0000,,Значит, площадь равна 1/2*tg x.
Dialogue: 0,0:07:16.00,0:07:19.00,Default,,0000,0000,0000,,При взгляде на эту схему сразу должно быть ясно
Dialogue: 0,0:07:19.00,0:07:22.00,Default,,0000,0000,0000,,(и неважно, где нарисована вот эта линия),
Dialogue: 0,0:07:22.00,0:07:28.00,Default,,0000,0000,0000,,что площадь вот этого, зеленого, треугольника меньше площади вот этого сектора,
Dialogue: 0,0:07:28.00,0:07:34.00,Default,,0000,0000,0000,,а площадь сектора меньше площади вот этого, большого, треугольника. Правильно?
Dialogue: 0,0:07:34.00,0:07:37.00,Default,,0000,0000,0000,,Запишем это в виде неравенства.
Dialogue: 0,0:07:37.00,0:07:41.00,Default,,0000,0000,0000,,Площадь зеленого треугольника, т.е. 1/2*sin x,
Dialogue: 0,0:07:41.00,0:07:46.00,Default,,0000,0000,0000,,меньше площади вот этого сектора, которая равна х/2.
Dialogue: 0,0:07:46.00,0:07:50.00,Default,,0000,0000,0000,,И обе эти площади меньше площади вот этого,
Dialogue: 0,0:07:50.00,0:07:56.00,Default,,0000,0000,0000,,большого, треугольника, которая равна 1/2*tg x.
Dialogue: 0,0:07:56.00,0:07:59.00,Default,,0000,0000,0000,,Когда это неравенство справедливо?
Dialogue: 0,0:07:59.00,0:08:04.00,Default,,0000,0000,0000,,Оно справедливо, пока мы находимся в 1-ой четверти, правильно?
Dialogue: 0,0:08:04.00,0:08:08.00,Default,,0000,0000,0000,,Пока мы находимся в 1-ой четверти.
Dialogue: 0,0:08:08.00,0:08:12.00,Default,,0000,0000,0000,,Также оно почти справедливо, если мы переходим в 4-ую четверть,
Dialogue: 0,0:08:12.00,0:08:17.00,Default,,0000,0000,0000,,за исключением того, что тогда синус и тангенс становятся отрицательными,
Dialogue: 0,0:08:17.00,0:08:19.00,Default,,0000,0000,0000,,и х также становится отрицательным.
Dialogue: 0,0:08:19.00,0:08:22.00,Default,,0000,0000,0000,,Но если мы возьмем абсолютные значения, т.е. модуль,
Dialogue: 0,0:08:22.00,0:08:25.00,Default,,0000,0000,0000,,то неравенство все еще будет справедливым и в 4-ой четверти.
Dialogue: 0,0:08:25.00,0:08:28.00,Default,,0000,0000,0000,,Потому что, если пойти в отрицательном направлении,
Dialogue: 0,0:08:28.00,0:08:33.00,Default,,0000,0000,0000,,и при этом брать абсолютные значения, то расстояние будет сохраняться,
Dialogue: 0,0:08:33.00,0:08:36.00,Default,,0000,0000,0000,,значит, и значения площадей будут положительными.
Dialogue: 0,0:08:36.00,0:08:41.00,Default,,0000,0000,0000,,Итак, моя цель – найти предел при х, стремящемся к 0-лю.
Dialogue: 0,0:08:41.00,0:08:46.00,Default,,0000,0000,0000,,И чтобы этот предел был вообще определен, неравенство должно быть справедливым
Dialogue: 0,0:08:46.00,0:08:49.00,Default,,0000,0000,0000,,как с положительной, так и с отрицательной стороны.
Dialogue: 0,0:08:49.00,0:08:53.00,Default,,0000,0000,0000,,Давайте возьмем абсолютные значения в неравенстве.
Dialogue: 0,0:08:53.00,0:08:55.00,Default,,0000,0000,0000,,Надеюсь, вам это понятно.
Dialogue: 0,0:08:55.00,0:09:04.00,Default,,0000,0000,0000,,Если провести линию вниз, то это будет синусом х, это – тангенсом.…
Dialogue: 0,0:09:04.00,0:09:09.00,Default,,0000,0000,0000,,И если вы берете абсолютные значения, то делаете то же самое, что и в первой четверти.
Dialogue: 0,0:09:09.00,0:09:11.00,Default,,0000,0000,0000,,Итак, давайте возьмем абсолютные значения.
Dialogue: 0,0:09:11.00,0:09:18.00,Default,,0000,0000,0000,,От этого ничего не должно измениться, особенно, если вы находитесь в 1-ой четверти.
