WEBVTT

00:00:00.680 --> 00:00:02.440
这里我有一个矩阵A

00:00:02.460 --> 00:00:05.490
我想把它变成行简化阶梯形

00:00:05.510 --> 00:00:06.930
这个我们做过很多次了

00:00:06.940 --> 00:00:09.320
就是用一连串的行变换

00:00:09.340 --> 00:00:12.050
但是在这一集里我要教你们的是

00:00:12.090 --> 00:00:13.830
那些行变换与

00:00:13.850 --> 00:00:18.650
矩阵A列向量的线性变换是等价的

00:00:18.670 --> 00:00:21.120
我来举个例子

00:00:21.140 --> 00:00:23.010
如果我们要把矩阵A

00:00:23.020 --> 00:00:24.260
变为行简化阶梯形

00:00:24.270 --> 00:00:26.320
我们要做的第一步

00:00:26.350 --> 00:00:28.100
如果要把这些元素变为0的话

00:00:28.120 --> 00:00:32.490
就是 我在这里写

00:00:32.500 --> 00:00:34.950
就是要保证第一个元素是一样的

00:00:34.970 --> 00:00:36.510
所以对于这里每一个列向量

00:00:36.530 --> 00:00:38.050
我们要保持第一个元素是一样的

00:00:38.070 --> 00:00:41.770
所以它们是 1,-1,-1

00:00:41.790 --> 00:00:43.490
实际上 让我同时

00:00:43.510 --> 00:00:45.230
进行这些变换

00:00:45.260 --> 00:00:47.770
我是说 我将要做的那些行变换

00:00:47.800 --> 00:00:49.210
与列向量上的线性变换

00:00:49.230 --> 00:00:52.660
是等价的

00:00:52.680 --> 00:00:54.180
所以这是一个变换

00:00:54.200 --> 00:01:00.010
用一些列向量 a1, a2, a3

00:01:00.030 --> 00:01:02.270
要用到这里的每一个（列向量）

00:01:02.290 --> 00:01:03.610
然后对它们做一些变换

00:01:03.630 --> 00:01:05.560
对它们做一些线性变换

00:01:05.570 --> 00:01:06.850
这些就是线性变换

00:01:06.870 --> 00:01:08.280
所以我们要保证

00:01:08.290 --> 00:01:10.490
列向量的第一个元素是一样的

00:01:10.500 --> 00:01:12.510
所以这个是a1

00:01:12.540 --> 00:01:15.990
这里画一条线

00:01:16.010 --> 00:01:17.560
这个是a1

00:01:17.570 --> 00:01:18.770
现在 我们要怎么做

00:01:18.790 --> 00:01:20.250
如果要把它变成行简化阶梯形？

00:01:20.260 --> 00:01:22.380
我们要把这个变成0

00:01:22.410 --> 00:01:25.340
所以我们要把第二行换成

00:01:25.360 --> 00:01:28.110
第二行与第一行的和

00:01:28.120 --> 00:01:30.240
因为到时这些东西会变成0

00:01:30.250 --> 00:01:32.130
我来写一下这个变换

00:01:32.150 --> 00:01:33.620
我们把第二行换成

00:01:33.640 --> 00:01:37.160
第二行加上第一行的和

00:01:37.170 --> 00:01:40.550
我在这里写下来

00:01:40.570 --> 00:01:43.190
-1+1等于0

00:01:43.210 --> 00:01:45.680
2+(-1)等于1

00:01:45.700 --> 00:01:48.190
3+(-1)等于2

00:01:48.210 --> 00:01:50.910
现在 这里我们也要得到0

00:01:50.930 --> 00:01:53.110
所以我们把第三行换成

00:01:53.130 --> 00:01:56.000
第三行减去第一行的差

00:01:56.010 --> 00:01:58.360
所以我们把第三行换成

00:01:58.370 --> 00:02:00.960
第三行减第一行的差

00:02:00.970 --> 00:02:04.630
那么 1-1=0

00:02:04.650 --> 00:02:08.350
1-(-1)等于2

00:02:08.360 --> 00:02:14.010
4-(-1)=5 就像这样

00:02:14.030 --> 00:02:16.830
所以你看 这个就是一个线性变换

00:02:16.840 --> 00:02:18.870
任意一个线性变换

00:02:18.880 --> 00:02:22.420
你都可以用矩阵乘积来表示

00:02:22.440 --> 00:02:23.940
比如说这个变换

00:02:23.960 --> 00:02:25.480
我可以这样表示

00:02:25.490 --> 00:02:28.300
来求这个变换矩阵是什么

00:02:28.320 --> 00:02:32.010
如果说T(x)等于

00:02:32.030 --> 00:02:36.210
我也不知道 就叫它矩阵S乘x吧

00:02:36.230 --> 00:02:38.080
在矩阵A里 我们已经用过了

00:02:38.090 --> 00:02:39.590
所以用别的字母表示

00:02:39.600 --> 00:02:41.350
那么怎么求矩阵S？

00:02:41.370 --> 00:02:43.470
呃 我们只用把这个变换应用到

00:02:43.480 --> 00:02:44.860
所有的列向量上

00:02:44.890 --> 00:02:46.830
或者用到单位矩阵的标准基向量上

00:02:46.850 --> 00:02:48.430
我们试一试

00:02:48.440 --> 00:02:49.900
那么这个单位矩阵

00:02:49.920 --> 00:02:51.250
这里我要画的很小

00:02:51.270 --> 00:02:53.390
单位矩阵是这样：

00:02:53.400 --> 00:02:57.610
就是 [1,0,0；0,1,0；0,0,1]

