0:00:00.680,0:00:02.440
这里我有一个矩阵A

0:00:02.460,0:00:05.490
我想把它变成行简化阶梯形

0:00:05.510,0:00:06.930
这个我们做过很多次了

0:00:06.940,0:00:09.320
就是用一连串的行变换

0:00:09.340,0:00:12.050
但是在这一集里我要教你们的是

0:00:12.090,0:00:13.830
那些行变换与

0:00:13.850,0:00:18.650
矩阵A列向量的线性变换是等价的

0:00:18.670,0:00:21.120
我来举个例子

0:00:21.140,0:00:23.010
如果我们要把矩阵A

0:00:23.020,0:00:24.260
变为行简化阶梯形

0:00:24.270,0:00:26.320
我们要做的第一步

0:00:26.350,0:00:28.100
如果要把这些元素变为0的话

0:00:28.120,0:00:32.490
就是 我在这里写

0:00:32.500,0:00:34.950
就是要保证第一个元素是一样的

0:00:34.970,0:00:36.510
所以对于这里每一个列向量

0:00:36.530,0:00:38.050
我们要保持第一个元素是一样的

0:00:38.070,0:00:41.770
所以它们是 1,-1,-1

0:00:41.790,0:00:43.490
实际上 让我同时

0:00:43.510,0:00:45.230
进行这些变换

0:00:45.260,0:00:47.770
我是说 我将要做的那些行变换

0:00:47.800,0:00:49.210
与列向量上的线性变换

0:00:49.230,0:00:52.660
是等价的

0:00:52.680,0:00:54.180
所以这是一个变换

0:00:54.200,0:01:00.010
用一些列向量 a1, a2, a3

0:01:00.030,0:01:02.270
要用到这里的每一个（列向量）

0:01:02.290,0:01:03.610
然后对它们做一些变换

0:01:03.630,0:01:05.560
对它们做一些线性变换

0:01:05.570,0:01:06.850
这些就是线性变换

0:01:06.870,0:01:08.280
所以我们要保证

0:01:08.290,0:01:10.490
列向量的第一个元素是一样的

0:01:10.500,0:01:12.510
所以这个是a1

0:01:12.540,0:01:15.990
这里画一条线

0:01:16.010,0:01:17.560
这个是a1

0:01:17.570,0:01:18.770
现在 我们要怎么做

0:01:18.790,0:01:20.250
如果要把它变成行简化阶梯形？

0:01:20.260,0:01:22.380
我们要把这个变成0

0:01:22.410,0:01:25.340
所以我们要把第二行换成

0:01:25.360,0:01:28.110
第二行与第一行的和

0:01:28.120,0:01:30.240
因为到时这些东西会变成0

0:01:30.250,0:01:32.130
我来写一下这个变换

0:01:32.150,0:01:33.620
我们把第二行换成

0:01:33.640,0:01:37.160
第二行加上第一行的和

0:01:37.170,0:01:40.550
我在这里写下来

0:01:40.570,0:01:43.190
-1+1等于0

0:01:43.210,0:01:45.680
2+(-1)等于1

0:01:45.700,0:01:48.190
3+(-1)等于2

0:01:48.210,0:01:50.910
现在 这里我们也要得到0

0:01:50.930,0:01:53.110
所以我们把第三行换成

0:01:53.130,0:01:56.000
第三行减去第一行的差

0:01:56.010,0:01:58.360
所以我们把第三行换成

0:01:58.370,0:02:00.960
第三行减第一行的差

0:02:00.970,0:02:04.630
那么 1-1=0

0:02:04.650,0:02:08.350
1-(-1)等于2

0:02:08.360,0:02:14.010
4-(-1)=5 就像这样

0:02:14.030,0:02:16.830
所以你看 这个就是一个线性变换

0:02:16.840,0:02:18.870
任意一个线性变换

0:02:18.880,0:02:22.420
你都可以用矩阵乘积来表示

0:02:22.440,0:02:23.940
比如说这个变换

0:02:23.960,0:02:25.480
我可以这样表示

