WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:01.000
И снова здравствуйте!

00:00:01.000 --> 00:00:05.000
Теперь, когда мы хорошо понимаем, в чем состоит теорема сжатия

00:00:05.000 --> 00:00:09.000
(или ее еще называют теоремой о 2-ух милиционерах),

00:00:09.000 --> 00:00:12.000
мы будем использовать ее, чтобы доказать, что предел…

00:00:12.000 --> 00:00:14.000
(напишу желтым цветом)…

00:00:14.000 --> 00:00:22.000
предел при х, стремящемся к 0-лю, [(sin x)/x]=1.

00:00:22.000 --> 00:00:24.000
Итак, докажем эту теорему.

00:00:24.000 --> 00:00:29.000
Мы должны сопровождать доказательство графическим подтверждением.

00:00:29.000 --> 00:00:36.000
Поэтому я нарисую, хотя бы, 1-ую и 4-ую четверти единичной окружности.

00:00:36.000 --> 00:00:45.000
Нарисую лиловым. Итак, посмотрим…

00:00:45.000 --> 00:00:47.000
Нужно нарисовать побольше.

00:00:47.000 --> 00:00:59.000
Так… Нужно нарисовать их очень большими. Поэтому я вот так рисую.

00:00:59.000 --> 00:01:10.000
Ну, пусть будет так. И нарисую оси. Это ось Y, а это ось Х. Вот так.

00:01:10.000 --> 00:01:14.000
Это наша единичная окружность.

00:01:14.000 --> 00:01:15.000
Теперь нарисую радиус,

00:01:15.000 --> 00:01:20.000
только я нарисую его выходящим за пределы окружности.

00:01:20.000 --> 00:01:26.000
Нарисую еще кое-что, чтобы решить нашу задачу.

00:01:26.000 --> 00:01:28.000
Нет, это не то, что я хотела сделать.

00:01:28.000 --> 00:01:32.000
Я хотела начать вот с этой точки.

00:01:32.000 --> 00:01:45.000
А из этой точки я хотела провести линию…и еще одну линию из той же точки. Вот так.

00:01:45.000 --> 00:01:47.000
Теперь мы готовы приступить к решению.

00:01:47.000 --> 00:01:50.000
Итак, это единичная окружность, правильно?

00:01:50.000 --> 00:01:53.000
Что значит «единичная окружность»?

00:01:53.000 --> 00:01:57.000
Это значит, что радиус этой окружности равен единице.

00:01:57.000 --> 00:02:03.000
Т.е. расстояние от этой точки до этой равно единице.

00:02:03.000 --> 00:02:10.000
И если это угол х (в радианах), то чему равна длина вот этого отрезка?

00:02:10.000 --> 00:02:15.000
По определению, sin х является Y-координатой

00:02:15.000 --> 00:02:18.000
любой точки на единичной окружности.

00:02:18.000 --> 00:02:30.000
Потому это – sin x (мне не хватает здесь места чтобы написать, поэтому нарисую стрелочку… так, вот это – sin х).

00:02:30.000 --> 00:02:36.000
А теперь задам вопрос посложнее. Чему равна длина вот этого отрезка?

00:02:36.000 --> 00:02:40.000
Давайте подумаем. Что такое тангенс (tg)?

00:02:40.000 --> 00:02:47.000
Вернемся к нашему SOH-CAH-TOA-определению тангенса. Вспомните еще такое?

00:02:47.000 --> 00:02:53.000
Тангенс, т.е. отношению противолежащего катета (от англ. «opposite»)

00:02:53.000 --> 00:03:02.000
к прилежащему (от англ. «adjacent») - это тангенс. Тогда чему равен tg x?

00:03:02.000 --> 00:03:04.000
Если это прямоугольный треугольник, то тангенс –

00:03:04.000 --> 00:03:10.000
это отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего, правильно?

00:03:10.000 --> 00:03:17.000
Назовем длину этого катета о (от англ. «opposite»).

00:03:17.000 --> 00:03:21.000
А чему равна длина прилежащего катета?

00:03:21.000 --> 00:03:24.000
Чему равно основание вот этого, большего, треугольника?

00:03:24.000 --> 00:03:26.000
Это ведь единичная окружность, правильно?