Dialogue: 0,0:09:18.00,0:09:24.00,Default,,0000,0000,0000,,Итак, у нас есть это неравенство. Посмотрим, можно ли его как-то преобразовать.
Dialogue: 0,0:09:24.00,0:09:28.00,Default,,0000,0000,0000,,Прежде всего, давайте избавимся от 1/2-ой, умножив все на 2.
Dialogue: 0,0:09:28.00,0:09:35.00,Default,,0000,0000,0000,,Итак, модуль sin x меньше модуля х,
Dialogue: 0,0:09:35.00,0:09:42.00,Default,,0000,0000,0000,,который в свою очередь меньше модуля tg x.
Dialogue: 0,0:09:42.00,0:09:45.00,Default,,0000,0000,0000,,Надеюсь, я не запутала вас этими модулями.
Dialogue: 0,0:09:45.00,0:09:50.00,Default,,0000,0000,0000,,Начальное неравенство, которое я записала, полностью соблюдалось в 1-й четверти.
Dialogue: 0,0:09:50.00,0:09:55.00,Default,,0000,0000,0000,,Но т.к. я хотела, чтобы это неравенство соблюдалось и в 1-ой, и в 4-ой четверти,
Dialogue: 0,0:09:55.00,0:09:58.00,Default,,0000,0000,0000,,потому что ищу предел при х, стремящемся к 0-лю с обеих сторон,
Dialogue: 0,0:09:58.00,0:10:01.00,Default,,0000,0000,0000,,то беру здесь абсолютные значения.
Dialogue: 0,0:10:01.00,0:10:03.00,Default,,0000,0000,0000,,Т.е. можно было бы провести линию вниз
Dialogue: 0,0:10:03.00,0:10:08.00,Default,,0000,0000,0000,,и то же самое, что мы делали здесь, сделать и для 4-ой четверти,
Dialogue: 0,0:10:08.00,0:10:14.00,Default,,0000,0000,0000,,но при этом брать абсолютные значения, и неравенство снова должно сработать.
Dialogue: 0,0:10:15.00,0:10:18.00,Default,,0000,0000,0000,,Вернемся к задаче. Итак, у нас есть это неравенство.
Dialogue: 0,0:10:18.00,0:10:22.00,Default,,0000,0000,0000,,Возьмем это выражение и разделим все его части…
Dialogue: 0,0:10:22.00,0:10:25.00,Default,,0000,0000,0000,,Можно сказать, что у него 3 части – левая, средняя и правая.
Dialogue: 0,0:10:25.00,0:10:29.00,Default,,0000,0000,0000,,Разделим их все на модуль sin x.
Dialogue: 0,0:10:29.00,0:10:33.00,Default,,0000,0000,0000,,И поскольку мы знаем, что модуль sin x – это положительное число,
Dialogue: 0,0:10:33.00,0:10:39.00,Default,,0000,0000,0000,,то знаем и то, что вот эти знаки < (меньше) не меняются, правильно?
Dialogue: 0,0:10:39.00,0:10:40.00,Default,,0000,0000,0000,,Давайте разделим.
Dialogue: 0,0:10:40.00,0:10:47.00,Default,,0000,0000,0000,,Итак, модуль sin x, деленный на модуль sin x – это просто единица.
Dialogue: 0,0:10:47.00,0:10:56.00,Default,,0000,0000,0000,,Единица меньше модуля х, деленного на модуль sin x, а это в свою очередь меньше.…
Dialogue: 0,0:10:56.00,0:11:02.00,Default,,0000,0000,0000,,Повторю, что я делю вот это неравенство на модуль sin x.
Dialogue: 0,0:11:02.00,0:11:07.00,Default,,0000,0000,0000,,Чему равен модуль tg x, деленный на модуль sin x?
Dialogue: 0,0:11:07.00,0:11:10.00,Default,,0000,0000,0000,,Тангенс – это отношение синуса к косинусу.
Dialogue: 0,0:11:10.00,0:11:13.00,Default,,0000,0000,0000,,Итак, это равно… Просто преобразуем правую часть.
Dialogue: 0,0:11:13.00,0:11:21.00,Default,,0000,0000,0000,,Это равно отношению синуса к косинусу, деленному еще на синус.
Dialogue: 0,0:11:21.00,0:11:27.00,Default,,0000,0000,0000,,И можно сказать, что это то же самое, что модуль, и модуль, деленные на модуль.
Dialogue: 0,0:11:27.00,0:11:31.00,Default,,0000,0000,0000,,Что останется? Останется только единица разделить на….
