И снова здравствуйте!
Теперь, когда мы хорошо понимаем, в чем состоит теорема сжатия
(или ее еще называют теоремой о 2-ух милиционерах),
мы будем использовать ее, чтобы доказать, что предел…
(напишу желтым цветом)…
предел при х, стремящемся к 0-лю, [(sin x)/x]=1.
Итак, докажем эту теорему.
Мы должны сопровождать доказательство графическим подтверждением.
Поэтому я нарисую, хотя бы, 1-ую и 4-ую четверти единичной окружности.
Нарисую лиловым. Итак, посмотрим…
Нужно нарисовать побольше.
Так… Нужно нарисовать их очень большими. Поэтому я вот так рисую.
Ну, пусть будет так. И нарисую оси. Это ось Y, а это ось Х. Вот так.
Это наша единичная окружность.
Теперь нарисую радиус,
только я нарисую его выходящим за пределы окружности.
Нарисую еще кое-что, чтобы решить нашу задачу.
Нет, это не то, что я хотела сделать.
Я хотела начать вот с этой точки.
А из этой точки я хотела провести линию…и еще одну линию из той же точки. Вот так.
Теперь мы готовы приступить к решению.
Итак, это единичная окружность, правильно?
Что значит «единичная окружность»?
Это значит, что радиус этой окружности равен единице.
Т.е. расстояние от этой точки до этой равно единице.
И если это угол х (в радианах), то чему равна длина вот этого отрезка?
По определению, sin х является Y-координатой
любой точки на единичной окружности.
Потому это – sin x (мне не хватает здесь места чтобы написать, поэтому нарисую стрелочку… так, вот это – sin х).
А теперь задам вопрос посложнее. Чему равна длина вот этого отрезка?
Давайте подумаем. Что такое тангенс (tg)?
Вернемся к нашему SOH-CAH-TOA-определению тангенса. Вспомните еще такое?
Тангенс, т.е. отношению противолежащего катета (от англ. «opposite»)
к прилежащему (от англ. «adjacent») - это тангенс. Тогда чему равен tg x?
Если это прямоугольный треугольник, то тангенс –
это отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего, правильно?
Назовем длину этого катета о (от англ. «opposite»).
А чему равна длина прилежащего катета?
Чему равно основание вот этого, большего, треугольника?
Это ведь единичная окружность, правильно?
Значит, расстояние от этой точки до этой будет равно единице.
Потому что это – тоже радиус окружности. И равен он единице.
Итак, отношение противолежащего катета к прилежащему равно tg x.
Но если подставить в это соотношение единицу вместо прилежащего катета,
то получится, что противолежащий катет (вот этот) будет равен tg x.
Иначе говоря, tg x равен длине вот этого катета, деленной на единицу;
или tg x равен длине вот этого катета. Запишу это.
Этот катет равен tg x.
А теперь давайте подумаем о площадях других частей нарисованной здесь фигуры.
Может, стоило нарисовать ее побольше, но, думаю, у нас и так получится.
Итак, первым делом выберу относительно небольшой треугольник.
Возьму вот этот треугольник. Обведу его зеленым.
Итак, чему равна площадь вот этого зеленого треугольника?
Она будет равна 1/2, умножить на основание и умножить на высоту.
Т.е. 1/2 умножить на основание, которое равно единице, правильно?
А чему равна высота? Мы только что выяснили, что вот эта высота равна sin x.
Значит, умножить на sin x. Это площадь вот этого зеленого треугольника.
А чему равна площадь… не этого, не зеленого...
Обведу другим цветом. Например, красным.
Чему равна площадь вот этого сектора? Вот этого сектора.…
Надеюсь, вы видите. Нет, все-таки этот цвет не сильно отличается.
Итак, вот этот сектор. Сначала вот этот радиус, а затем дуга…
Т.е. эта площадь будет больше площади треугольника, которую мы только что вычислили.
Она будет немного больше потому,
что включает в себя площадь между треугольником и дугой, правильно?
Чему же она равна?
Если этот угол равен х радиан,
то какую долю он составляет от целой единичной окружности?
В целой единичной окружности 2π радиан, так?
Тогда чему будет равна вот эта площадь?
Она будет равна доле угла х от целой единичной окружности, так?
Т.е. х радиан разделить на 2π радиан
(это доля, которую составляет вот этот угол от 360 градусов, если перейти к градусам)
и умножить еще на площадь всего круга, правильно?
Вот это показывает, какую долю от окружности занимает наша фигура,
и нам нужно умножить это еще на площадь всего круга.
А чему равна площадь всего этого круга?
Она равна πR², а радиус равен единице, правильно?
Значит, площадь всего круга равна просто п. (πR², где R=1).