00:02:57.630 --> 00:02:59.690
这就是单位矩阵

00:02:59.700 --> 00:03:01.210
要求出所需的矩阵

00:03:01.230 --> 00:03:02.870
我们只用把这个应用到

00:03:02.890 --> 00:03:04.150
这个的每一个列向量

00:03:04.170 --> 00:03:05.800
我们得到什么？

00:03:05.810 --> 00:03:07.910
这个画大一点

00:03:07.920 --> 00:03:11.120
我们把它用在每一个列向量上

00:03:11.130 --> 00:03:13.690
我们看到 第一行总是一样的

00:03:13.710 --> 00:03:15.960
所以第一行总是一样的东西

00:03:15.970 --> 00:03:18.680
是 1, 0, 0

00:03:18.700 --> 00:03:20.980
基本上我同时把它应用在

00:03:20.990 --> 00:03:22.400
这里每一个列向量上

00:03:22.420 --> 00:03:23.460
就是说 看

00:03:23.470 --> 00:03:25.410
当你变动这些列向量的时候

00:03:25.440 --> 00:03:27.380
它们的第一个元素总是不变的

00:03:27.400 --> 00:03:30.160
而第二个元素

00:03:30.170 --> 00:03:33.210
就变成第二个元素加上第一个元素的和

00:03:33.230 --> 00:03:34.530
所以 0+1=1

00:03:34.560 --> 00:03:38.490
1+0等于1

00:03:38.500 --> 00:03:40.950
0+0等于0

00:03:40.970 --> 00:03:44.080
然后第三个元素就变成

00:03:44.090 --> 00:03:47.010
第三个元素减去第一个元素的差

00:03:47.030 --> 00:03:49.990
那么 0-1=-1

00:03:50.000 --> 00:03:52.570
0-0等于0

00:03:52.590 --> 00:03:54.680
1-0等于1

00:03:54.690 --> 00:03:56.090
现在注意了

00:03:56.100 --> 00:03:57.890
当我把这个变换应用在

00:03:57.910 --> 00:04:00.970
我们单位矩阵的列向量上

00:04:00.980 --> 00:04:02.400
本质上 我只是

00:04:02.430 --> 00:04:04.840
用跟刚才的行变换一样的东西

00:04:04.850 --> 00:04:07.120
我用的完全是一样的行变换

00:04:07.140 --> 00:04:08.320
在这个单位矩阵上

00:04:08.340 --> 00:04:09.670
但是我们知道

00:04:09.700 --> 00:04:11.130
这个正好是我们要的变换矩阵

00:04:11.140 --> 00:04:13.540
如果我们用每一个列向量来乘它

00:04:13.550 --> 00:04:16.190
或者用这里每一个列向量

00:04:16.200 --> 00:04:18.160
我们就会得到这些列向量

00:04:18.180 --> 00:04:19.710
你可以这么理解

00:04:19.720 --> 00:04:21.280
这里这个 这个是等于矩阵S的

00:04:21.300 --> 00:04:25.030
这是我们要的变换矩阵

00:04:25.050 --> 00:04:26.850
所以我们可以说

00:04:26.870 --> 00:04:31.570
如果我们建立一个新的矩阵

00:04:31.580 --> 00:04:35.910
它的列是S乘这个列向量

00:04:35.930 --> 00:04:38.770
S乘[1,-1,1]

00:04:38.780 --> 00:04:42.840
然后下一列是S乘...

00:04:46.350 --> 00:04:48.320
我用另一种颜色写

00:04:48.340 --> 00:04:54.280
S乘这个: [-1, 2, 1]

00:04:54.290 --> 00:05:00.610
然后第三列就是

00:05:00.630 --> 00:05:06.930
S 乘这个第三个列向量 [-1, 3, 4]

00:05:06.940 --> 00:05:11.580
现在知道 我们在应用这个变换

00:05:11.600 --> 00:05:14.590
这个是S 乘上这里每一个列向量

00:05:14.610 --> 00:05:16.910
这就是表达这个变换的矩阵

00:05:16.920 --> 00:05:18.990
这里这个东西

00:05:19.010 --> 00:05:23.790
这个会变成这边这个

00:05:23.820 --> 00:05:26.180
我在这下面写吧

00:05:30.360 --> 00:05:31.970
给你们看个东西

00:05:31.990 --> 00:05:33.410
我这里上面写的

00:05:33.430 --> 00:05:35.710
呃 我只是画了一个箭头

00:05:35.720 --> 00:05:36.910
这可能是最简单的了

00:05:36.920 --> 00:05:41.190
这里这个矩阵会变成 那里那个矩阵

00:05:41.210 --> 00:05:43.010
所以你可以把它写成另一种形式

00:05:43.030 --> 00:05:44.630
这个和哪个是一样的？

00:05:44.650 --> 00:05:45.950
它和哪个是等价的？

00:05:45.970 --> 00:05:47.010
当你拿到一个矩阵

00:05:47.030 --> 00:05:48.810
然后你把它乘上它的每一个列向量

00:05:48.820 --> 00:05:50.010
当你把

00:05:50.020 --> 00:05:52.250
每一个列向量都用这个矩阵乘了

00:05:52.260 --> 00:05:55.470
这就是矩阵与矩阵乘积的定义

00:05:55.500 --> 00:05:59.110
它就相当于我们的矩阵S――我用粉红色写

00:05:59.120 --> 00:06:01.220
这个等于我们的矩阵S

00:06:01.250 --> 00:06:08.290
就是 [1,0,0；1,1,0；-1,0,1]

00:06:08.310 --> 00:06:10.640
乘上我们的矩阵A

00:06:10.660 --> 00:06:22.000
乘 [1,-1,-1；-1,2,3；1,1,4]