Dialogue: 0,0:11:31.00,0:11:37.00,Default,,0000,0000,0000,,синусы сокращаются, значит, останется единица разделить на модуль cos x.
Dialogue: 0,0:11:37.00,0:11:43.00,Default,,0000,0000,0000,,Мы уже близки к разгадке. Вот это выглядит как наша функция, только перевернутая.
Dialogue: 0,0:11:43.00,0:11:50.00,Default,,0000,0000,0000,,И чтобы в средней части получить нашу функцию, давайте перевернем неравенство.
Dialogue: 0,0:11:50.00,0:11:52.00,Default,,0000,0000,0000,,Что тогда произойдет?
Dialogue: 0,0:11:52.00,0:11:55.00,Default,,0000,0000,0000,,Прежде всего, что будет, если перевернуть единицу?
Dialogue: 0,0:11:55.00,0:11:57.00,Default,,0000,0000,0000,,1/1 – это просто единица.
Dialogue: 0,0:11:57.00,0:12:00.00,Default,,0000,0000,0000,,Но если вы перевернете все части неравенства,
Dialogue: 0,0:12:00.00,0:12:03.00,Default,,0000,0000,0000,,то и знак неравенства поменяется, правильно?
Dialogue: 0,0:12:03.00,0:12:06.00,Default,,0000,0000,0000,,Если вам это непонятно, рассуждайте так:
Dialogue: 0,0:12:06.00,0:12:12.00,Default,,0000,0000,0000,,если я скажу, что 1/2<2, а затем переверну обе части неравенства,
Dialogue: 0,0:12:12.00,0:12:19.00,Default,,0000,0000,0000,,то получу 2>1/2. Надеюсь, что так вам более понятно.
Dialogue: 0,0:12:19.00,0:12:22.00,Default,,0000,0000,0000,,Т.е. если я переворачиваю все части этого неравенства,
Dialogue: 0,0:12:22.00,0:12:24.00,Default,,0000,0000,0000,,то знаки неравенства я должна изменить.
Dialogue: 0,0:12:24.00,0:12:29.00,Default,,0000,0000,0000,,Итак, единица больше модуля sin x, деленного на модуль х,
Dialogue: 0,0:12:29.00,0:12:34.00,Default,,0000,0000,0000,,что в свою очередь больше модуля cos x.
Dialogue: 0,0:12:34.00,0:12:36.00,Default,,0000,0000,0000,,Теперь я задам вам вопрос.
Dialogue: 0,0:12:36.00,0:12:40.00,Default,,0000,0000,0000,,Модуль sin x… прежде всего, sin x/x.
Dialogue: 0,0:12:40.00,0:12:44.00,Default,,0000,0000,0000,,Будет ли такой случай, когда выражение sin x/x
Dialogue: 0,0:12:44.00,0:12:48.00,Default,,0000,0000,0000,,в 1-ой или 4-ой четверти будет иметь знак «минус»?
Dialogue: 0,0:12:48.00,0:12:53.00,Default,,0000,0000,0000,,В 1-ой четверти значения sin x будут положительными, значения х тоже.
Dialogue: 0,0:12:53.00,0:12:56.00,Default,,0000,0000,0000,,Положительное значение, деленное на положительное,
Dialogue: 0,0:12:56.00,0:12:59.00,Default,,0000,0000,0000,,в результате также даст положительное значение.
Dialogue: 0,0:12:59.00,0:13:02.00,Default,,0000,0000,0000,,А в 4-ой четверти синус принимает отрицательные значения
Dialogue: 0,0:13:02.00,0:13:05.00,Default,,0000,0000,0000,,(т.к. y отрицательный и угол отрицательный),
Dialogue: 0,0:13:05.00,0:13:10.00,Default,,0000,0000,0000,,значит, значения х также будут отрицательными.
Dialogue: 0,0:13:10.00,0:13:16.00,Default,,0000,0000,0000,,В этом случае sin x/x – принимает отрицательное значение, деленное на отрицательное значение,
Dialogue: 0,0:13:16.00,0:13:19.00,Default,,0000,0000,0000,,что в результате даст положительное значение.
Dialogue: 0,0:13:19.00,0:13:26.00,Default,,0000,0000,0000,,Значит, sin x/x –всегда будет положительным. Поэтому знаки модуля тут не нужны.
Dialogue: 0,0:13:26.00,0:13:32.00,Default,,0000,0000,0000,,Тогда можно записать так: единица больше sin x/x…
Dialogue: 0,0:13:32.00,0:13:34.00,Default,,0000,0000,0000,,И по той же логике: в 1-ой и 4-ой четвертях,
Dialogue: 0,0:13:34.00,0:13:39.00,Default,,0000,0000,0000,,т.е. если имеем дело, например, с (-π/2), которое меньше x,
Dialogue: 0,0:13:39.00,0:13:41.00,Default,,0000,0000,0000,,а х в свою очередь меньше π/2.