0:02:25.490,0:02:28.300
来求这个变换矩阵是什么

0:02:28.320,0:02:32.010
如果说T(x)等于

0:02:32.030,0:02:36.210
我也不知道 就叫它矩阵S乘x吧

0:02:36.230,0:02:38.080
在矩阵A里 我们已经用过了

0:02:38.090,0:02:39.590
所以用别的字母表示

0:02:39.600,0:02:41.350
那么怎么求矩阵S？

0:02:41.370,0:02:43.470
呃 我们只用把这个变换应用到

0:02:43.480,0:02:44.860
所有的列向量上

0:02:44.890,0:02:46.830
或者用到单位矩阵的标准基向量上

0:02:46.850,0:02:48.430
我们试一试

0:02:48.440,0:02:49.900
那么这个单位矩阵

0:02:49.920,0:02:51.250
这里我要画的很小

0:02:51.270,0:02:53.390
单位矩阵是这样：

0:02:53.400,0:02:57.610
就是 [1,0,0；0,1,0；0,0,1]

0:02:57.630,0:02:59.690
这就是单位矩阵

0:02:59.700,0:03:01.210
要求出所需的矩阵

0:03:01.230,0:03:02.870
我们只用把这个应用到

0:03:02.890,0:03:04.150
这个的每一个列向量

0:03:04.170,0:03:05.800
我们得到什么？

0:03:05.810,0:03:07.910
这个画大一点

0:03:07.920,0:03:11.120
我们把它用在每一个列向量上

0:03:11.130,0:03:13.690
我们看到 第一行总是一样的

0:03:13.710,0:03:15.960
所以第一行总是一样的东西

0:03:15.970,0:03:18.680
是 1, 0, 0

0:03:18.700,0:03:20.980
基本上我同时把它应用在

0:03:20.990,0:03:22.400
这里每一个列向量上

0:03:22.420,0:03:23.460
就是说 看

0:03:23.470,0:03:25.410
当你变动这些列向量的时候

0:03:25.440,0:03:27.380
它们的第一个元素总是不变的

0:03:27.400,0:03:30.160
而第二个元素

0:03:30.170,0:03:33.210
就变成第二个元素加上第一个元素的和

0:03:33.230,0:03:34.530
所以 0+1=1

0:03:34.560,0:03:38.490
1+0等于1

0:03:38.500,0:03:40.950
0+0等于0

0:03:40.970,0:03:44.080
然后第三个元素就变成

0:03:44.090,0:03:47.010
第三个元素减去第一个元素的差

0:03:47.030,0:03:49.990
那么 0-1=-1

0:03:50.000,0:03:52.570
0-0等于0

0:03:52.590,0:03:54.680
1-0等于1

0:03:54.690,0:03:56.090
现在注意了

0:03:56.100,0:03:57.890
当我把这个变换应用在

0:03:57.910,0:04:00.970
我们单位矩阵的列向量上

0:04:00.980,0:04:02.400
本质上 我只是

0:04:02.430,0:04:04.840
用跟刚才的行变换一样的东西

0:04:04.850,0:04:07.120
我用的完全是一样的行变换

0:04:07.140,0:04:08.320
在这个单位矩阵上

0:04:08.340,0:04:09.670
但是我们知道

0:04:09.700,0:04:11.130
这个正好是我们要的变换矩阵

0:04:11.140,0:04:13.540
如果我们用每一个列向量来乘它

0:04:13.550,0:04:16.190
或者用这里每一个列向量

0:04:16.200,0:04:18.160
我们就会得到这些列向量

0:04:18.180,0:04:19.710
你可以这么理解

0:04:19.720,0:04:21.280
这里这个 这个是等于矩阵S的

0:04:21.300,0:04:25.030
这是我们要的变换矩阵

0:04:25.050,0:04:26.850
所以我们可以说

0:04:26.870,0:04:31.570
如果我们建立一个新的矩阵

0:04:31.580,0:04:35.910
它的列是S乘这个列向量

0:04:35.930,0:04:38.770
S乘[1,-1,1]

0:04:38.780,0:04:42.840
然后下一列是S乘...

