ck12.org Задачи с нормално разпределение: Емпирично правило

Използване на емпиричното правило (или правилото 68-95-99,7 rule) за намиране на вероятности при нормално разпределение

Нека решим още една задача от раздела
за нормално разпределение

от учебника по статистика AP на ck12.org.

Използвам техните материали,
защото това е свободен

източник и е доста добър учебник.

Мисля, че тези задачи
са добро упражнение за нас.

Да видим задача 3.

Можеш да посетиш сайта им,

и мисля, че можеш
да си изтеглиш учебника.

Да допуснем, че теглото на 1-годишните
момичета в Съединените щати

е нормално разпределено
и има медиана около 9,5 грама...

Това трябва да са килограми!

Имам 10-месечен син, който
тежи около 20 фунта,

което са около 9 килограма,
а не 9,5 грама.

9,5 грама са нищо.

Все едно говорим за мишка.

Това трябва да са килограми.

Както и да е, около 9,5 килограма,

със стандартно отклонение
от около 1,1 грама.

Значи медианата е равна на
9,5 килограма, предполагам,

и стандартното отклонение
е равно на 1,1 грама.

Без да използваш калкулатор –
това е интересна подсказка –

намери процента на 1-годишните
момичета в Съединените щати,

които отговарят на следните условия...

Когато ни казват, че трябва
да намерим приблизителен отговор

без калкулатор, това е голяма
подсказка, че трябва

да използваме емпиричното правило.

Емпиричното правило се нарича
също правилото 68-95-99,7.

И ако запомниш, че това е
името на правилото,

вече си запомнил/а и самото правило.

То ни казва, че ако имаме
нормално разпределение –

тук ще преговоря малко, преди

да започнем да решаваме.

Ако имаме нормално разпределение –

ще начертая нормално разпределение.

То изглежда така.

Това ми е нормалното разпределение.

Не го направих идеално,
но разбираш за какво говоря.

Трябва да е симетрично.

Това тук ни е медианата.

Това е медианата.

Сега отиваме с едно стандартно отклонение
над и с едно стандартно

отклонение под медианата,
значи това ни е

медианата плюс
едно стандартно отклонение.

Това ни е медианата минус
едно стандартно отклонение.

Вероятността да намерим отговор,
ако работим с

идеално нормално разпределение,
който е между едно стандартно

отклонение под медианата и едно
стандартно отклонение над медианата –

това е ето тази площ –

ще е 68%.

Имаме 68% шанс да открием
нещо в рамките на

едно стандартно отклонение
от медианата.

Едно стандартно отклонение
под или над медианата,

или където и да е между
тези две точки.

Сега, ако говорим за две стандартни
отклонения от медианата...

Тоест, ако се преместим
с още едно стандартно

отклонение в едната
или другата посока...

ако си зададем въпроса
каква е вероятността да намерим

нещо в този интервал,
можем да познаем,

че става въпрос за 95%.

И това включва и площта
по средата.

Тези 68% са част от 95-те %.

Мисля, че разбираш какво става.

Ако отидем три стандартни
отклонения под медианата и

над медианата, емпиричното правило
или правилото 68-95-99,7

ни казва, че има вероятност
99,7% да намерим резултат

в нормално разпределение, който
е в рамките на три стандартни

отклонения от медианата.

Над три стандартни отклонения
под медианата

и под три стандартни отклонения
над медианата.

Това ни казва емпиричното правило.

Да видим дали можем
да приложим това към задачата ни.

Дали са ни медианата
и стандартното отклонение.

Нека начертая това.

Ще начертая оста първо,
възможно най-добре.

Това ми е оста.

Чертая камбановидната крива.

Това е възможно най-хубавата крива,

която може да се направи на ръка.

И медианата тук е 9, това
трябва да е симетрично.

Тази височина трябва
да е същата като тази.

Мисля, че разбираш –

аз не съм компютър.

Медианата е 9,5.

Няма да записвам
мерните единици.

Всичко е в килограми.

Едно стандартно отклонение
над медианата ще добави 1,1 към

това, защото ни казват,
че стандартното отклонение е 1,1.

Това ще бъде 10,6.

Нека направя една
пунктирана линия.

Ако отидем с 1 стандартно отклонение
под медианата, ще извадим

1,1 от 9,5 и това ще стане 8,4.

Ако отидем с две стандартни
отклонения над медианата,

ще добавим още едно
стандартно отклонение тук.

Нали?

Преместихме се с 1, 2

стандартни отклонения.

Тогава ще достигнем 11,7.

И ако се преместим с
3 стандартни отклонения,

пак ще добавим 1,1.

И ще сме на 12,8.

Ще го направя от другата страна,
едно стандартно отклонение

под медианата е 8,4.

Две стандартни отклонения
под медианата – вадим 1,1 пак

и получаваме 7,3.