Dialogue: 0,0:13:41.00,0:13:47.00,Default,,0000,0000,0000,,Т.е. мы идем от (-π/2) до π/2, в 1-ой и 4-ой четвертях.
Dialogue: 0,0:13:47.00,0:13:50.00,Default,,0000,0000,0000,,Будет ли cos x отрицательным?
Dialogue: 0,0:13:50.00,0:13:56.00,Default,,0000,0000,0000,,По определению, значения косинуса в 1-ой и 4-ой четвертях всегда положительные.
Dialogue: 0,0:13:56.00,0:13:57.00,Default,,0000,0000,0000,,Значит, и в правой части неравенства
Dialogue: 0,0:13:57.00,0:14:03.00,Default,,0000,0000,0000,,можно убрать знаки абсолютного значения и оставить только cos x.
Dialogue: 0,0:14:03.00,0:14:07.00,Default,,0000,0000,0000,,Теперь мы готовы использовать теорему о двух милиционерах.
Dialogue: 0,0:14:07.00,0:14:14.00,Default,,0000,0000,0000,,Итак, чему равен предел при х, стремящемся к 0-лю, функции единицы?
Dialogue: 0,0:14:14.00,0:14:17.00,Default,,0000,0000,0000,,Функция единицы всегда равна единице.
Dialogue: 0,0:14:17.00,0:14:23.00,Default,,0000,0000,0000,,Т.е. я могу искать ее предел при х, стремящемся к бесконечности, при х, стремящемся к π.
Dialogue: 0,0:14:23.00,0:14:26.00,Default,,0000,0000,0000,,И он всегда будет равен единице.
Dialogue: 0,0:14:26.00,0:14:30.00,Default,,0000,0000,0000,,Т.е. при х, стремящемся к 0-лю, этот предел равен единице.
Dialogue: 0,0:14:30.00,0:14:36.00,Default,,0000,0000,0000,,А чему равен предел при х, стремящемся к 0-лю, функции cos x?
Dialogue: 0,0:14:36.00,0:14:42.00,Default,,0000,0000,0000,,Это тоже легко. При х, стремящемся к 0-лю, косинус нуля равен просто единице.
Dialogue: 0,0:14:42.00,0:14:49.00,Default,,0000,0000,0000,,Как вы знаете, косинус – это непрерывная функция, значит, предел равен единице.
Dialogue: 0,0:14:49.00,0:14:52.00,Default,,0000,0000,0000,,Итак, мы готовы использовать теорему сжатия.
Dialogue: 0,0:14:52.00,0:14:57.00,Default,,0000,0000,0000,,При х, стремящемся к 0-лю, вот эта функция стремится к единице,
Dialogue: 0,0:14:57.00,0:15:00.00,Default,,0000,0000,0000,,и вот эта функция тоже стремится к единице.
Dialogue: 0,0:15:00.00,0:15:05.00,Default,,0000,0000,0000,,А вот эта – она здесь находится между двумя другими функциями.
Dialogue: 0,0:15:05.00,0:15:07.00,Default,,0000,0000,0000,,И если она находится между двумя…
Dialogue: 0,0:15:07.00,0:15:11.00,Default,,0000,0000,0000,,Т.е. если эта функция стремится к единице при х, стремящемся к 0-лю,
Dialogue: 0,0:15:11.00,0:15:15.00,Default,,0000,0000,0000,,и эта функция также стремится к единице при х, стремящемся к 0-лю,
Dialogue: 0,0:15:15.00,0:15:20.00,Default,,0000,0000,0000,,а эта находится между ними, то она тоже должна стремиться к единице
Dialogue: 0,0:15:20.00,0:15:23.00,Default,,0000,0000,0000,,при х, стремящемся к 0-лю.
Dialogue: 0,0:15:23.00,0:15:29.00,Default,,0000,0000,0000,,Используем теорему о двух милиционерах, основанную на этом и на этом.
Dialogue: 0,0:15:29.00,0:15:32.00,Default,,0000,0000,0000,,И можно было бы сказать, что вследствие этой теоремы
Dialogue: 0,0:15:32.00,0:15:36.00,Default,,0000,0000,0000,,(потому что вот это соблюдается, вот это соблюдается и это тоже)
Dialogue: 0,0:15:36.00,0:15:45.00,Default,,0000,0000,0000,,предел sin x/x при х, стремящемся к 0-лю, равен единице.