0:04:46.350,0:04:48.320
我用另一种颜色写

0:04:48.340,0:04:54.280
S乘这个: [-1, 2, 1]

0:04:54.290,0:05:00.610
然后第三列就是

0:05:00.630,0:05:06.930
S 乘这个第三个列向量 [-1, 3, 4]

0:05:06.940,0:05:11.580
现在知道 我们在应用这个变换

0:05:11.600,0:05:14.590
这个是S 乘上这里每一个列向量

0:05:14.610,0:05:16.910
这就是表达这个变换的矩阵

0:05:16.920,0:05:18.990
这里这个东西

0:05:19.010,0:05:23.790
这个会变成这边这个

0:05:23.820,0:05:26.180
我在这下面写吧

0:05:30.360,0:05:31.970
给你们看个东西

0:05:31.990,0:05:33.410
我这里上面写的

0:05:33.430,0:05:35.710
呃 我只是画了一个箭头

0:05:35.720,0:05:36.910
这可能是最简单的了

0:05:36.920,0:05:41.190
这里这个矩阵会变成 那里那个矩阵

0:05:41.210,0:05:43.010
所以你可以把它写成另一种形式

0:05:43.030,0:05:44.630
这个和哪个是一样的？

0:05:44.650,0:05:45.950
它和哪个是等价的？

0:05:45.970,0:05:47.010
当你拿到一个矩阵

0:05:47.030,0:05:48.810
然后你把它乘上它的每一个列向量

0:05:48.820,0:05:50.010
当你把

0:05:50.020,0:05:52.250
每一个列向量都用这个矩阵乘了

0:05:52.260,0:05:55.470
这就是矩阵与矩阵乘积的定义

0:05:55.500,0:05:59.110
它就相当于我们的矩阵S――我用粉红色写

0:05:59.120,0:06:01.220
这个等于我们的矩阵S

0:06:01.250,0:06:08.290
就是 [1,0,0；1,1,0；-1,0,1]

0:06:08.310,0:06:10.640
乘上我们的矩阵A

0:06:10.660,0:06:22.000
乘 [1,-1,-1；-1,2,3；1,1,4]

