Нека решим още една задача от раздела за нормално разпределение
от учебника по статистика AP на ck12.org.
Използвам техните материали, защото това е свободен
източник и е доста добър учебник.
Мисля, че тези задачи са добро упражнение за нас.
Да видим задача 3.
Можеш да посетиш сайта им,
и мисля, че можеш да си изтеглиш учебника.
Да допуснем, че теглото на 1-годишните момичета в Съединените щати
е нормално разпределено и има медиана около 9,5 грама...
Това трябва да са килограми!
Имам 10-месечен син, който тежи около 20 фунта,
което са около 9 килограма, а не 9,5 грама.
9,5 грама са нищо.
Все едно говорим за мишка.
Това трябва да са килограми.
Както и да е, около 9,5 килограма,
със стандартно отклонение от около 1,1 грама.
Значи медианата е равна на 9,5 килограма, предполагам,
и стандартното отклонение е равно на 1,1 грама.
Без да използваш калкулатор – това е интересна подсказка –
намери процента на 1-годишните момичета в Съединените щати,
които отговарят на следните условия...
Когато ни казват, че трябва да намерим приблизителен отговор
без калкулатор, това е голяма подсказка, че трябва
да използваме емпиричното правило.
Емпиричното правило се нарича също правилото 68-95-99,7.
И ако запомниш, че това е името на правилото,
вече си запомнил/а и самото правило.
То ни казва, че ако имаме нормално разпределение –
тук ще преговоря малко, преди
да започнем да решаваме.
Ако имаме нормално разпределение –
ще начертая нормално разпределение.
То изглежда така.
Това ми е нормалното разпределение.
Не го направих идеално, но разбираш за какво говоря.
Трябва да е симетрично.
Това тук ни е медианата.
Това е медианата.
Сега отиваме с едно стандартно отклонение над и с едно стандартно
отклонение под медианата, значи това ни е
медианата плюс едно стандартно отклонение.
Това ни е медианата минус едно стандартно отклонение.
Вероятността да намерим отговор, ако работим с
идеално нормално разпределение, който е между едно стандартно
отклонение под медианата и едно стандартно отклонение над медианата –
това е ето тази площ –
ще е 68%.
Имаме 68% шанс да открием нещо в рамките на
едно стандартно отклонение от медианата.
Едно стандартно отклонение под или над медианата,
или където и да е между тези две точки.
Сега, ако говорим за две стандартни отклонения от медианата...
Тоест, ако се преместим с още едно стандартно
отклонение в едната или другата посока...
ако си зададем въпроса каква е вероятността да намерим
нещо в този интервал, можем да познаем,
че става въпрос за 95%.
И това включва и площта по средата.
Тези 68% са част от 95-те %.
Мисля, че разбираш какво става.
Ако отидем три стандартни отклонения под медианата и
над медианата, емпиричното правило или правилото 68-95-99,7
ни казва, че има вероятност 99,7% да намерим резултат
в нормално разпределение, който е в рамките на три стандартни
отклонения от медианата.
Над три стандартни отклонения под медианата
и под три стандартни отклонения над медианата.
Това ни казва емпиричното правило.
Да видим дали можем да приложим това към задачата ни.
Дали са ни медианата и стандартното отклонение.
Нека начертая това.
Ще начертая оста първо, възможно най-добре.
Това ми е оста.
Чертая камбановидната крива.
Това е възможно най-хубавата крива,
която може да се направи на ръка.
И медианата тук е 9, това трябва да е симетрично.
Тази височина трябва да е същата като тази.
Мисля, че разбираш –
аз не съм компютър.
Медианата е 9,5.
Няма да записвам мерните единици.
Всичко е в килограми.
Едно стандартно отклонение над медианата ще добави 1,1 към
това, защото ни казват, че стандартното отклонение е 1,1.
Това ще бъде 10,6.
Нека направя една пунктирана линия.
Ако отидем с 1 стандартно отклонение под медианата, ще извадим
1,1 от 9,5 и това ще стане 8,4.
Ако отидем с две стандартни отклонения над медианата,
ще добавим още едно стандартно отклонение тук.
Нали?
Преместихме се с 1, 2
стандартни отклонения.
Тогава ще достигнем 11,7.
И ако се преместим с 3 стандартни отклонения,
пак ще добавим 1,1.
И ще сме на 12,8.
Ще го направя от другата страна, едно стандартно отклонение
под медианата е 8,4.
Две стандартни отклонения под медианата – вадим 1,1 пак
и получаваме 7,3.