Тогда площадь всего вот этого сектора будет равна…
π сокращаются, значит, получится х/2.
Итак, площадь вот этого, первого, небольшого зеленого треугольника равна 1/2*sin x.
Это площадь вот этого, зеленого, треугольника.
Площадь вот этого сектора (мы только что нашли) равна х/2.
А теперь давайте найдем площадь вот этого, большого треугольника.
Она равна 1/2 умножить на основание, и умножить на высоту.
Итак, основание опять равно единице, умножить на высоту, т.е. tg x.
Значит, площадь равна 1/2*tg x.
При взгляде на эту схему сразу должно быть ясно
(и неважно, где нарисована вот эта линия),
что площадь вот этого, зеленого, треугольника меньше площади вот этого сектора,
а площадь сектора меньше площади вот этого, большого, треугольника. Правильно?
Запишем это в виде неравенства.
Площадь зеленого треугольника, т.е. 1/2*sin x,
меньше площади вот этого сектора, которая равна х/2.
И обе эти площади меньше площади вот этого,
большого, треугольника, которая равна 1/2*tg x.
Когда это неравенство справедливо?
Оно справедливо, пока мы находимся в 1-ой четверти, правильно?
Пока мы находимся в 1-ой четверти.
Также оно почти справедливо, если мы переходим в 4-ую четверть,
за исключением того, что тогда синус и тангенс становятся отрицательными,
и х также становится отрицательным.
Но если мы возьмем абсолютные значения, т.е. модуль,
то неравенство все еще будет справедливым и в 4-ой четверти.
Потому что, если пойти в отрицательном направлении,
и при этом брать абсолютные значения, то расстояние будет сохраняться,
значит, и значения площадей будут положительными.
Итак, моя цель – найти предел при х, стремящемся к 0-лю.
И чтобы этот предел был вообще определен, неравенство должно быть справедливым
как с положительной, так и с отрицательной стороны.
Давайте возьмем абсолютные значения в неравенстве.
Надеюсь, вам это понятно.
Если провести линию вниз, то это будет синусом х, это – тангенсом.…
И если вы берете абсолютные значения, то делаете то же самое, что и в первой четверти.
Итак, давайте возьмем абсолютные значения.
От этого ничего не должно измениться, особенно, если вы находитесь в 1-ой четверти.
Итак, у нас есть это неравенство. Посмотрим, можно ли его как-то преобразовать.
Прежде всего, давайте избавимся от 1/2-ой, умножив все на 2.
Итак, модуль sin x меньше модуля х,
который в свою очередь меньше модуля tg x.
Надеюсь, я не запутала вас этими модулями.
Начальное неравенство, которое я записала, полностью соблюдалось в 1-й четверти.
Но т.к. я хотела, чтобы это неравенство соблюдалось и в 1-ой, и в 4-ой четверти,
потому что ищу предел при х, стремящемся к 0-лю с обеих сторон,
то беру здесь абсолютные значения.
Т.е. можно было бы провести линию вниз
и то же самое, что мы делали здесь, сделать и для 4-ой четверти,
но при этом брать абсолютные значения, и неравенство снова должно сработать.
Вернемся к задаче. Итак, у нас есть это неравенство.
Возьмем это выражение и разделим все его части…
Можно сказать, что у него 3 части – левая, средняя и правая.
Разделим их все на модуль sin x.
И поскольку мы знаем, что модуль sin x – это положительное число,
то знаем и то, что вот эти знаки < (меньше) не меняются, правильно?
Давайте разделим.
Итак, модуль sin x, деленный на модуль sin x – это просто единица.
Единица меньше модуля х, деленного на модуль sin x, а это в свою очередь меньше.…
Повторю, что я делю вот это неравенство на модуль sin x.
Чему равен модуль tg x, деленный на модуль sin x?
Тангенс – это отношение синуса к косинусу.
Итак, это равно… Просто преобразуем правую часть.
Это равно отношению синуса к косинусу, деленному еще на синус.
И можно сказать, что это то же самое, что модуль, и модуль, деленные на модуль.
Что останется? Останется только единица разделить на….
синусы сокращаются, значит, останется единица разделить на модуль cos x.
Мы уже близки к разгадке. Вот это выглядит как наша функция, только перевернутая.
И чтобы в средней части получить нашу функцию, давайте перевернем неравенство.
Что тогда произойдет?
Прежде всего, что будет, если перевернуть единицу?
1/1 – это просто единица.
Но если вы перевернете все части неравенства,
то и знак неравенства поменяется, правильно?
Если вам это непонятно, рассуждайте так:
если я скажу, что 1/2<2, а затем переверну обе части неравенства,
то получу 2>1/2. Надеюсь, что так вам более понятно.