00:06:22.030 --> 00:06:24.050
要把这个弄得很清楚

00:06:24.070 --> 00:06:27.280
这个是我们的变换矩阵S

00:06:27.300 --> 00:06:30.070
这个是我们的矩阵A

00:06:30.090 --> 00:06:32.510
当你用到这个乘积的时候

00:06:32.540 --> 00:06:35.560
就会得到这个东西

00:06:38.870 --> 00:06:40.140
我就复制粘贴一下

00:06:40.170 --> 00:06:43.710
编辑 复制 然后粘贴

00:06:43.720 --> 00:06:48.140
你会得到这个 就是这样

00:06:48.150 --> 00:06:50.140
我这么做的原因是

00:06:50.160 --> 00:06:51.540
只是为了提醒你

00:06:51.560 --> 00:06:53.750
当我们做这些行变换的时候

00:06:53.760 --> 00:06:55.090
我们只是在做乘法

00:06:55.110 --> 00:06:56.510
我们在做一个线性变换

00:06:56.530 --> 00:06:57.990
对这里每一个列向量\N【做同样的线性变换】

00:06:58.010 --> 00:06:59.670
然后这个跟 仅仅用某个矩阵

00:06:59.700 --> 00:07:02.910
S乘这个东西是完全一样的

00:07:02.930 --> 00:07:04.020
这个情况下

00:07:04.030 --> 00:07:05.140
有点麻烦的是

00:07:05.150 --> 00:07:06.450
求矩阵S是什么

00:07:06.460 --> 00:07:09.130
但是我们在这里 进行过的任何一个行变换

00:07:09.140 --> 00:07:12.330
你总是可以用一个矩阵乘法来表示

00:07:17.660 --> 00:07:19.350
这就产生了一个有趣的问题

00:07:22.100 --> 00:07:25.780
当你把一个东西变成了行简化阶梯形

00:07:25.800 --> 00:07:27.010
让我在这里写

00:07:29.730 --> 00:07:32.500
我们先把开始的这个东西写完

00:07:32.510 --> 00:07:34.770
先把这个变成行简化阶梯形

00:07:34.780 --> 00:07:36.790
那么这个 我们说过了

00:07:36.810 --> 00:07:37.980
这个等于――

00:07:37.990 --> 00:07:39.370
我先把它称为第一个S

00:07:39.380 --> 00:07:40.550
叫它S1吧

00:07:40.560 --> 00:07:42.870
所以这里这个东西等于

00:07:42.880 --> 00:07:45.530
第一个S1乘上A

00:07:45.540 --> 00:07:47.340
我们已经证明过是对的了

00:07:47.350 --> 00:07:49.330
现在我们来做另一个变换

00:07:49.350 --> 00:07:52.420
我们来做另一个行变换

00:07:52.430 --> 00:07:54.550
把它变成行简化阶梯形

00:07:54.570 --> 00:07:58.760
所以先保持中间那行不变 0, 1, 2

00:07:58.780 --> 00:08:00.940
然后换掉第一行

00:08:00.950 --> 00:08:03.020
变成第一行加上第二行的和

00:08:03.030 --> 00:08:04.400
因为我要把这个变成0

00:08:04.430 --> 00:08:07.130
那么 1+0=1

00:08:07.150 --> 00:08:08.310
我用另一种颜色写

00:08:08.330 --> 00:08:12.560
-1+1等于0

00:08:12.580 --> 00:08:15.290
-1+2等于1

