Linear Algebra: Deriving a method for determining inverses

这里我有一个矩阵A

我想把它变成行简化阶梯形

这个我们做过很多次了

就是用一连串的行变换

但是在这一集里我要教你们的是

那些行变换与

矩阵A列向量的线性变换是等价的

我来举个例子

如果我们要把矩阵A

变为行简化阶梯形

我们要做的第一步

如果要把这些元素变为0的话

就是 我在这里写

就是要保证第一个元素是一样的

所以对于这里每一个列向量

我们要保持第一个元素是一样的

所以它们是 1,-1,-1

实际上 让我同时

进行这些变换

我是说 我将要做的那些行变换

与列向量上的线性变换

是等价的

所以这是一个变换

用一些列向量 a1, a2, a3

要用到这里的每一个（列向量）

然后对它们做一些变换

对它们做一些线性变换

这些就是线性变换

所以我们要保证

列向量的第一个元素是一样的

所以这个是a1

这里画一条线

这个是a1

现在 我们要怎么做

如果要把它变成行简化阶梯形？

我们要把这个变成0

所以我们要把第二行换成

第二行与第一行的和

因为到时这些东西会变成0

我来写一下这个变换

我们把第二行换成

第二行加上第一行的和

我在这里写下来

-1+1等于0

2+(-1)等于1

3+(-1)等于2

现在 这里我们也要得到0

所以我们把第三行换成

第三行减去第一行的差

所以我们把第三行换成

第三行减第一行的差

那么 1-1=0

1-(-1)等于2

4-(-1)=5 就像这样

所以你看 这个就是一个线性变换

任意一个线性变换

你都可以用矩阵乘积来表示

比如说这个变换

我可以这样表示

来求这个变换矩阵是什么

如果说T(x)等于

我也不知道 就叫它矩阵S乘x吧

在矩阵A里 我们已经用过了

所以用别的字母表示

那么怎么求矩阵S？

呃 我们只用把这个变换应用到

所有的列向量上

或者用到单位矩阵的标准基向量上

我们试一试

那么这个单位矩阵

这里我要画的很小

单位矩阵是这样：

就是 [1,0,0；0,1,0；0,0,1]

这就是单位矩阵

要求出所需的矩阵

我们只用把这个应用到

这个的每一个列向量

我们得到什么？

这个画大一点

我们把它用在每一个列向量上

我们看到 第一行总是一样的

所以第一行总是一样的东西

是 1, 0, 0

基本上我同时把它应用在

这里每一个列向量上

就是说 看

当你变动这些列向量的时候

它们的第一个元素总是不变的

而第二个元素

就变成第二个元素加上第一个元素的和

所以 0+1=1

1+0等于1

0+0等于0

然后第三个元素就变成

第三个元素减去第一个元素的差

那么 0-1=-1

0-0等于0

1-0等于1

现在注意了

当我把这个变换应用在

我们单位矩阵的列向量上

本质上 我只是

用跟刚才的行变换一样的东西

我用的完全是一样的行变换

在这个单位矩阵上

但是我们知道

这个正好是我们要的变换矩阵

如果我们用每一个列向量来乘它

或者用这里每一个列向量

我们就会得到这些列向量

你可以这么理解

这里这个 这个是等于矩阵S的

这是我们要的变换矩阵

所以我们可以说

如果我们建立一个新的矩阵

它的列是S乘这个列向量

S乘[1,-1,1]

然后下一列是S乘...

我用另一种颜色写

S乘这个: [-1, 2, 1]

然后第三列就是

S 乘这个第三个列向量 [-1, 3, 4]

现在知道 我们在应用这个变换

这个是S 乘上这里每一个列向量

这就是表达这个变换的矩阵

这里这个东西

这个会变成这边这个

我在这下面写吧

给你们看个东西

我这里上面写的

呃 我只是画了一个箭头

这可能是最简单的了

这里这个矩阵会变成 那里那个矩阵

所以你可以把它写成另一种形式

这个和哪个是一样的？

它和哪个是等价的？

当你拿到一个矩阵

然后你把它乘上它的每一个列向量

当你把

每一个列向量都用这个矩阵乘了

这就是矩阵与矩阵乘积的定义

它就相当于我们的矩阵S――我用粉红色写

这个等于我们的矩阵S

就是 [1,0,0；1,1,0；-1,0,1]