00:03:26.000 --> 00:03:31.000
Значит, расстояние от этой точки до этой будет равно единице.

00:03:31.000 --> 00:03:36.000
Потому что это – тоже радиус окружности. И равен он единице.

00:03:36.000 --> 00:03:41.000
Итак, отношение противолежащего катета к прилежащему равно tg x.

00:03:41.000 --> 00:03:46.000
Но если подставить в это соотношение единицу вместо прилежащего катета,

00:03:46.000 --> 00:03:52.000
то получится, что противолежащий катет (вот этот) будет равен tg x.

00:03:52.000 --> 00:03:59.000
Иначе говоря, tg x равен длине вот этого катета, деленной на единицу;

00:03:59.000 --> 00:04:05.000
или tg x равен длине вот этого катета. Запишу это.

00:04:05.000 --> 00:04:10.000
Этот катет равен tg x.

00:04:10.000 --> 00:04:16.000
А теперь давайте подумаем о площадях других частей нарисованной здесь фигуры.

00:04:16.000 --> 00:04:20.000
Может, стоило нарисовать ее побольше, но, думаю, у нас и так получится.

00:04:20.000 --> 00:04:24.000
Итак, первым делом выберу относительно небольшой треугольник.

00:04:24.000 --> 00:04:30.000
Возьму вот этот треугольник. Обведу его зеленым.

00:04:30.000 --> 00:04:34.000
Итак, чему равна площадь вот этого зеленого треугольника?

00:04:34.000 --> 00:04:40.000
Она будет равна 1/2, умножить на основание и умножить на высоту.

00:04:40.000 --> 00:04:45.000
Т.е. 1/2 умножить на основание, которое равно единице, правильно?

00:04:45.000 --> 00:04:51.000
А чему равна высота? Мы только что выяснили, что вот эта высота равна sin x.

00:04:51.000 --> 00:04:58.000
Значит, умножить на sin x. Это площадь вот этого зеленого треугольника.

00:04:58.000 --> 00:05:03.000
А чему равна площадь… не этого, не зеленого...

00:05:03.000 --> 00:05:06.000
Обведу другим цветом. Например, красным.

00:05:06.000 --> 00:05:12.000
Чему равна площадь вот этого сектора? Вот этого сектора.…

00:05:12.000 --> 00:05:16.000
Надеюсь, вы видите. Нет, все-таки этот цвет не сильно отличается.

00:05:16.000 --> 00:05:22.000
Итак, вот этот сектор. Сначала вот этот радиус, а затем дуга…

00:05:22.000 --> 00:05:28.000
Т.е. эта площадь будет больше площади треугольника, которую мы только что вычислили.

00:05:28.000 --> 00:05:29.000
Она будет немного больше потому,

00:05:29.000 --> 00:05:34.000
что включает в себя площадь между треугольником и дугой, правильно?

00:05:34.000 --> 00:05:36.000
Чему же она равна?

00:05:36.000 --> 00:05:38.000
Если этот угол равен х радиан,

00:05:38.000 --> 00:05:43.000
то какую долю он составляет от целой единичной окружности?

00:05:43.000 --> 00:05:47.000
В целой единичной окружности 2π радиан, так?

00:05:47.000 --> 00:05:49.000
Тогда чему будет равна вот эта площадь?

00:05:49.000 --> 00:05:55.000
Она будет равна доле угла х от целой единичной окружности, так?

00:05:55.000 --> 00:05:59.000
Т.е. х радиан разделить на 2π радиан

00:05:59.000 --> 00:06:04.000
(это доля, которую составляет вот этот угол от 360 градусов, если перейти к градусам)

00:06:04.000 --> 00:06:09.000
и умножить еще на площадь всего круга, правильно?

00:06:09.000 --> 00:06:14.000
Вот это показывает, какую долю от окружности занимает наша фигура,

00:06:14.000 --> 00:06:19.000
и нам нужно умножить это еще на площадь всего круга.

00:06:19.000 --> 00:06:21.000
А чему равна площадь всего этого круга?

00:06:21.000 --> 00:06:27.000
Она равна πR², а радиус равен единице, правильно?

00:06:27.000 --> 00:06:34.000
Значит, площадь всего круга равна просто п. (πR², где R=1).

