Linear Algebra: Deriving a method for determining inverses

Mul on selle maatriksi siin, et ma tahan, et vähendatud rea kasutusele

Pealtkuulamissüsteem vorm.

Ja me oleme seda korduvalt teinud.

Lihtsalt teeme läbi mitmeid operatsioone veergudel.

Ma tahan selles videos näidata, et need operatrioonid

on ekvivalentsed lineaarfunktsionidega

veergu vektoritest A.

Las ma teen ühe näite.

Nii et kui me lihtsalt taha panna a vähendatud rea Pealtkuulamissüsteem vormile

esimese asjana , mida me tegema peame on

vaja välja nullida need sisendid siin---las ma teen selle

siia--jätame esimese arvu samaks.

Iga veeru vektorite puhul, jätame esimese

arvu samaks.

Niisis, needon 1,miinus 1, miinus 1.

Las ma samaaegselt loon oma

funktsiooni.

Need operatsioonid veergudel, mida ma hakkan läbi viima

on võrdelised lineaarfunktsiooni rakendamisega

veeru vekorile.

Seega, see on funktsioon, mis võtab

mingi veeru vektori a1, a2, ja a3.

See võtab iga nendest ja siis teeb nendega

midagi, teeb midagi lineaarselt.

Need saavad olema lineaarsed.

Niisiis, me jätame esimese sisendi samaks,

ceeru vektoris.

Seega, see on lihtsalt a1.

See on siin joon.

See on a1.

Mida me saame teha, et jõuda

vähendatud rea Pealtkuulamissüsteem vormi?

Me tahame seda teha võrdseks nulliga.

Seega me tahame asendada teise veeru teise

veeru plus esimese veeruga, kuna siis saaksime

tulemuseks 0.

Las ma kirjutan selle oma funktsiooni.

Ma asendad teise rea tesie rea ja

esimese rea summaga.

Las ma kirjutan selle siia.

Miinus 1 pluss 1 on 0.

2 pluss miinus 1 on 1.

3 pluss miinus 1 on 2.

Nüüd, me tahame ka siia nulli.

Niisis, ma asendan kolmanda rea kolmanda rea ja esimese

rea vahega.

Seega ma asendan kolmanda rea kolmanda rea

ja esimese rea vahega.

Seega, 1 miinus 1 on 0.

1 miinus miinus 1 on 2.

4 miinus miinus 1 on 5, lihtsalt nii.

Nüüd näed, et see oli lihtsalt lineaarfunktsioon.

Igat lineaarfuntksiooni saab esitada

maatriksi vektori tulemusena.

Näiteks, see funktsioon, ma võiksin

esitadaa seda.

Et leida selle funktsiooni maatriks,

kui ma ütlen, et T x-ist on võrdne, ma ei tea,

mingi maatriks S korda x.

Me juba jasutasime maatriks A-d.

Seega, peab kasutama mingisugust teist tähte.

Kuidas me leiame S-i?

Rakendame funktsiooni kõigile

veeru vekotritele või alg alusvektoritele

ühikmaatriksis.

Teeme seda.

Ühikmaatriks---joonistan selle väikeselt

---ühikmaatriks näeb välja selline 1,0,0,0,

1,0,0,0,1.

Selline on ühikmaatriks.

Et leida maatriksi funktsioon, me rakendame

seda iga veeru vektorile sellest.

Mida me saame?

Teen natukene suuremalt.

Me rakendame seda igale veeru vektorile.

Aga me näeme, et esimene rinda jääb alati samaks.

Seega esimene rida jääb alati samaks.

Seega 1,0,0.

Ma lihtsalt rakendan seda samaaegselt igale

veeru vektorile, vaata, kui muudad ümber

iga veeru vektori, nende esimene sisend jääb samaks.

Teine sisend läheb teise pluss

esimese summaks.

Seega 0 pluss 1 on1.

1 pluss 0 on 1.

0 pluss 0 on 0.