0:06:22.030,0:06:24.050
要把这个弄得很清楚

0:06:24.070,0:06:27.280
这个是我们的变换矩阵S

0:06:27.300,0:06:30.070
这个是我们的矩阵A

0:06:30.090,0:06:32.510
当你用到这个乘积的时候

0:06:32.540,0:06:35.560
就会得到这个东西

0:06:38.870,0:06:40.140
我就复制粘贴一下

0:06:40.170,0:06:43.710
编辑 复制 然后粘贴

0:06:43.720,0:06:48.140
你会得到这个 就是这样

0:06:48.150,0:06:50.140
我这么做的原因是

0:06:50.160,0:06:51.540
只是为了提醒你

0:06:51.560,0:06:53.750
当我们做这些行变换的时候

0:06:53.760,0:06:55.090
我们只是在做乘法

0:06:55.110,0:06:56.510
我们在做一个线性变换

0:06:56.530,0:06:57.990
对这里每一个列向量\N【做同样的线性变换】

0:06:58.010,0:06:59.670
然后这个跟 仅仅用某个矩阵

0:06:59.700,0:07:02.910
S乘这个东西是完全一样的

0:07:02.930,0:07:04.020
这个情况下

0:07:04.030,0:07:05.140
有点麻烦的是

0:07:05.150,0:07:06.450
求矩阵S是什么

0:07:06.460,0:07:09.130
但是我们在这里 进行过的任何一个行变换

0:07:09.140,0:07:12.330
你总是可以用一个矩阵乘法来表示

0:07:17.660,0:07:19.350
这就产生了一个有趣的问题

0:07:22.100,0:07:25.780
当你把一个东西变成了行简化阶梯形

0:07:25.800,0:07:27.010
让我在这里写

0:07:29.730,0:07:32.500
我们先把开始的这个东西写完

0:07:32.510,0:07:34.770
先把这个变成行简化阶梯形

0:07:34.780,0:07:36.790
那么这个 我们说过了

0:07:36.810,0:07:37.980
这个等于――

0:07:37.990,0:07:39.370
我先把它称为第一个S

0:07:39.380,0:07:40.550
叫它S1吧

0:07:40.560,0:07:42.870
所以这里这个东西等于

0:07:42.880,0:07:45.530
第一个S1乘上A

0:07:45.540,0:07:47.340
我们已经证明过是对的了

0:07:47.350,0:07:49.330
现在我们来做另一个变换

0:07:49.350,0:07:52.420
我们来做另一个行变换

0:07:52.430,0:07:54.550
把它变成行简化阶梯形

0:07:54.570,0:07:58.760
所以先保持中间那行不变 0, 1, 2

0:07:58.780,0:08:00.940
然后换掉第一行

0:08:00.950,0:08:03.020
变成第一行加上第二行的和

0:08:03.030,0:08:04.400
因为我要把这个变成0

0:08:04.430,0:08:07.130
那么 1+0=1

0:08:07.150,0:08:08.310
我用另一种颜色写

0:08:08.330,0:08:12.560
-1+1等于0

0:08:12.580,0:08:15.290
-1+2等于1

0:08:15.310,0:08:20.390
现在我要把第三行换掉 我们说

0:08:20.400,0:08:25.900
变成第三行减去2倍第一行

0:08:28.350,0:08:30.850
那就是 0-2*0=0

0:08:30.860,0:08:33.490
2-2*1等于0

0:08:33.510,0:08:37.770
5-2*2等于1

0:08:37.790,0:08:39.340
就是 5-4=1

0:08:39.350,0:08:41.450
快了快了

0:08:41.480,0:08:44.550
我们只用把这些归零就好了

0:08:44.570,0:08:46.150
我们看看

0:08:46.170,0:08:47.390
这个能不能变成行简化阶梯形

0:08:47.400,0:08:48.830
那么这个是什么？

0:08:48.850,0:08:50.160
我刚刚做了另一个线性变换

0:08:50.190,0:08:51.290
实际上 让我写下来

0:08:51.300,0:08:53.290
我们说 如果这是我们第一个线性变换

0:08:53.300,0:08:54.880
我刚刚做的是

0:08:54.890,0:08:57.060
我做了另一个线性变换 T2

0:08:57.080,0:08:58.800
我用另一个符号来表示

0:08:58.820,0:09:00.760
给我一些向量

0:09:00.790,0:09:03.480
一些列向量 x1, x2, x3

0:09:03.500,0:09:05.210
刚刚我做的是什么？

0:09:05.230,0:09:07.730
我刚刚做的变换是什么？

0:09:07.750,0:09:09.520
这些新的向量

0:09:09.530,0:09:11.260
我让最上面一行

0:09:11.270,0:09:13.210
等于第一行加上中间那行

0:09:13.230,0:09:15.590
那么这是 x1+x2

0:09:15.600,0:09:17.770
保持第二行不变

0:09:17.780,0:09:19.900
然后第三行 我把第三行变成

0:09:19.920,0:09:22.780
第三行减去2倍第二行

0:09:22.790,0:09:25.320
我刚刚做的是一个线性变换

0:09:25.340,0:09:26.380
然后我们可以

0:09:26.400,0:09:27.980
把这个线性变换表示成――

0:09:28.000,0:09:31.630
我们说 把T2应用到一些向量x上 等价于

0:09:31.650,0:09:35.890
一些用于变换的向量S2 乘上我们的向量x

0:09:35.930,0:09:39.900
现在我们呢可以说 这个等于

0:09:39.910,0:09:45.080
因为如果把这个变换矩阵应用到

0:09:45.090,0:09:46.420
这里每一列

0:09:46.440,0:09:49.030
就等于说是把这个东西

0:09:49.070,0:09:50.630
乘以这个变换矩阵

0:09:50.650,0:09:53.140
所以你可以说 这里这个东西

0:09:53.160,0:09:54.580
我们还没求出这个是什么

0:09:54.590,0:09:56.050
不过我想你知道方法了

0:09:56.070,0:09:59.090
这里这个矩阵会等于这个

0:09:59.110,0:10:03.110
它会等于S2乘以这个东西

0:10:03.130,0:10:04.660
那这里这个是什么?