00:06:34.000 --> 00:06:38.000
Тогда площадь всего вот этого сектора будет равна…

00:06:38.000 --> 00:06:42.000
π сокращаются, значит, получится х/2.

00:06:42.000 --> 00:06:49.000
Итак, площадь вот этого, первого, небольшого зеленого треугольника равна 1/2*sin x.

00:06:49.000 --> 00:06:52.000
Это площадь вот этого, зеленого, треугольника.

00:06:52.000 --> 00:06:57.000
Площадь вот этого сектора (мы только что нашли) равна х/2.

00:06:57.000 --> 00:07:01.000
А теперь давайте найдем площадь вот этого, большого треугольника.

00:07:01.000 --> 00:07:05.000
Она равна 1/2 умножить на основание, и умножить на высоту.

00:07:05.000 --> 00:07:11.000
Итак, основание опять равно единице, умножить на высоту, т.е. tg x.

00:07:11.000 --> 00:07:16.000
Значит, площадь равна 1/2*tg x.

00:07:16.000 --> 00:07:19.000
При взгляде на эту схему сразу должно быть ясно

00:07:19.000 --> 00:07:22.000
(и неважно, где нарисована вот эта линия),

00:07:22.000 --> 00:07:28.000
что площадь вот этого, зеленого, треугольника меньше площади вот этого сектора,

00:07:28.000 --> 00:07:34.000
а площадь сектора меньше площади вот этого, большого, треугольника. Правильно?

00:07:34.000 --> 00:07:37.000
Запишем это в виде неравенства.

00:07:37.000 --> 00:07:41.000
Площадь зеленого треугольника, т.е. 1/2*sin x,

00:07:41.000 --> 00:07:46.000
меньше площади вот этого сектора, которая равна х/2.

00:07:46.000 --> 00:07:50.000
И обе эти площади меньше площади вот этого,

00:07:50.000 --> 00:07:56.000
большого, треугольника, которая равна 1/2*tg x.

00:07:56.000 --> 00:07:59.000
Когда это неравенство справедливо?

00:07:59.000 --> 00:08:04.000
Оно справедливо, пока мы находимся в 1-ой четверти, правильно?

00:08:04.000 --> 00:08:08.000
Пока мы находимся в 1-ой четверти.

00:08:08.000 --> 00:08:12.000
Также оно почти справедливо, если мы переходим в 4-ую четверть,

00:08:12.000 --> 00:08:17.000
за исключением того, что тогда синус и тангенс становятся отрицательными,

00:08:17.000 --> 00:08:19.000
и х также становится отрицательным.

00:08:19.000 --> 00:08:22.000
Но если мы возьмем абсолютные значения, т.е. модуль,

00:08:22.000 --> 00:08:25.000
то неравенство все еще будет справедливым и в 4-ой четверти.

00:08:25.000 --> 00:08:28.000
Потому что, если пойти в отрицательном направлении,

00:08:28.000 --> 00:08:33.000
и при этом брать абсолютные значения, то расстояние будет сохраняться,

00:08:33.000 --> 00:08:36.000
значит, и значения площадей будут положительными.

00:08:36.000 --> 00:08:41.000
Итак, моя цель – найти предел при х, стремящемся к 0-лю.

00:08:41.000 --> 00:08:46.000
И чтобы этот предел был вообще определен, неравенство должно быть справедливым

00:08:46.000 --> 00:08:49.000
как с положительной, так и с отрицательной стороны.

00:08:49.000 --> 00:08:53.000
Давайте возьмем абсолютные значения в неравенстве.

00:08:53.000 --> 00:08:55.000
Надеюсь, вам это понятно.

00:08:55.000 --> 00:09:04.000
Если провести линию вниз, то это будет синусом х, это – тангенсом.…

00:09:04.000 --> 00:09:09.000
И если вы берете абсолютные значения, то делаете то же самое, что и в первой четверти.

00:09:09.000 --> 00:09:11.000
Итак, давайте возьмем абсолютные значения.

00:09:11.000 --> 00:09:18.000
От этого ничего не должно измениться, особенно, если вы находитесь в 1-ой четверти.