И после – три стандартни отклонения под медианата –
ще запишем тук 6,2 килограма.
Това ни е подготовката за задачата.
Търсим каква е вероятността да намерим 1-годишно момиче
в Съединените щати, което тежи по-малко от 8,4 килограма.
Или, по-добре да кажа, чиято маса ще е
по-малка от 8,4 килограма.
Ако погледнем тук, вероятността да намерим
1-годишно момиченце с маса
по-малко от 8,4 килограма е ето тази площ тук.
Казах маса, защото килограмите всъщност са единица за измерване на маса.
Повечето хора я използват и за тегло.
Така, ето тази площ.
Как можем да намерим тази площ под
това нормално разпределение, като използваме емпиричното правило?
Ние знаем колко е тази площ.
Знаем, че площта между минус едно стандартно отклонение
и плюс едно стандартно отклонение е 68%.
И ако това е 68%, това означава, че частите, които
не са в средната площ, са по 32%.
Защото площта под цялото нормално разпределение е
100% – или 1, зависи как го разглеждаш.
Сборът от всички вероятности винаги е 1.
Не може да имаме повече от 100% тук.
Ако съберем тази и тази част,
ще получим остатъка.
Така 100 минус 68 прави 32.
32%.
32% – това се получава, като съберем лявата
и дясната част тук.
И това е идеално нормално разпределение.
Казаха ни, че имаме нормално разпределение.
Значи симетрията е идеална.
Ако сборът на тази част и на тази част е 32 и те са
симетрични, тоест имат еднаква площ, тогава
тази част тук – ще я направя в розово...
повече прилича на лилаво – ще е 16%.
И ето тази част ще е 16%.
Значи вероятността да получим резултат, по-голям от едно стандартно
отклонение над медианата – ето тази, дясна част,
ще бъде 16%.
Или, вероятността да получим резултат, който е с по-малко от едно
стандартно отклонение под медианата, ето тук, е 16%.
Търсим вероятността да имаме 1-годишно момиче,
което тежи по-малко от 8,4 килограма.
По-малко от 8,4 килограма – това е площта ето тук.
И това са 16%.
Имаме 16% за подточка а).
Да решим и част b: между 7,3 и 11,7 килограма.
Така, между 7,3 – това е ето тук.
Това са две стандартни отклонения под медианата.
И 11,7 – едно, две стандартни отклонения над медианата.
Значи всъщност ни питат каква е вероятността
да получим резултат, който е до две стандартни отклонения
от медианата, нали?
Това ни е медианата.
Това са две стандартни отклонения под нея.
А това са две стандартни отклонения над нея.
Това е доста ясно.
Емпиричното правило ни казва, че между две стандартни отклонения
имаме шанс 95% да получим резултат, който е
в рамките на две стандартни отклонения.
Значи емпиричното правило само по себе си ни дава този отговор.
И накрая, да решим подточка с: Каква е вероятността да имаме
1-годишно момиче, което тежи повече от 12,8 килограма?
12,8 килограма са три стандартни отклонения
над медианата.
Значи търсим вероятността да имаме резултат,
който е повече от три отклонения над медианата.
Това е ето тази отдалечена площ, която направих в оранжево.
Може би трябва да я направя в друг цвят,
за повече контраст.
Става въпрос за тази мъничка площ тук.
Каква е тази вероятност?
Нека се върнем към емпиричното ни правило.
Знаем вероятността – знаем тази площ.
Това е площта между минус три стандартни отклонения и
плюс три стандартни отклонения.
Това ни е последната задача, така че мога
да оцветя всичко – знаем, че площта между
минус 3 и плюс 3 е 99,7%.
Знаем, че почти всички резултати
попадат в тази площ, макар и не всички.
Значи какво ни е останало за двете опашки?
Запомни, че имаме две опашки.
Това е едната от тях.
После имаме резултатите, които са на по-малко от три
стандартни отклонения под медианата.
Ето тази опашка.
Това означава, че по-малко от 3 стандартни отклонения
под медианата и повече от 3 стандартни отклонения
над медианата, взети заедно, дават остатъка.
А за остатъка имаме само 0,3%.
Тези две неща са симетрични.
Значи са еднакви.
Значи това трябва да е половината на това или 0,15%,
и това тyк също е 0,15%.
Значи вероятността да имаме 1-годишно момиче в Съединените щати,
което тежи повече от 12,8 килограма, при
идеално нормално разпределение, е площта под тази крива,
площта, която е на повече от три стандартни отклонения
под медианата.
И това са 0,15%.
Надявам се тази задача да ти е била полезна.