0:10:04.670,0:10:07.840
呃 这个等于S1乘以A

0:10:07.850,0:10:12.150
这个是 S2×S1×A

0:10:12.170,0:10:13.460
很好

0:10:13.480,0:10:16.520
所以这个就是 S2×S1×A

0:10:16.540,0:10:18.250
其实本来可以直接到这一步

0:10:18.270,0:10:21.000
如果你用 S2×S1

0:10:21.010,0:10:22.560
这个可以是别的矩阵

0:10:22.570,0:10:23.730
如果你只是用A乘

0:10:23.740,0:10:25.930
本来就是直接从这里到这里

0:10:25.940,0:10:27.050
很好

0:10:27.060,0:10:28.120
我们还没有把这个变成

0:10:28.140,0:10:29.740
行简化阶梯形

0:10:29.760,0:10:31.540
我们试试

0:10:31.550,0:10:33.040
这个下面没有位置写了

0:10:33.070,0:10:34.380
那就写上面吧

0:10:34.390,0:10:36.590
我们往上移

0:10:36.610,0:10:39.080
往上 就像这样

0:10:39.090,0:10:41.670
现在我要做的是

0:10:41.690,0:10:48.340
保持第三行不变 0, 0, 1

0:10:48.360,0:10:51.930
我们把第二行换成

0:10:51.950,0:10:56.090
第二行减去2倍第三行

0:10:56.100,0:10:59.270
然后我们得到0 我们得到 1-2*0

0:10:59.280,0:11:02.430
然后得到 2-2*1

0:11:02.450,0:11:03.700
所以那是0

0:11:03.720,0:11:05.820
然后我们把第一行

0:11:05.830,0:11:08.050
变成第一行减去第三行

0:11:08.070,0:11:10.820
那么 1-0=1

0:11:10.840,0:11:13.620
0-0 等于 0

0:11:13.640,0:11:18.180
1-1=0 就像这样

0:11:18.190,0:11:21.430
实际上只是把原本的变换写下来了

0:11:21.440,0:11:22.810
我们用T3表示吧

0:11:22.830,0:11:24.410
我用紫色写

0:11:24.440,0:11:29.370
T3是一些向量x的变换

0:11:29.380,0:11:31.370
我这么写吧――

0:11:31.390,0:11:34.810
对向量x1, x2, x3（的变换）

0:11:34.830,0:11:38.590
这个原来等于――我做了什么

0:11:38.610,0:11:40.020
我们把第一行变成

0:11:40.030,0:11:43.450
第一行减第三行 x1-x3

0:11:43.460,0:11:45.900
我们把第二行换成

0:11:45.910,0:11:48.680
第二行减2倍第三行

0:11:48.710,0:11:51.800
那么是 x2-2*x3

0:11:51.820,0:11:54.160
然后第三行就一样了

0:11:54.170,0:11:56.020
显然 这个也可以被表示

0:11:56.040,0:12:00.700
T3(x) 可以等于

0:12:00.720,0:12:03.460
可以等于另外的变换矩阵 S3×x

0:12:03.480,0:12:05.780
那么 这个变换

0:12:05.800,0:12:07.740
如果你把它乘到每一列上

0:12:07.750,0:12:09.030
就等于

0:12:09.040,0:12:13.520
把这个东西乘上这个变换矩阵

0:12:13.540,0:12:14.900
不过还没求出这个矩阵是什么

0:12:14.920,0:12:16.090
我们可以写出来

0:12:16.120,0:12:17.160
所以这个等于

0:12:17.170,0:12:26.990
S3乘这里这个矩阵 就是S2×S1×A

0:12:27.000,0:12:28.340
然后我们得到什么

0:12:28.350,0:12:30.060
得到的是单位矩阵

0:12:30.080,0:12:31.790
我们把它变成了行简化阶梯形

0:12:31.800,0:12:33.570
得到的是单位矩阵

0:12:33.590,0:12:35.160
从前面的课我们已经知道

0:12:35.170,0:12:37.530
某个东西的行简化阶梯形

0:12:37.550,0:12:38.970
就是单位矩阵

0:12:38.990,0:12:41.460
我们是用可逆变换来做的

0:12:41.470,0:12:43.480
或者说是可逆矩阵

0:12:43.490,0:12:45.590