00:08:15.310 --> 00:08:20.390
现在我要把第三行换掉 我们说

00:08:20.400 --> 00:08:25.900
变成第三行减去2倍第一行

00:08:28.350 --> 00:08:30.850
那就是 0-2*0=0

00:08:30.860 --> 00:08:33.490
2-2*1等于0

00:08:33.510 --> 00:08:37.770
5-2*2等于1

00:08:37.790 --> 00:08:39.340
就是 5-4=1

00:08:39.350 --> 00:08:41.450
快了快了

00:08:41.480 --> 00:08:44.550
我们只用把这些归零就好了

00:08:44.570 --> 00:08:46.150
我们看看

00:08:46.170 --> 00:08:47.390
这个能不能变成行简化阶梯形

00:08:47.400 --> 00:08:48.830
那么这个是什么？

00:08:48.850 --> 00:08:50.160
我刚刚做了另一个线性变换

00:08:50.190 --> 00:08:51.290
实际上 让我写下来

00:08:51.300 --> 00:08:53.290
我们说 如果这是我们第一个线性变换

00:08:53.300 --> 00:08:54.880
我刚刚做的是

00:08:54.890 --> 00:08:57.060
我做了另一个线性变换 T2

00:08:57.080 --> 00:08:58.800
我用另一个符号来表示

00:08:58.820 --> 00:09:00.760
给我一些向量

00:09:00.790 --> 00:09:03.480
一些列向量 x1, x2, x3

00:09:03.500 --> 00:09:05.210
刚刚我做的是什么？

00:09:05.230 --> 00:09:07.730
我刚刚做的变换是什么？

00:09:07.750 --> 00:09:09.520
这些新的向量

00:09:09.530 --> 00:09:11.260
我让最上面一行

00:09:11.270 --> 00:09:13.210
等于第一行加上中间那行

00:09:13.230 --> 00:09:15.590
那么这是 x1+x2

00:09:15.600 --> 00:09:17.770
保持第二行不变

00:09:17.780 --> 00:09:19.900
然后第三行 我把第三行变成

00:09:19.920 --> 00:09:22.780
第三行减去2倍第二行

00:09:22.790 --> 00:09:25.320
我刚刚做的是一个线性变换

00:09:25.340 --> 00:09:26.380
然后我们可以

00:09:26.400 --> 00:09:27.980
把这个线性变换表示成――

00:09:28.000 --> 00:09:31.630
我们说 把T2应用到一些向量x上 等价于

00:09:31.650 --> 00:09:35.890
一些用于变换的向量S2 乘上我们的向量x

00:09:35.930 --> 00:09:39.900
现在我们呢可以说 这个等于

00:09:39.910 --> 00:09:45.080
因为如果把这个变换矩阵应用到

00:09:45.090 --> 00:09:46.420
这里每一列

00:09:46.440 --> 00:09:49.030
就等于说是把这个东西

00:09:49.070 --> 00:09:50.630
乘以这个变换矩阵

00:09:50.650 --> 00:09:53.140
所以你可以说 这里这个东西

00:09:53.160 --> 00:09:54.580
我们还没求出这个是什么

00:09:54.590 --> 00:09:56.050
不过我想你知道方法了

00:09:56.070 --> 00:09:59.090
这里这个矩阵会等于这个

00:09:59.110 --> 00:10:03.110
它会等于S2乘以这个东西

00:10:03.130 --> 00:10:04.660
那这里这个是什么?