00:09:18.000 --> 00:09:24.000
Итак, у нас есть это неравенство. Посмотрим, можно ли его как-то преобразовать.

00:09:24.000 --> 00:09:28.000
Прежде всего, давайте избавимся от 1/2-ой, умножив все на 2.

00:09:28.000 --> 00:09:35.000
Итак, модуль sin x меньше модуля х,

00:09:35.000 --> 00:09:42.000
который в свою очередь меньше модуля tg x.

00:09:42.000 --> 00:09:45.000
Надеюсь, я не запутала вас этими модулями.

00:09:45.000 --> 00:09:50.000
Начальное неравенство, которое я записала, полностью соблюдалось в 1-й четверти.

00:09:50.000 --> 00:09:55.000
Но т.к. я хотела, чтобы это неравенство соблюдалось и в 1-ой, и в 4-ой четверти,

00:09:55.000 --> 00:09:58.000
потому что ищу предел при х, стремящемся к 0-лю с обеих сторон,

00:09:58.000 --> 00:10:01.000
то беру здесь абсолютные значения.

00:10:01.000 --> 00:10:03.000
Т.е. можно было бы провести линию вниз

00:10:03.000 --> 00:10:08.000
и то же самое, что мы делали здесь, сделать и для 4-ой четверти,

00:10:08.000 --> 00:10:14.000
но при этом брать абсолютные значения, и неравенство снова должно сработать.

00:10:15.000 --> 00:10:18.000
Вернемся к задаче. Итак, у нас есть это неравенство.

00:10:18.000 --> 00:10:22.000
Возьмем это выражение и разделим все его части…

00:10:22.000 --> 00:10:25.000
Можно сказать, что у него 3 части – левая, средняя и правая.

00:10:25.000 --> 00:10:29.000
Разделим их все на модуль sin x.

00:10:29.000 --> 00:10:33.000
И поскольку мы знаем, что модуль sin x – это положительное число,

00:10:33.000 --> 00:10:39.000
то знаем и то, что вот эти знаки < (меньше) не меняются, правильно?

00:10:39.000 --> 00:10:40.000
Давайте разделим.

00:10:40.000 --> 00:10:47.000
Итак, модуль sin x, деленный на модуль sin x – это просто единица.

00:10:47.000 --> 00:10:56.000
Единица меньше модуля х, деленного на модуль sin x, а это в свою очередь меньше.…

00:10:56.000 --> 00:11:02.000
Повторю, что я делю вот это неравенство на модуль sin x.

00:11:02.000 --> 00:11:07.000
Чему равен модуль tg x, деленный на модуль sin x?

00:11:07.000 --> 00:11:10.000
Тангенс – это отношение синуса к косинусу.

00:11:10.000 --> 00:11:13.000
Итак, это равно… Просто преобразуем правую часть.

00:11:13.000 --> 00:11:21.000
Это равно отношению синуса к косинусу, деленному еще на синус.

00:11:21.000 --> 00:11:27.000
И можно сказать, что это то же самое, что модуль, и модуль, деленные на модуль.

00:11:27.000 --> 00:11:31.000
Что останется? Останется только единица разделить на….

00:11:31.000 --> 00:11:37.000
синусы сокращаются, значит, останется единица разделить на модуль cos x.

00:11:37.000 --> 00:11:43.000
Мы уже близки к разгадке. Вот это выглядит как наша функция, только перевернутая.

00:11:43.000 --> 00:11:50.000
И чтобы в средней части получить нашу функцию, давайте перевернем неравенство.

00:11:50.000 --> 00:11:52.000
Что тогда произойдет?

00:11:52.000 --> 00:11:55.000
Прежде всего, что будет, если перевернуть единицу?

00:11:55.000 --> 00:11:57.000
1/1 – это просто единица.

00:11:57.000 --> 00:12:00.000
Но если вы перевернете все части неравенства,

00:12:00.000 --> 00:12:03.000
то и знак неравенства поменяется, правильно?

00:12:03.000 --> 00:12:06.000
Если вам это непонятно, рассуждайте так:

00:12:06.000 --> 00:12:12.000
если я скажу, что 1/2<2, а затем переверну обе части неравенства,

00:12:12.000 --> 00:12:19.000
то получу 2>1/2. Надеюсь, что так вам более понятно.