Kolmas sisend muutub kolmanda ja esimese

sisendi vaheks.

Seega 0 miinus 1 on miinus 1.

0 miinus 0 on 0.

1 miinus 0 on 1.

Märka, kui ma seda muudatust rakendan veeru vektoritele

ühikmaatriksis, siis ma lihtsalt

sooritasin samad veeru operatsioonid

mida ma seal ülevalgi tegin.

Ma sooritasin täpselt samad operatsioonid sellel

ühikmaatriksil.

Kuid me teame, et see on tegelikult maatriksi

funktsioon, kui me korrutame iga veeru vektori

siis saame

samad veeru vektorid.

Seda saab vaadata nii.

See siin on võrdne S-iga.

See on meie funktsiooni maatriks.

Kui me loome uue maatriksi, mille

veerud on S korda selle veeru vektor, S korda 1,

miinus 1,1.

Ja siis järgmine veerg on S korda---ma tahtsin

seda selle värviga teha---S korda see siin, miinus 1,2,1.

Ja siis kolmas veerg saab olema S korda see kolmas

veeru vektor, miinus 1,3,4.

Nüüd me teame, et me rakendame seda muutust,

see on S, korda iga veeru vektor.

See on maatriksi kujutus sellest

funtksioonist.

See siin muutub

selleks siin.

Las ma teen selle siia.

Ma tahtsin näidata asju, mis mul on ka siin üleval.

No, ma joonistal lihtsalt noole.

See on tõenäolislet lihtsaim asi.

See maatriks siinmuutub

selleks maatriksiks siin.

Teistmoodi, see siin

on ekvivalentne millega?

Millega see on ekvivalentne?

Kui sa võtad maatriksi ja korrutad selle iga

veeru vekotriga, kui sa muudad iga veeru vektorit

selle maatriksi võrra, se on definitsioon

maatriksi maatriksi tulemusest.

Seeon võrdne meie maatriksiga S--ma teen roosas---see

on võrdne meie maatriksiga S, mis on 1,0,0,1,1,0,

miinus 1,0,1, korda meie maatriks A , korda 1, miinus 1,1,

miinus 1,2,1, miinus 1,3,4.

Las ma seletan.

See on meie funktsiooni maatriks S.

See on meie maatriks A.

Ja kui sa teed nii, siis

sa saad selle siin.

Ma lihtsalt kopeerin ja kleebin.

Las ma kleebin selle.

Sa saad selle täpselt niimoodi.

Ma teen seda selleks, et meenutada, et

kui me sooritame ükskõik millise nendest veeru operatsioonidest, siis

me lihtsalt korrutame.

Me sooritame lineaarfunktsiooni igal

veerul siin.

Ja seeon täielikult ekvivalentne korrutamisega

seda siin mingi maatriksi S-iga.

Selle juhul, me nägime vaeva leidmaks

mis see maatriks S on.

Kuid iga veeru operatsioon, millega me oleme

tegelenud, neid saab alati esindada kui maatriksite

korrutisena.

See viib väga huvitava ideeni.

Kui paned midagi vähendatud rea Pealtkuulamissüsteem kujul, laske

las ma teen selle siia.

Tegelikult, lõpetame alustatu.

Let's pannakse see tⁿⁿp vähendatud rea Pealtkuulamissüsteem vormi.

Las ma nimetan selle S-iks.

Ja selle S1-ks.

See siin on võrdne

esimene S1 korda A.

Me juba näitasime, et see on tõene.

Sooritame ühe teise muudatuse.

Loome uue hulga operatsioone, mis aitavad meil saada

vähendatud rea Pealtkuulamissüsteem vorm.

Jötame keskmise rea samaks, 0, 1, 2.

Ja asendame esimese rea esimes rea ja

teise rea summaga, sest ma tahan seda nulliks saada.

Seega 1 pluss 0 on 1.

Las ma teen teise värviga.

miinus 1 pluss 1 on 0.