00:10:04.670 --> 00:10:07.840
呃 这个等于S1乘以A

00:10:07.850 --> 00:10:12.150
这个是 S2×S1×A

00:10:12.170 --> 00:10:13.460
很好

00:10:13.480 --> 00:10:16.520
所以这个就是 S2×S1×A

00:10:16.540 --> 00:10:18.250
其实本来可以直接到这一步

00:10:18.270 --> 00:10:21.000
如果你用 S2×S1

00:10:21.010 --> 00:10:22.560
这个可以是别的矩阵

00:10:22.570 --> 00:10:23.730
如果你只是用A乘

00:10:23.740 --> 00:10:25.930
本来就是直接从这里到这里

00:10:25.940 --> 00:10:27.050
很好

00:10:27.060 --> 00:10:28.120
我们还没有把这个变成

00:10:28.140 --> 00:10:29.740
行简化阶梯形

00:10:29.760 --> 00:10:31.540
我们试试

00:10:31.550 --> 00:10:33.040
这个下面没有位置写了

00:10:33.070 --> 00:10:34.380
那就写上面吧

00:10:34.390 --> 00:10:36.590
我们往上移

00:10:36.610 --> 00:10:39.080
往上 就像这样

00:10:39.090 --> 00:10:41.670
现在我要做的是

00:10:41.690 --> 00:10:48.340
保持第三行不变 0, 0, 1

00:10:48.360 --> 00:10:51.930
我们把第二行换成

00:10:51.950 --> 00:10:56.090
第二行减去2倍第三行

00:10:56.100 --> 00:10:59.270
然后我们得到0 我们得到 1-2*0

00:10:59.280 --> 00:11:02.430
然后得到 2-2*1

00:11:02.450 --> 00:11:03.700
所以那是0

00:11:03.720 --> 00:11:05.820
然后我们把第一行

00:11:05.830 --> 00:11:08.050
变成第一行减去第三行

00:11:08.070 --> 00:11:10.820
那么 1-0=1

00:11:10.840 --> 00:11:13.620
0-0 等于 0

00:11:13.640 --> 00:11:18.180
1-1=0 就像这样

00:11:18.190 --> 00:11:21.430
实际上只是把原本的变换写下来了

00:11:21.440 --> 00:11:22.810
我们用T3表示吧

00:11:22.830 --> 00:11:24.410
我用紫色写

00:11:24.440 --> 00:11:29.370
T3是一些向量x的变换

00:11:29.380 --> 00:11:31.370
我这么写吧――

00:11:31.390 --> 00:11:34.810
对向量x1, x2, x3（的变换）

00:11:34.830 --> 00:11:38.590
这个原来等于――我做了什么

00:11:38.610 --> 00:11:40.020
我们把第一行变成

00:11:40.030 --> 00:11:43.450
第一行减第三行 x1-x3

00:11:43.460 --> 00:11:45.900
我们把第二行换成

00:11:45.910 --> 00:11:48.680
第二行减2倍第三行

00:11:48.710 --> 00:11:51.800
那么是 x2-2*x3

00:11:51.820 --> 00:11:54.160
然后第三行就一样了

00:11:54.170 --> 00:11:56.020
显然 这个也可以被表示

00:11:56.040 --> 00:12:00.700
T3(x) 可以等于

00:12:00.720 --> 00:12:03.460
可以等于另外的变换矩阵 S3×x

00:12:03.480 --> 00:12:05.780
那么 这个变换

00:12:05.800 --> 00:12:07.740
如果你把它乘到每一列上