乘上我们的矩阵A

乘 [1,-1,-1；-1,2,3；1,1,4]

要把这个弄得很清楚

这个是我们的变换矩阵S

这个是我们的矩阵A

当你用到这个乘积的时候

就会得到这个东西

我就复制粘贴一下

编辑 复制 然后粘贴

你会得到这个 就是这样

我这么做的原因是

只是为了提醒你

当我们做这些行变换的时候

我们只是在做乘法

我们在做一个线性变换

对这里每一个列向量\N【做同样的线性变换】

然后这个跟 仅仅用某个矩阵

S乘这个东西是完全一样的

这个情况下

有点麻烦的是

求矩阵S是什么

但是我们在这里 进行过的任何一个行变换

你总是可以用一个矩阵乘法来表示

这就产生了一个有趣的问题

当你把一个东西变成了行简化阶梯形

让我在这里写

我们先把开始的这个东西写完

先把这个变成行简化阶梯形

那么这个 我们说过了

这个等于――

我先把它称为第一个S

叫它S1吧

所以这里这个东西等于

第一个S1乘上A

我们已经证明过是对的了

现在我们来做另一个变换

我们来做另一个行变换

把它变成行简化阶梯形

所以先保持中间那行不变 0, 1, 2

然后换掉第一行

变成第一行加上第二行的和

因为我要把这个变成0

那么 1+0=1

我用另一种颜色写

-1+1等于0

-1+2等于1

现在我要把第三行换掉 我们说

变成第三行减去2倍第一行

那就是 0-2*0=0

2-2*1等于0

5-2*2等于1

就是 5-4=1

快了快了

我们只用把这些归零就好了

我们看看

这个能不能变成行简化阶梯形

那么这个是什么？

我刚刚做了另一个线性变换

实际上 让我写下来

我们说 如果这是我们第一个线性变换

我刚刚做的是

我做了另一个线性变换 T2

我用另一个符号来表示

给我一些向量

一些列向量 x1, x2, x3

刚刚我做的是什么？

我刚刚做的变换是什么？

这些新的向量

我让最上面一行

等于第一行加上中间那行

那么这是 x1+x2

保持第二行不变

然后第三行 我把第三行变成

第三行减去2倍第二行

我刚刚做的是一个线性变换

然后我们可以

把这个线性变换表示成――

我们说 把T2应用到一些向量x上 等价于

一些用于变换的向量S2 乘上我们的向量x

现在我们呢可以说 这个等于

因为如果把这个变换矩阵应用到

这里每一列

就等于说是把这个东西

乘以这个变换矩阵

所以你可以说 这里这个东西

我们还没求出这个是什么

不过我想你知道方法了

这里这个矩阵会等于这个

它会等于S2乘以这个东西

那这里这个是什么?

