-
Řekněme, že chcete znát polohu
těžiště mezi těmito tělesy.
-
Tohle má hmotnost 2 kilogramy,
tohle 6 kilogramů.
-
Jsou od sebe vzdáleny 10 centimetrů,
-
takže se nechází někde mezi nimi,
a víme, že bude blíž hmotnějšímu tělesu,
-
protože těžiště je
vždycky blíž větší hmotnosti,
-
ale kde bude přesně?
-
Potřebujeme vzoreček, který to vypočítá,
a ten vzoreček vypadá takto.
-
Určuje polohu těžiště.
-
Toto xcm je poloha těžiště,
-
rovná se všechny kusy hmoty,
jejichž těžiště hledáte,
-
vynásobíte je jejich polohami
a všechna tato m krát x sčítáte,
-
dokud nemáte všechna
m krát x ve vašem systému.
-
Pak je sečtete celkovou hmotností
a vyjde vám poloha těžiště.
-
Použijme to pro náš vzorový příklad
a uvidíme, kde nám vyjde těžiště.
-
Poloha těžiště bude rovna…
-
Vezměme m1, kterékoli z nich může být m1,
třeba tyto 2 kilogramy budou m1.
-
Vynásobíme to x1,
což je poloha m1.
-
Můžete být zmateni, protože nevíte, o jaké
poloze mluvím, nemáme tu systém souřadnic.
-
Vy si můžete vybrat,
odkud tyto polohy měříme,
-
a od toho samého místa
se bude měřit i těžiště.
-
Takže vyberete, kde je x rovno 0.
-
Třeba tady vlevo se x rovná 0
a tudy vede kladný směr.
-
Pokud tady je x rovno 0,
na půl cesty bude x rovno 5
-
a pak tady vzadu bude x rovno 10.
-
Můžeme si to zvolit jak chceme,
což je fajn,
-
protože když tady je x rovno 0,
poloha m1 je 0 metrů.
-
Takže tenhle člen úplně vypadne,
což je v pořádku,
-
ještě k tomu přičteme m2,
což je 6 kilogramů,
-
krát poloha m2,
ale tady už musíme být konzistentní,
-
protože už jsme zvolili,
že x je rovno 0 pro m1,
-
takže to musí platit i v případě m2.
-
Tahle vzdálenost tedy
bude 10 centimetrů.
-
Tohle jsou naše jediné dvě hmotnosti,
-
takže tady toho necháme
a vydělíme součtem všech hmotností,
-
což budou 2 kilogramy pro m1
plus 6 kilogramů pro m2.
-
Vyjde 2 krát 0 plus 6 krát 10,
to je 60 kilogram centimetrů,
-
děleno 2 plus 6, to bude 8 kilogramů.
-
Celkem vyjde 7,5 centimetrů.
-
7,5 centimetrů od místa, kde x je rovno 0,
bude poloha těžiště.
-
Pokud byste spojili tyto dvě koule
lehnou tyčí a dali sem podpěru,
-
byly by v tomto bodě v rovnováze.
-
A kdybyste namítali, "počkat, když si bod,
kde x je rovno 0, vybrat libovolně,
-
"nevyjde nám při jiné volbě jiné číslo?"
-
Můžeme místo tamté strany
dát x rovno 0 sem, k těmto 6 kilogramům.
-
Co nám vyjde teď?
-
Vyjde nám, že poloha těžiště
v tomto výpočtu bude…
-
Máme 2 kilogramy,
ale tentokrát jejich poloha není 0.
-
Pokud je x rovno 0 tady
a tenhle směr je kladný,
-
bude to -10 centimetrů,
protože je 10 centimetrů doleva.
-
Takže tohle bude -10 centimetrů
plus 6 kilogramů krát…
-
Teď je poloha šestikilogramové
hmoty rovna 0.
-
Vydělíme součtem obou hmotností,
což je pořád 2 kilogramy plus 6 kilogramů.
-
Co nám vyjde?
-
Vyjde 2 krát -10 plus 6 krát 0,
což je prostě 0,
-
takže máme -20 kilogram centimetrů
děleno 8 kilogramy,
-
což je -2,5 centimetrů.
-
Říkáte, "Cože? Vyšlo něco úplně jiného.
-
"Poloha se nemění v závislosti na tom,
odkud měříme!"
-
A ona se ani nezměnila,
je pořád tam, co byla,
-
protože teď máme -2,5 centimetrů
vůči této poloze, kde x je rovno 0.
-
Co je -2,5 centimetrů odtud?
-
Je to 2,5 centimetry doleva,
což je přesně ten samý bod,
-
protože tohle bylo 7,5 a tohle -2,5,
a tohle celé je 10 centimetrů.
-
Vyjde vám přesně stejná poloha těžiště.
-
Musí, protože se nemůže měnit
v závislosti na tom, kam vy položíte 0.
-
Ale musíte být opatrní
a držet se své volby,
-
protože bude fungovat jakákoli,
ale jen pokud ji dodržíte.
-
Na konci také chcete vědět,
odkud měřit vzdálenost těžiště,
-
jinak ani tohle číslo
nebudete umět vyložit.
-
Opakování: tento můžete použít vzorec
k nalezení těžiště systému těles.
-
Sečtete všechny hmotnosti násobené
polohami a vydělíte celkovou hmotností.
-
Polohu můžete měřit vůči libovolnému bodu,
kde nastavíte x rovno 0,
-
a výsledek bude rovný vzdálenosti od bodu
x rovno 0 ke hmotnému těžiště.