00:12:07.750 --> 00:12:09.030
就等于

00:12:09.040 --> 00:12:13.520
把这个东西乘上这个变换矩阵

00:12:13.540 --> 00:12:14.900
不过还没求出这个矩阵是什么

00:12:14.920 --> 00:12:16.090
我们可以写出来

00:12:16.120 --> 00:12:17.160
所以这个等于

00:12:17.170 --> 00:12:26.990
S3乘这里这个矩阵 就是S2×S1×A

00:12:27.000 --> 00:12:28.340
然后我们得到什么

00:12:28.350 --> 00:12:30.060
得到的是单位矩阵

00:12:30.080 --> 00:12:31.790
我们把它变成了行简化阶梯形

00:12:31.800 --> 00:12:33.570
得到的是单位矩阵

00:12:33.590 --> 00:12:35.160
从前面的课我们已经知道

00:12:35.170 --> 00:12:37.530
某个东西的行简化阶梯形

00:12:37.550 --> 00:12:38.970
就是单位矩阵

00:12:38.990 --> 00:12:41.460
我们是用可逆变换来做的

00:12:41.470 --> 00:12:43.480
或者说是可逆矩阵

00:12:43.490 --> 00:12:45.590
因为显然这个可以成为

00:12:45.610 --> 00:12:47.370
一些变换的变换

00:12:47.390 --> 00:12:49.090
我们把它叫作变换

00:12:49.120 --> 00:12:51.550
我不知道 就叫T吧

00:12:51.580 --> 00:12:53.290
T我用过了么？

00:12:53.310 --> 00:12:54.810
我们就用To

00:12:54.830 --> 00:12:58.230
来表示一些对向量x的变换

00:12:58.240 --> 00:12:59.960
这个可能等于Ax

00:12:59.970 --> 00:13:03.210
已知它是可逆的

00:13:03.230 --> 00:13:06.100
那么我们把它变为行简化阶梯形

00:13:06.110 --> 00:13:08.200
我们把它的变换矩阵

00:13:08.210 --> 00:13:09.490
变成行简化阶梯形

00:13:09.500 --> 00:13:11.280
然后我们得到单位矩阵

00:13:11.300 --> 00:13:12.780
这个证明它可逆

00:13:12.800 --> 00:13:14.800
而更有趣的是

00:13:14.810 --> 00:13:17.610
我们做到这一步用的是行变换

00:13:17.630 --> 00:13:19.130
然后我们说

00:13:19.160 --> 00:13:22.350
那些行变换完全等价于

00:13:22.360 --> 00:13:24.520
把这个东西乘上

00:13:24.550 --> 00:13:27.910
用我们最初的那个变换矩阵

00:13:27.930 --> 00:13:31.790
是用一连串的变换矩阵得到的

00:13:31.820 --> 00:13:33.250
用（那串变换矩阵）表示行变换

00:13:33.260 --> 00:13:35.010
当把所有这些都乘起来的时候

00:13:35.040 --> 00:13:38.570
它就变成单位矩阵了

00:13:38.590 --> 00:13:43.030
那么 上一集我们说了 对于逆矩阵

00:13:43.040 --> 00:13:45.000
如果这个是To

00:13:45.010 --> 00:13:48.780
那么To的逆矩阵可以表示为

00:13:48.800 --> 00:13:50.280
――它也是线性变换

00:13:50.290 --> 00:13:53.790
它可以用一些逆矩阵来表示

00:13:53.810 --> 00:13:55.580
比如刚才说的 A的逆矩阵乘上x

00:13:55.600 --> 00:14:02.860
我们看见 逆变换乘上

00:14:02.880 --> 00:14:04.330