因为显然这个可以成为

0:12:45.610,0:12:47.370
一些变换的变换

0:12:47.390,0:12:49.090
我们把它叫作变换

0:12:49.120,0:12:51.550
我不知道 就叫T吧

0:12:51.580,0:12:53.290
T我用过了么？

0:12:53.310,0:12:54.810
我们就用To

0:12:54.830,0:12:58.230
来表示一些对向量x的变换

0:12:58.240,0:12:59.960
这个可能等于Ax

0:12:59.970,0:13:03.210
已知它是可逆的

0:13:03.230,0:13:06.100
那么我们把它变为行简化阶梯形

0:13:06.110,0:13:08.200
我们把它的变换矩阵

0:13:08.210,0:13:09.490
变成行简化阶梯形

0:13:09.500,0:13:11.280
然后我们得到单位矩阵

0:13:11.300,0:13:12.780
这个证明它可逆

0:13:12.800,0:13:14.800
而更有趣的是

0:13:14.810,0:13:17.610
我们做到这一步用的是行变换

0:13:17.630,0:13:19.130
然后我们说

0:13:19.160,0:13:22.350
那些行变换完全等价于

0:13:22.360,0:13:24.520
把这个东西乘上

0:13:24.550,0:13:27.910
用我们最初的那个变换矩阵

0:13:27.930,0:13:31.790
是用一连串的变换矩阵得到的

0:13:31.820,0:13:33.250
用（那串变换矩阵）表示行变换

0:13:33.260,0:13:35.010
当把所有这些都乘起来的时候

0:13:35.040,0:13:38.570
它就变成单位矩阵了

0:13:38.590,0:13:43.030
那么 上一集我们说了 对于逆矩阵

0:13:43.040,0:13:45.000
如果这个是To

0:13:45.010,0:13:48.780
那么To的逆矩阵可以表示为

0:13:48.800,0:13:50.280
――它也是线性变换

0:13:50.290,0:13:53.790
它可以用一些逆矩阵来表示

0:13:53.810,0:13:55.580
比如刚才说的 A的逆矩阵乘上x

0:13:55.600,0:14:02.860
我们看见 逆变换乘上

0:14:02.880,0:14:04.330
我们的变换矩阵

0:14:04.350,0:14:06.090
等于单位矩阵

0:14:06.110,0:14:09.050
上节课我们看过了

0:14:09.070,0:14:10.930
我们也证明过了

0:14:10.960,0:14:12.950
那么 有趣的事来了

0:14:12.970,0:14:16.240
我们有一串矩阵乘积乘上这个东西

0:14:16.250,0:14:19.400
乘上这个东西 得到的也是单位矩阵

0:14:19.410,0:14:23.750
那么这个东西 这一串矩阵乘积

0:14:23.770,0:14:28.930
必须等于逆矩阵

0:14:28.950,0:14:31.650
等于逆变换矩阵

0:14:31.670,0:14:35.340
想的话还可以算出来

0:14:35.360,0:14:38.250
就像刚才做的 实际上我们已经求出S1了

0:14:38.270,0:14:39.530
我们在这里做

0:14:39.550,0:14:41.820
我们可以用相似的方法做

0:14:41.840,0:14:46.160
来求出S2和S3 然后再把它们全都乘起来

0:14:46.190,0:14:49.080
然后我们就构造了A的逆矩阵

0:14:49.100,0:14:53.500
我想 更有趣的是

0:14:53.520,0:14:55.590
如果不这么做的话 如果我们一开始

0:14:55.600,0:15:01.290
如果我们把相同的矩阵乘积

0:15:01.310,0:15:05.120
应用在单位矩阵上的话会怎么样？

0:15:05.150,0:15:06.450
我们前面做的所有

0:15:06.470,0:15:08.090
开始做的行变换

0:15:08.100,0:15:10.060
然后这个 矩阵A

0:15:10.070,0:15:13.620
我们说右边是一个单位矩阵

0:15:13.640,0:15:15.800
叫它I 就是这个

0:15:15.820,0:15:18.200
那么 我们做的第一个线性变换

0:15:18.220,0:15:19.700
在这里看到――这个等于

0:15:19.720,0:15:23.130
S1乘A

0:15:23.140,0:15:25.950
这个是第一组行变换

0:15:25.970,0:15:27.480
然后得到这个

0:15:27.490,0:15:30.750
如果我们用相同的行变换

0:15:30.780,0:15:32.980