Т.е. если я переворачиваю все части этого неравенства,
то знаки неравенства я должна изменить.
Итак, единица больше модуля sin x, деленного на модуль х,
что в свою очередь больше модуля cos x.
Теперь я задам вам вопрос.
Модуль sin x… прежде всего, sin x/x.
Будет ли такой случай, когда выражение sin x/x
в 1-ой или 4-ой четверти будет иметь знак «минус»?
В 1-ой четверти значения sin x будут положительными, значения х тоже.
Положительное значение, деленное на положительное,
в результате также даст положительное значение.
А в 4-ой четверти синус принимает отрицательные значения
(т.к. y отрицательный и угол отрицательный),
значит, значения х также будут отрицательными.
В этом случае sin x/x – принимает отрицательное значение, деленное на отрицательное значение,
что в результате даст положительное значение.
Значит, sin x/x –всегда будет положительным. Поэтому знаки модуля тут не нужны.
Тогда можно записать так: единица больше sin x/x…
И по той же логике: в 1-ой и 4-ой четвертях,
т.е. если имеем дело, например, с (-π/2), которое меньше x,
а х в свою очередь меньше π/2.
Т.е. мы идем от (-π/2) до π/2, в 1-ой и 4-ой четвертях.
Будет ли cos x отрицательным?
По определению, значения косинуса в 1-ой и 4-ой четвертях всегда положительные.
Значит, и в правой части неравенства
можно убрать знаки абсолютного значения и оставить только cos x.
Теперь мы готовы использовать теорему о двух милиционерах.
Итак, чему равен предел при х, стремящемся к 0-лю, функции единицы?
Функция единицы всегда равна единице.
Т.е. я могу искать ее предел при х, стремящемся к бесконечности, при х, стремящемся к π.
И он всегда будет равен единице.
Т.е. при х, стремящемся к 0-лю, этот предел равен единице.
А чему равен предел при х, стремящемся к 0-лю, функции cos x?
Это тоже легко. При х, стремящемся к 0-лю, косинус нуля равен просто единице.
Как вы знаете, косинус – это непрерывная функция, значит, предел равен единице.
Итак, мы готовы использовать теорему сжатия.
При х, стремящемся к 0-лю, вот эта функция стремится к единице,
и вот эта функция тоже стремится к единице.
А вот эта – она здесь находится между двумя другими функциями.
И если она находится между двумя…
Т.е. если эта функция стремится к единице при х, стремящемся к 0-лю,
и эта функция также стремится к единице при х, стремящемся к 0-лю,
а эта находится между ними, то она тоже должна стремиться к единице
при х, стремящемся к 0-лю.
Используем теорему о двух милиционерах, основанную на этом и на этом.
И можно было бы сказать, что вследствие этой теоремы
(потому что вот это соблюдается, вот это соблюдается и это тоже)
предел sin x/x при х, стремящемся к 0-лю, равен единице.
Надеюсь, что это понятно. Можно пойти и другим путем:
если вот эта линия все ниже и ниже опускается к нулю,
если х стремится к 0-лю, то эта площадь и эта площадь сходятся в одну,
значит, и площадь, которая между ними, сводится к ним обеим.
Если вы хотите увидеть графическое отображение, то оно вот здесь.
Посмотрю, получится ли показать вам график… Тогда вы мне поверите.
Итак, мы говорили, что единица всегда больше sin x/х,
что в свою очередь больше cos x в промежутке от (-π/2) до π/2.
И, конечно, sin x/х не определен при х=0.
Но мы можем найти предел. Здесь можно его увидеть.
Синяя линия – это график функции единицы, т.е. y=1.
Светло-голубая линия – это график косинуса х.
А красная – это график sin x/х. Это обозначено вот здесь.
Итак, график sin x/х в промежутке (-π/2, π/2) или в 1-ой и 4-ой четвертях,
т.е. красная линия, всегда находится между синей и светло-голубой линиями.
Я это говорю, чтоб вы поняли, что происходит в теореме о двух милиционерах.
Мы знаем, что для этой светло-голубой лини
предел равен единице, при х, стремящемся к 0.
И знаем также, что для этой верхней, синей, линии
предел равен единице, при х, стремящемся к 0.
А эта красная линия находится всегда между ними,
значит, предел этой функции тоже будет равен единице.
Что и требовалось доказать.
Мы использовали теорему сжатия и немного тригонометрии, чтобы доказать,
что предел при х, стремящемся к 0-лю, функции sin x/х равен единице.
Еще этот предел называют замечательным пределом.
Почему его так называют, вы узнаете позже.
Надеюсь, вы все поняли, и я вас не запутала.
На сегодня все! До встречи на следующем уроке!