Řekněme, že chcete znát polohu těžiště mezi těmito tělesy.
Tohle má hmotnost 2 kilogramy, tohle 6 kilogramů.
Jsou od sebe vzdáleny 10 centimetrů,
takže se nechází někde mezi nimi, a víme, že bude blíž hmotnějšímu tělesu,
protože těžiště je vždycky blíž větší hmotnosti,
ale kde bude přesně?
Potřebujeme vzoreček, který to vypočítá, a ten vzoreček vypadá takto.
Určuje polohu těžiště.
Toto xcm je poloha těžiště,
rovná se všechny kusy hmoty, jejichž těžiště hledáte,
vynásobíte je jejich polohami a všechna tato m krát x sčítáte,
dokud nemáte všechna m krát x ve vašem systému.
Pak je sečtete celkovou hmotností a vyjde vám poloha těžiště.
Použijme to pro náš vzorový příklad a uvidíme, kde nám vyjde těžiště.
Poloha těžiště bude rovna…
Vezměme m1, kterékoli z nich může být m1, třeba tyto 2 kilogramy budou m1.
Vynásobíme to x1, což je poloha m1.
Můžete být zmateni, protože nevíte, o jaké poloze mluvím, nemáme tu systém souřadnic.
Vy si můžete vybrat, odkud tyto polohy měříme,
a od toho samého místa se bude měřit i těžiště.
Takže vyberete, kde je x rovno 0.
Třeba tady vlevo se x rovná 0 a tudy vede kladný směr.
Pokud tady je x rovno 0, na půl cesty bude x rovno 5
a pak tady vzadu bude x rovno 10.
Můžeme si to zvolit jak chceme, což je fajn,
protože když tady je x rovno 0, poloha m1 je 0 metrů.
Takže tenhle člen úplně vypadne, což je v pořádku,
ještě k tomu přičteme m2, což je 6 kilogramů,
krát poloha m2, ale tady už musíme být konzistentní,
protože už jsme zvolili, že x je rovno 0 pro m1,
takže to musí platit i v případě m2.
Tahle vzdálenost tedy bude 10 centimetrů.
Tohle jsou naše jediné dvě hmotnosti,
takže tady toho necháme a vydělíme součtem všech hmotností,
což budou 2 kilogramy pro m1 plus 6 kilogramů pro m2.
Vyjde 2 krát 0 plus 6 krát 10, to je 60 kilogram centimetrů,
děleno 2 plus 6, to bude 8 kilogramů.
Celkem vyjde 7,5 centimetrů.
7,5 centimetrů od místa, kde x je rovno 0, bude poloha těžiště.
Pokud byste spojili tyto dvě koule lehnou tyčí a dali sem podpěru,
byly by v tomto bodě v rovnováze.
A kdybyste namítali, "počkat, když si bod, kde x je rovno 0, vybrat libovolně,
"nevyjde nám při jiné volbě jiné číslo?"
Můžeme místo tamté strany dát x rovno 0 sem, k těmto 6 kilogramům.
Co nám vyjde teď?
Vyjde nám, že poloha těžiště v tomto výpočtu bude…
Máme 2 kilogramy, ale tentokrát jejich poloha není 0.
Pokud je x rovno 0 tady a tenhle směr je kladný,
bude to -10 centimetrů, protože je 10 centimetrů doleva.
Takže tohle bude -10 centimetrů plus 6 kilogramů krát…
Teď je poloha šestikilogramové hmoty rovna 0.
Vydělíme součtem obou hmotností, což je pořád 2 kilogramy plus 6 kilogramů.
Co nám vyjde?
Vyjde 2 krát -10 plus 6 krát 0, což je prostě 0,
takže máme -20 kilogram centimetrů děleno 8 kilogramy,
což je -2,5 centimetrů.
Říkáte, "Cože? Vyšlo něco úplně jiného.
"Poloha se nemění v závislosti na tom, odkud měříme!"
A ona se ani nezměnila, je pořád tam, co byla,
protože teď máme -2,5 centimetrů vůči této poloze, kde x je rovno 0.
Co je -2,5 centimetrů odtud?
Je to 2,5 centimetry doleva, což je přesně ten samý bod,
protože tohle bylo 7,5 a tohle -2,5, a tohle celé je 10 centimetrů.
Vyjde vám přesně stejná poloha těžiště.
Musí, protože se nemůže měnit v závislosti na tom, kam vy položíte 0.
Ale musíte být opatrní a držet se své volby,
protože bude fungovat jakákoli, ale jen pokud ji dodržíte.
Na konci také chcete vědět, odkud měřit vzdálenost těžiště,
jinak ani tohle číslo nebudete umět vyložit.
Opakování: tento můžete použít vzorec k nalezení těžiště systému těles.
Sečtete všechny hmotnosti násobené polohami a vydělíte celkovou hmotností.
Polohu můžete měřit vůči libovolnému bodu, kde nastavíte x rovno 0,
a výsledek bude rovný vzdálenosti od bodu x rovno 0 ke hmotnému těžiště.