呃 这个等于S1乘以A

这个是 S2×S1×A

很好

所以这个就是 S2×S1×A

其实本来可以直接到这一步

如果你用 S2×S1

这个可以是别的矩阵

如果你只是用A乘

本来就是直接从这里到这里

很好

我们还没有把这个变成

行简化阶梯形

我们试试

这个下面没有位置写了

那就写上面吧

我们往上移

往上 就像这样

现在我要做的是

保持第三行不变 0, 0, 1

我们把第二行换成

第二行减去2倍第三行

然后我们得到0 我们得到 1-2*0

然后得到 2-2*1

所以那是0

然后我们把第一行

变成第一行减去第三行

那么 1-0=1

0-0 等于 0

1-1=0 就像这样

实际上只是把原本的变换写下来了

我们用T3表示吧

我用紫色写

T3是一些向量x的变换

我这么写吧――

对向量x1, x2, x3（的变换）

这个原来等于――我做了什么

我们把第一行变成

第一行减第三行 x1-x3

我们把第二行换成

第二行减2倍第三行

那么是 x2-2*x3

然后第三行就一样了

显然 这个也可以被表示

T3(x) 可以等于

可以等于另外的变换矩阵 S3×x

那么 这个变换

如果你把它乘到每一列上

就等于

把这个东西乘上这个变换矩阵

不过还没求出这个矩阵是什么

我们可以写出来

所以这个等于

S3乘这里这个矩阵 就是S2×S1×A

然后我们得到什么

得到的是单位矩阵

我们把它变成了行简化阶梯形

得到的是单位矩阵

从前面的课我们已经知道

某个东西的行简化阶梯形

就是单位矩阵

我们是用可逆变换来做的

或者说是可逆矩阵

因为显然这个可以成为

一些变换的变换

我们把它叫作变换

我不知道 就叫T吧

T我用过了么？

我们就用To

来表示一些对向量x的变换

这个可能等于Ax

已知它是可逆的

那么我们把它变为行简化阶梯形

我们把它的变换矩阵

变成行简化阶梯形

然后我们得到单位矩阵

这个证明它可逆

而更有趣的是

我们做到这一步用的是行变换

然后我们说

那些行变换完全等价于

把这个东西乘上

用我们最初的那个变换矩阵

是用一连串的变换矩阵得到的

用（那串变换矩阵）表示行变换

当把所有这些都乘起来的时候

它就变成单位矩阵了

那么 上一集我们说了 对于逆矩阵

如果这个是To

那么To的逆矩阵可以表示为

――它也是线性变换

它可以用一些逆矩阵来表示

比如刚才说的 A的逆矩阵乘上x

我们看见 逆变换乘上

我们的变换矩阵

等于单位矩阵

上节课我们看过了

我们也证明过了

那么 有趣的事来了

我们有一串矩阵乘积乘上这个东西

乘上这个东西 得到的也是单位矩阵

那么这个东西 这一串矩阵乘积

必须等于逆矩阵

等于逆变换矩阵

想的话还可以算出来

就像刚才做的 实际上我们已经求出S1了

我们在这里做

我们可以用相似的方法做

来求出S2和S3 然后再把它们全都乘起来

然后我们就构造了A的逆矩阵

我想 更有趣的是

如果不这么做的话 如果我们一开始

如果我们把相同的矩阵乘积

应用在单位矩阵上的话会怎么样？

我们前面做的所有

开始做的行变换

然后这个 矩阵A

我们说右边是一个单位矩阵

叫它I 就是这个

那么 我们做的第一个线性变换

在这里看到――这个等于

S1乘A

这个是第一组行变换

然后得到这个

如果我们用相同的行变换

对单位矩阵再做一次 那得到什么？

我们会得到矩阵S1

S1乘单位矩阵等于S1

所有的列

任何东西乘上单位矩阵

乘上标准基向量

等于它本身

我们就得到这个S1

或者说是 S1×I

就是S1而已

好了

然后 如果我们做下一组行变换

然后得到 S2×S1×A

现在如果你做相同的行变换

在这个东西上（做相同的行变换） 得到什么？

你会得到 S2×S1×I

现在 最后一组行变换

我们用S3的矩阵乘积来表示

我们用变换矩阵S3来乘它

这样的话 你就得到 S3×S2×S1×A

如果你把完全相同的行变换应用在

这里这个东西上的话

就得到 S3×S2×S1×I

做到这一步以后

当你在这做这些行变换时

这个得到了单位矩阵

那么这些得到的又是什么？

当你完成

和用在A上的完全一样的行变换

来把这个变成单位矩阵时

如果你把完全相同的行变换

用在单位矩阵上 你会得到什么？

得到的是这个

所有东西乘单位矩阵

就是它本身

那这个是什么？

这个是A的逆矩阵

这就是A的逆矩阵

那么我们有了一个通用方法

来求变换矩阵的逆矩阵

我可以做的是

我们说我有一个变换矩阵A

我可以构造一个增广矩阵

把单位矩阵放在里面

就像这样

然后我做了一系列的行变换

你可以用矩阵乘积来表示

不过你把一系列的行变换

用在所有这些上面

你对A做的行变换

和对单位矩阵做的行变换是一样的

当你把A变为单位矩阵的时候

你就把A变为行简化阶梯形了

当A是行简化阶梯形后 你的单位矩阵――

当做完完全一样的行变换以后――

它就变成A的逆矩阵了

这是一个求逆矩阵很有用的方法

那么我已经用理论解释了 为什么可以这么做

那么在下节课 我们就来实际解决一下

或许我会举个例子

就用这节课开始的这个矩阵