Dialogue: 0,0:15:45.00,0:15:49.00,Default,,0000,0000,0000,,Надеюсь, что это понятно. Можно пойти и другим путем:
Dialogue: 0,0:15:49.00,0:15:53.00,Default,,0000,0000,0000,,если вот эта линия все ниже и ниже опускается к нулю,
Dialogue: 0,0:15:53.00,0:15:58.00,Default,,0000,0000,0000,,если х стремится к 0-лю, то эта площадь и эта площадь сходятся в одну,
Dialogue: 0,0:15:58.00,0:16:04.00,Default,,0000,0000,0000,,значит, и площадь, которая между ними, сводится к ним обеим.
Dialogue: 0,0:16:04.00,0:16:10.00,Default,,0000,0000,0000,,Если вы хотите увидеть графическое отображение, то оно вот здесь.
Dialogue: 0,0:16:10.00,0:16:14.00,Default,,0000,0000,0000,,Посмотрю, получится ли показать вам график… Тогда вы мне поверите.
Dialogue: 0,0:16:14.00,0:16:20.00,Default,,0000,0000,0000,,Итак, мы говорили, что единица всегда больше sin x/х,
Dialogue: 0,0:16:20.00,0:16:28.00,Default,,0000,0000,0000,,что в свою очередь больше cos x в промежутке от (-π/2) до π/2.
Dialogue: 0,0:16:28.00,0:16:33.00,Default,,0000,0000,0000,,И, конечно, sin x/х не определен при х=0.
Dialogue: 0,0:16:33.00,0:16:36.00,Default,,0000,0000,0000,,Но мы можем найти предел. Здесь можно его увидеть.
Dialogue: 0,0:16:36.00,0:16:42.00,Default,,0000,0000,0000,,Синяя линия – это график функции единицы, т.е. y=1.
Dialogue: 0,0:16:42.00,0:16:46.00,Default,,0000,0000,0000,,Светло-голубая линия – это график косинуса х.
Dialogue: 0,0:16:46.00,0:16:50.00,Default,,0000,0000,0000,,А красная – это график sin x/х. Это обозначено вот здесь.
Dialogue: 0,0:16:50.00,0:17:00.00,Default,,0000,0000,0000,,Итак, график sin x/х в промежутке (-π/2, π/2) или в 1-ой и 4-ой четвертях,
Dialogue: 0,0:17:00.00,0:17:05.00,Default,,0000,0000,0000,,т.е. красная линия, всегда находится между синей и светло-голубой линиями.
Dialogue: 0,0:17:05.00,0:17:11.00,Default,,0000,0000,0000,,Я это говорю, чтоб вы поняли, что происходит в теореме о двух милиционерах.
Dialogue: 0,0:17:11.00,0:17:15.00,Default,,0000,0000,0000,,Мы знаем, что для этой светло-голубой лини
Dialogue: 0,0:17:15.00,0:17:19.00,Default,,0000,0000,0000,,предел равен единице, при х, стремящемся к 0.
Dialogue: 0,0:17:19.00,0:17:22.00,Default,,0000,0000,0000,,И знаем также, что для этой верхней, синей, линии
Dialogue: 0,0:17:22.00,0:17:26.00,Default,,0000,0000,0000,,предел равен единице, при х, стремящемся к 0.
Dialogue: 0,0:17:26.00,0:17:29.00,Default,,0000,0000,0000,,А эта красная линия находится всегда между ними,
Dialogue: 0,0:17:29.00,0:17:34.00,Default,,0000,0000,0000,,значит, предел этой функции тоже будет равен единице.
Dialogue: 0,0:17:34.00,0:17:36.00,Default,,0000,0000,0000,,Что и требовалось доказать.
Dialogue: 0,0:17:36.00,0:17:40.00,Default,,0000,0000,0000,,Мы использовали теорему сжатия и немного тригонометрии, чтобы доказать,
Dialogue: 0,0:17:40.00,0:17:48.00,Default,,0000,0000,0000,,что предел при х, стремящемся к 0-лю, функции sin x/х равен единице.
Dialogue: 0,0:17:48.00,0:17:52.00,Default,,0000,0000,0000,,Еще этот предел называют замечательным пределом.
Dialogue: 0,0:17:52.00,0:17:55.00,Default,,0000,0000,0000,,Почему его так называют, вы узнаете позже.
Dialogue: 0,0:17:55.00,0:17:58.00,Default,,0000,0000,0000,,Надеюсь, вы все поняли, и я вас не запутала.
Dialogue: 0,0:17:58.00,0:18:01.00,Default,,0000,0000,0000,,На сегодня все! До встречи на следующем уроке!