我们的变换矩阵

00:14:04.350 --> 00:14:06.090
等于单位矩阵

00:14:06.110 --> 00:14:09.050
上节课我们看过了

00:14:09.070 --> 00:14:10.930
我们也证明过了

00:14:10.960 --> 00:14:12.950
那么 有趣的事来了

00:14:12.970 --> 00:14:16.240
我们有一串矩阵乘积乘上这个东西

00:14:16.250 --> 00:14:19.400
乘上这个东西 得到的也是单位矩阵

00:14:19.410 --> 00:14:23.750
那么这个东西 这一串矩阵乘积

00:14:23.770 --> 00:14:28.930
必须等于逆矩阵

00:14:28.950 --> 00:14:31.650
等于逆变换矩阵

00:14:31.670 --> 00:14:35.340
想的话还可以算出来

00:14:35.360 --> 00:14:38.250
就像刚才做的 实际上我们已经求出S1了

00:14:38.270 --> 00:14:39.530
我们在这里做

00:14:39.550 --> 00:14:41.820
我们可以用相似的方法做

00:14:41.840 --> 00:14:46.160
来求出S2和S3 然后再把它们全都乘起来

00:14:46.190 --> 00:14:49.080
然后我们就构造了A的逆矩阵

00:14:49.100 --> 00:14:53.500
我想 更有趣的是

00:14:53.520 --> 00:14:55.590
如果不这么做的话 如果我们一开始

00:14:55.600 --> 00:15:01.290
如果我们把相同的矩阵乘积

00:15:01.310 --> 00:15:05.120
应用在单位矩阵上的话会怎么样？

00:15:05.150 --> 00:15:06.450
我们前面做的所有

00:15:06.470 --> 00:15:08.090
开始做的行变换

00:15:08.100 --> 00:15:10.060
然后这个 矩阵A

00:15:10.070 --> 00:15:13.620
我们说右边是一个单位矩阵

00:15:13.640 --> 00:15:15.800
叫它I 就是这个

00:15:15.820 --> 00:15:18.200
那么 我们做的第一个线性变换

00:15:18.220 --> 00:15:19.700
在这里看到――这个等于

00:15:19.720 --> 00:15:23.130
S1乘A

00:15:23.140 --> 00:15:25.950
这个是第一组行变换

00:15:25.970 --> 00:15:27.480
然后得到这个

00:15:27.490 --> 00:15:30.750
如果我们用相同的行变换

00:15:30.780 --> 00:15:32.980
对单位矩阵再做一次 那得到什么？

00:15:32.990 --> 00:15:34.800
我们会得到矩阵S1

00:15:34.810 --> 00:15:36.870
S1乘单位矩阵等于S1

00:15:36.880 --> 00:15:38.790
所有的列

00:15:38.810 --> 00:15:40.820
任何东西乘上单位矩阵

00:15:40.840 --> 00:15:42.610
乘上标准基向量

00:15:42.630 --> 00:15:44.220
等于它本身

00:15:44.230 --> 00:15:45.760
我们就得到这个S1

00:15:45.770 --> 00:15:47.770
或者说是 S1×I

00:15:47.790 --> 00:15:49.150
就是S1而已

00:15:49.160 --> 00:15:50.310
好了

00:15:50.320 --> 00:15:51.790
然后 如果我们做下一组行变换

00:15:51.810 --> 00:15:55.930
然后得到 S2×S1×A

00:15:55.950 --> 00:15:58.500
现在如果你做相同的行变换

00:15:58.510 --> 00:16:00.620
在这个东西上（做相同的行变换） 得到什么？

00:16:00.670 --> 00:16:04.690