00:12:19.000 --> 00:12:22.000
Т.е. если я переворачиваю все части этого неравенства,

00:12:22.000 --> 00:12:24.000
то знаки неравенства я должна изменить.

00:12:24.000 --> 00:12:29.000
Итак, единица больше модуля sin x, деленного на модуль х,

00:12:29.000 --> 00:12:34.000
что в свою очередь больше модуля cos x.

00:12:34.000 --> 00:12:36.000
Теперь я задам вам вопрос.

00:12:36.000 --> 00:12:40.000
Модуль sin x… прежде всего, sin x/x.

00:12:40.000 --> 00:12:44.000
Будет ли такой случай, когда выражение sin x/x

00:12:44.000 --> 00:12:48.000
в 1-ой или 4-ой четверти будет иметь знак «минус»?

00:12:48.000 --> 00:12:53.000
В 1-ой четверти значения sin x будут положительными, значения х тоже.

00:12:53.000 --> 00:12:56.000
Положительное значение, деленное на положительное,

00:12:56.000 --> 00:12:59.000
в результате также даст положительное значение.

00:12:59.000 --> 00:13:02.000
А в 4-ой четверти синус принимает отрицательные значения

00:13:02.000 --> 00:13:05.000
(т.к. y отрицательный и угол отрицательный),

00:13:05.000 --> 00:13:10.000
значит, значения х также будут отрицательными.

00:13:10.000 --> 00:13:16.000
В этом случае sin x/x – принимает отрицательное значение, деленное на отрицательное значение,

00:13:16.000 --> 00:13:19.000
что в результате даст положительное значение.

00:13:19.000 --> 00:13:26.000
Значит, sin x/x –всегда будет положительным. Поэтому знаки модуля тут не нужны.

00:13:26.000 --> 00:13:32.000
Тогда можно записать так: единица больше sin x/x…

00:13:32.000 --> 00:13:34.000
И по той же логике: в 1-ой и 4-ой четвертях,

00:13:34.000 --> 00:13:39.000
т.е. если имеем дело, например, с (-π/2), которое меньше x,

00:13:39.000 --> 00:13:41.000
а х в свою очередь меньше π/2.

00:13:41.000 --> 00:13:47.000
Т.е. мы идем от (-π/2) до π/2, в 1-ой и 4-ой четвертях.

00:13:47.000 --> 00:13:50.000
Будет ли cos x отрицательным?

00:13:50.000 --> 00:13:56.000
По определению, значения косинуса в 1-ой и 4-ой четвертях всегда положительные.

00:13:56.000 --> 00:13:57.000
Значит, и в правой части неравенства

00:13:57.000 --> 00:14:03.000
можно убрать знаки абсолютного значения и оставить только cos x.

00:14:03.000 --> 00:14:07.000
Теперь мы готовы использовать теорему о двух милиционерах.

00:14:07.000 --> 00:14:14.000
Итак, чему равен предел при х, стремящемся к 0-лю, функции единицы?

00:14:14.000 --> 00:14:17.000
Функция единицы всегда равна единице.

00:14:17.000 --> 00:14:23.000
Т.е. я могу искать ее предел при х, стремящемся к бесконечности, при х, стремящемся к π.

00:14:23.000 --> 00:14:26.000
И он всегда будет равен единице.

00:14:26.000 --> 00:14:30.000
Т.е. при х, стремящемся к 0-лю, этот предел равен единице.

00:14:30.000 --> 00:14:36.000
А чему равен предел при х, стремящемся к 0-лю, функции cos x?

00:14:36.000 --> 00:14:42.000
Это тоже легко. При х, стремящемся к 0-лю, косинус нуля равен просто единице.

00:14:42.000 --> 00:14:49.000
Как вы знаете, косинус – это непрерывная функция, значит, предел равен единице.

00:14:49.000 --> 00:14:52.000
Итак, мы готовы использовать теорему сжатия.

00:14:52.000 --> 00:14:57.000
При х, стремящемся к 0-лю, вот эта функция стремится к единице,

00:14:57.000 --> 00:15:00.000
и вот эта функция тоже стремится к единице.

00:15:00.000 --> 00:15:05.000
А вот эта – она здесь находится между двумя другими функциями.