对单位矩阵再做一次 那得到什么？

0:15:32.990,0:15:34.800
我们会得到矩阵S1

0:15:34.810,0:15:36.870
S1乘单位矩阵等于S1

0:15:36.880,0:15:38.790
所有的列

0:15:38.810,0:15:40.820
任何东西乘上单位矩阵

0:15:40.840,0:15:42.610
乘上标准基向量

0:15:42.630,0:15:44.220
等于它本身

0:15:44.230,0:15:45.760
我们就得到这个S1

0:15:45.770,0:15:47.770
或者说是 S1×I

0:15:47.790,0:15:49.150
就是S1而已

0:15:49.160,0:15:50.310
好了

0:15:50.320,0:15:51.790
然后 如果我们做下一组行变换

0:15:51.810,0:15:55.930
然后得到 S2×S1×A

0:15:55.950,0:15:58.500
现在如果你做相同的行变换

0:15:58.510,0:16:00.620
在这个东西上（做相同的行变换） 得到什么？

0:16:00.670,0:16:04.690
你会得到 S2×S1×I

0:16:04.700,0:16:07.210
现在 最后一组行变换

0:16:07.220,0:16:09.620
我们用S3的矩阵乘积来表示

0:16:09.630,0:16:12.480
我们用变换矩阵S3来乘它

0:16:12.490,0:16:16.780
这样的话 你就得到 S3×S2×S1×A

0:16:16.800,0:16:19.500
如果你把完全相同的行变换应用在

0:16:19.510,0:16:20.700
这里这个东西上的话

0:16:20.710,0:16:25.940
就得到 S3×S2×S1×I

0:16:25.950,0:16:27.570
做到这一步以后

0:16:27.580,0:16:29.580
当你在这做这些行变换时

0:16:29.600,0:16:32.180
这个得到了单位矩阵

0:16:32.200,0:16:34.370
那么这些得到的又是什么？

0:16:34.380,0:16:36.480
当你完成

0:16:36.500,0:16:38.600
和用在A上的完全一样的行变换

0:16:38.620,0:16:40.070
来把这个变成单位矩阵时

0:16:40.090,0:16:42.980
如果你把完全相同的行变换

0:16:43.000,0:16:44.450
用在单位矩阵上 你会得到什么？

0:16:44.460,0:16:46.200
得到的是这个

0:16:46.220,0:16:48.790
所有东西乘单位矩阵

0:16:48.800,0:16:50.680
就是它本身

0:16:50.700,0:16:52.530
那这个是什么？

0:16:52.550,0:16:54.270
这个是A的逆矩阵

0:16:54.300,0:16:56.380
这就是A的逆矩阵

0:16:56.400,0:16:58.320
那么我们有了一个通用方法

0:16:58.340,0:17:02.330
来求变换矩阵的逆矩阵

0:17:02.340,0:17:04.040
我可以做的是

0:17:04.050,0:17:06.290
我们说我有一个变换矩阵A

0:17:06.310,0:17:09.060
我可以构造一个增广矩阵

0:17:09.080,0:17:11.110
把单位矩阵放在里面

0:17:11.120,0:17:12.700
就像这样

0:17:12.710,0:17:15.220
然后我做了一系列的行变换

0:17:15.240,0:17:20.150
你可以用矩阵乘积来表示

0:17:20.160,0:17:21.880
不过你把一系列的行变换

0:17:21.890,0:17:23.370
用在所有这些上面

0:17:23.390,0:17:25.270
你对A做的行变换

0:17:25.280,0:17:26.630
和对单位矩阵做的行变换是一样的

0:17:26.640,0:17:30.850
当你把A变为单位矩阵的时候

0:17:30.860,0:17:33.130
你就把A变为行简化阶梯形了

0:17:33.140,0:17:36.990
当A是行简化阶梯形后 你的单位矩阵――

0:17:37.010,0:17:41.500
当做完完全一样的行变换以后――

0:17:41.520,0:17:45.880
它就变成A的逆矩阵了

0:17:45.890,0:17:50.180
这是一个求逆矩阵很有用的方法

0:17:50.200,0:17:53.350
那么我已经用理论解释了 为什么可以这么做

0:17:53.370,0:17:55.050
那么在下节课 我们就来实际解决一下

0:17:55.060,0:17:56.580
或许我会举个例子

0:17:56.590,0:17:59.230
就用这节课开始的这个矩阵