你会得到 S2×S1×I

00:16:04.700 --> 00:16:07.210
现在 最后一组行变换

00:16:07.220 --> 00:16:09.620
我们用S3的矩阵乘积来表示

00:16:09.630 --> 00:16:12.480
我们用变换矩阵S3来乘它

00:16:12.490 --> 00:16:16.780
这样的话 你就得到 S3×S2×S1×A

00:16:16.800 --> 00:16:19.500
如果你把完全相同的行变换应用在

00:16:19.510 --> 00:16:20.700
这里这个东西上的话

00:16:20.710 --> 00:16:25.940
就得到 S3×S2×S1×I

00:16:25.950 --> 00:16:27.570
做到这一步以后

00:16:27.580 --> 00:16:29.580
当你在这做这些行变换时

00:16:29.600 --> 00:16:32.180
这个得到了单位矩阵

00:16:32.200 --> 00:16:34.370
那么这些得到的又是什么？

00:16:34.380 --> 00:16:36.480
当你完成

00:16:36.500 --> 00:16:38.600
和用在A上的完全一样的行变换

00:16:38.620 --> 00:16:40.070
来把这个变成单位矩阵时

00:16:40.090 --> 00:16:42.980
如果你把完全相同的行变换

00:16:43.000 --> 00:16:44.450
用在单位矩阵上 你会得到什么？

00:16:44.460 --> 00:16:46.200
得到的是这个

00:16:46.220 --> 00:16:48.790
所有东西乘单位矩阵

00:16:48.800 --> 00:16:50.680
就是它本身

00:16:50.700 --> 00:16:52.530
那这个是什么？

00:16:52.550 --> 00:16:54.270
这个是A的逆矩阵

00:16:54.300 --> 00:16:56.380
这就是A的逆矩阵

00:16:56.400 --> 00:16:58.320
那么我们有了一个通用方法

00:16:58.340 --> 00:17:02.330
来求变换矩阵的逆矩阵

00:17:02.340 --> 00:17:04.040
我可以做的是

00:17:04.050 --> 00:17:06.290
我们说我有一个变换矩阵A

00:17:06.310 --> 00:17:09.060
我可以构造一个增广矩阵

00:17:09.080 --> 00:17:11.110
把单位矩阵放在里面

00:17:11.120 --> 00:17:12.700
就像这样

00:17:12.710 --> 00:17:15.220
然后我做了一系列的行变换

00:17:15.240 --> 00:17:20.150
你可以用矩阵乘积来表示

00:17:20.160 --> 00:17:21.880
不过你把一系列的行变换

00:17:21.890 --> 00:17:23.370
用在所有这些上面

00:17:23.390 --> 00:17:25.270
你对A做的行变换

00:17:25.280 --> 00:17:26.630
和对单位矩阵做的行变换是一样的

00:17:26.640 --> 00:17:30.850
当你把A变为单位矩阵的时候

00:17:30.860 --> 00:17:33.130
你就把A变为行简化阶梯形了

00:17:33.140 --> 00:17:36.990
当A是行简化阶梯形后 你的单位矩阵――

00:17:37.010 --> 00:17:41.500
当做完完全一样的行变换以后――

00:17:41.520 --> 00:17:45.880
它就变成A的逆矩阵了

00:17:45.890 --> 00:17:50.180
这是一个求逆矩阵很有用的方法

00:17:50.200 --> 00:17:53.350
那么我已经用理论解释了 为什么可以这么做

00:17:53.370 --> 00:17:55.050
那么在下节课 我们就来实际解决一下

00:17:55.060 --> 00:17:56.580
或许我会举个例子

00:17:56.590 --> 00:17:59.230
就用这节课开始的这个矩阵