00:15:05.000 --> 00:15:07.000
И если она находится между двумя…

00:15:07.000 --> 00:15:11.000
Т.е. если эта функция стремится к единице при х, стремящемся к 0-лю,

00:15:11.000 --> 00:15:15.000
и эта функция также стремится к единице при х, стремящемся к 0-лю,

00:15:15.000 --> 00:15:20.000
а эта находится между ними, то она тоже должна стремиться к единице

00:15:20.000 --> 00:15:23.000
при х, стремящемся к 0-лю.

00:15:23.000 --> 00:15:29.000
Используем теорему о двух милиционерах, основанную на этом и на этом.

00:15:29.000 --> 00:15:32.000
И можно было бы сказать, что вследствие этой теоремы

00:15:32.000 --> 00:15:36.000
(потому что вот это соблюдается, вот это соблюдается и это тоже)

00:15:36.000 --> 00:15:45.000
предел sin x/x при х, стремящемся к 0-лю, равен единице.

00:15:45.000 --> 00:15:49.000
Надеюсь, что это понятно. Можно пойти и другим путем:

00:15:49.000 --> 00:15:53.000
если вот эта линия все ниже и ниже опускается к нулю,

00:15:53.000 --> 00:15:58.000
если х стремится к 0-лю, то эта площадь и эта площадь сходятся в одну,

00:15:58.000 --> 00:16:04.000
значит, и площадь, которая между ними, сводится к ним обеим.

00:16:04.000 --> 00:16:10.000
Если вы хотите увидеть графическое отображение, то оно вот здесь.

00:16:10.000 --> 00:16:14.000
Посмотрю, получится ли показать вам график… Тогда вы мне поверите.

00:16:14.000 --> 00:16:20.000
Итак, мы говорили, что единица всегда больше sin x/х,

00:16:20.000 --> 00:16:28.000
что в свою очередь больше cos x в промежутке от (-π/2) до π/2.

00:16:28.000 --> 00:16:33.000
И, конечно, sin x/х не определен при х=0.

00:16:33.000 --> 00:16:36.000
Но мы можем найти предел. Здесь можно его увидеть.

00:16:36.000 --> 00:16:42.000
Синяя линия – это график функции единицы, т.е. y=1.

00:16:42.000 --> 00:16:46.000
Светло-голубая линия – это график косинуса х.

00:16:46.000 --> 00:16:50.000
А красная – это график sin x/х. Это обозначено вот здесь.

00:16:50.000 --> 00:17:00.000
Итак, график sin x/х в промежутке (-π/2, π/2) или в 1-ой и 4-ой четвертях,

00:17:00.000 --> 00:17:05.000
т.е. красная линия, всегда находится между синей и светло-голубой линиями.

00:17:05.000 --> 00:17:11.000
Я это говорю, чтоб вы поняли, что происходит в теореме о двух милиционерах.

00:17:11.000 --> 00:17:15.000
Мы знаем, что для этой светло-голубой лини

00:17:15.000 --> 00:17:19.000
предел равен единице, при х, стремящемся к 0.

00:17:19.000 --> 00:17:22.000
И знаем также, что для этой верхней, синей, линии

00:17:22.000 --> 00:17:26.000
предел равен единице, при х, стремящемся к 0.

00:17:26.000 --> 00:17:29.000
А эта красная линия находится всегда между ними,

00:17:29.000 --> 00:17:34.000
значит, предел этой функции тоже будет равен единице.

00:17:34.000 --> 00:17:36.000
Что и требовалось доказать.

00:17:36.000 --> 00:17:40.000
Мы использовали теорему сжатия и немного тригонометрии, чтобы доказать,

00:17:40.000 --> 00:17:48.000
что предел при х, стремящемся к 0-лю, функции sin x/х равен единице.

00:17:48.000 --> 00:17:52.000
Еще этот предел называют замечательным пределом.

00:17:52.000 --> 00:17:55.000
Почему его так называют, вы узнаете позже.

00:17:55.000 --> 00:17:58.000
Надеюсь, вы все поняли, и я вас не запутала.

00:17:58.000 --> 00:18:01.000
На сегодня все! До встречи на следующем уроке!