И после – три стандартни
отклонения под медианата –

ще запишем тук 6,2 килограма.

Това ни е подготовката
за задачата.

Търсим каква е вероятността
да намерим 1-годишно момиче

в Съединените щати, което тежи
по-малко от 8,4 килограма.

Или, по-добре да кажа,
чиято маса ще е

по-малка от 8,4 килограма.

Ако погледнем тук,
вероятността да намерим

1-годишно момиченце с маса

по-малко от 8,4 килограма
е ето тази площ тук.

Казах маса, защото килограмите всъщност
са единица за измерване на маса.

Повечето хора я използват
и за тегло.

Така, ето тази площ.

Как можем да намерим
тази площ под

това нормално разпределение,
като използваме емпиричното правило?

Ние знаем колко
е тази площ.

Знаем, че площта между минус едно
стандартно отклонение

и плюс едно стандартно
отклонение е 68%.

И ако това е 68%, това означава,
че частите, които

не са в средната площ, са по 32%.

Защото площта под цялото
нормално разпределение е

100% – или 1, зависи
как го разглеждаш.

Сборът от всички вероятности
винаги е 1.

Не може да имаме повече
от 100% тук.

Ако съберем тази и тази част,

ще получим остатъка.

Така 100 минус 68 прави 32.

32%.

32% – това се получава,
като съберем лявата

и дясната част тук.

И това е идеално нормално
разпределение.

Казаха ни, че имаме
нормално разпределение.

Значи симетрията е идеална.

Ако сборът на тази част
и на тази част е 32 и те са

симетрични, тоест имат
еднаква площ, тогава

тази част тук –
ще я направя в розово...

повече прилича на лилаво –
ще е 16%.

И ето тази част ще е 16%.

Значи вероятността да получим резултат,
по-голям от едно стандартно

отклонение над медианата –
ето тази, дясна част,

ще бъде 16%.

Или, вероятността да получим резултат,
който е с по-малко от едно

стандартно отклонение
под медианата, ето тук, е 16%.

Търсим вероятността
да имаме 1-годишно момиче,

което тежи по-малко
от 8,4 килограма.

По-малко от 8,4 килограма –
това е площта ето тук.

И това са 16%.

Имаме 16% за подточка а).

Да решим и част b:
между 7,3 и 11,7 килограма.

Така, между 7,3 – това е ето тук.

Това са две стандартни
отклонения под медианата.

И 11,7 – едно, две стандартни
отклонения над медианата.

Значи всъщност ни питат
каква е вероятността

да получим резултат, който е
до две стандартни отклонения

от медианата, нали?

Това ни е медианата.

Това са две стандартни
отклонения под нея.

А това са две стандартни
отклонения над нея.

Това е доста ясно.

Емпиричното правило ни казва, че
между две стандартни отклонения

имаме шанс 95%
да получим резултат, който е

в рамките на две
стандартни отклонения.

Значи емпиричното правило само по себе си
ни дава този отговор.

И накрая, да решим подточка с:
Каква е вероятността да имаме

1-годишно момиче, което тежи
повече от 12,8 килограма?

12,8 килограма са
три стандартни отклонения

над медианата.

Значи търсим вероятността
да имаме резултат,

който е повече от три
отклонения над медианата.

Това е ето тази отдалечена площ,
която направих в оранжево.

Може би трябва
да я направя в друг цвят,

за повече контраст.

Става въпрос за тази
мъничка площ тук.

Каква е тази вероятност?

Нека се върнем към
емпиричното ни правило.

Знаем вероятността –
знаем тази площ.

Това е площта между минус три
стандартни отклонения и

плюс три стандартни отклонения.

Това ни е последната задача,
така че мога

да оцветя всичко –
знаем, че площта между

минус 3 и плюс 3 е 99,7%.

Знаем, че почти всички резултати

попадат в тази площ,
макар и не всички.

Значи какво ни е останало
за двете опашки?

Запомни, че имаме две опашки.

Това е едната от тях.

После имаме резултатите, които
са на по-малко от три

стандартни отклонения
под медианата.

Ето тази опашка.

Това означава, че по-малко от
3 стандартни отклонения

под медианата и повече от
3 стандартни отклонения

над медианата, взети заедно,
дават остатъка.

А за остатъка имаме само 0,3%.

Тези две неща са симетрични.

Значи са еднакви.

Значи това трябва да е
половината на това или 0,15%,

и това тyк също е 0,15%.

Значи вероятността да имаме
1-годишно момиче в Съединените щати,

което тежи повече от
12,8 килограма, при

идеално нормално разпределение,
е площта под тази крива,

площта, която е на повече от
три стандартни отклонения

под медианата.

И това са 0,15%.

Надявам се тази задача
да ти е била полезна.