Miinus 1 pluss 2 on 1.

Ma tahan nüüd asendada kolmanda rea

kolmanda rea ja kahe kordse esimese reaga.

Seega see on 0, miinus 2, korda 0, see on 0.

2 miinus 2, korda 1 on 0.

5 miinus 2, korda 2, on 1.

5 miinus 4 on 1.

Me oleme peaaegu lõpus.

Me peame need ära nullima.

Vaatame, kui me saame seda vähendatud rea Pealtkuulamissüsteem vormile.

Mis see siis on?

Ma lihtsalt sooritasin ühe teise lineaarfunktsiooni.

Tegelikult, las ma kirjutan selle.

Ütleme, et see oli meie esimene lineaarfunktsioon,

mida ma praegu tegin, oli teise lineaarfunktsiooni loomin

funktsiooni T2 loomine.

Ma kirjutan teistmoodi, kui mul on vektor , mingi

veeru vekor x1,x2,x3.

Mida ma just tegin?

Mis oli see muutus, mille ma just läbi viistin?

Nüüd, mu uus vektor, ma tegin ülemise rea võrdseks ülemise rea ja

teise rea summaga.

Seega, see on x1 pluss x2.

Jätsin teise rea samaks.

Ja siis kolmas rida, selle ma asendasin kolmanda rea

ja teise rea kahekordse vahega.

See oligi see lineaarfunktsioon, mille me just tegime.

Ja me võime seda lineaarfunktiooni esitada kui

me võime öelda T2 rakendatuna mingile vektorile x on võrdne

mingi funktsiooniga vektor S2, korda meie vektor x.

Sest, kui me rakendame seda funktsiooni maatriksit igale

veerule, siis see on võrdne korrutades

selle selle funktsiooni maatriksiga.

Võib öelda, et see siin on ---me pole

veel välja mõlenud mis see on, aga ma arvan, et te saate aru---

se maatriks siin saab olema võrdne sellega siin.

See on võrdne S2 korda see siin.

Mis see siin on?

No, see on võrdne S1-ga korda A.

See on S2 korda S1, korda A.

Heaküll.

Otse siia oleks saanud, kui oleksime lihtsalt

korrutanud S2-e ja S1-e

See võib olla mingi muu maatriks.

Ki sa lihtsalt korrutasid selle A-ga, läheksid sa otse

sealt sinna.

Käib kah!

Nüüd, me pole ikkagi saanud seda

Pealtkuulamissüsteem vorm.

Seega proovime seda teha.

Mul on ruum otsa saanud, ma teen

selle üles.

Lähem ülespoole.

Mida ma tahan teha, on, ma jätan kolmanda rea samaks

0,0,1.

Asendan teise rea teise rea miinus 2 korda

kolmas rida.

Seega, me saame 0, me saame 1 miinus 2, korda 0 ja me

saame 2 miinus 2 korda 1.

See on 0.

Asendame esimese rea esimese rea ja

kolmanda rea vahega.

See on 1 miinus 0, see on 1.

0 miinus 0 on 0.

1 miinus 1 on 0, niimoodi.

Kirjutame, mis meie funtksioon oli.

Nimetame sellle T3-ks.

Ma teen selle lilaga.

T3 on funktsioon vektorist x--las ma kirjutan

selle nii--mingist vektroist x1,x2,x3.

Mida me tegime?

Me asendasime esimese rea esimese rea ja kolmanda rea vahega,

x1 miinus x3.

Me asendasime teise rea teise rea ja

kahekordse kolmanda rea vahega.

Seega, see on x2 miinus 2 korda x3.

Kolmas rida jäi samaks.

Ilmselgelt, seda saab samuti esitata.

T3 x-ist võib olla võrdne mingi funktsiooni maatriksiga,

S3 korda x.

Seega, see funktsioon, kui sa korrutad

seda iga veeruga, see on võrdne korrutades seda siin

selle funktsiooni maatriksiga, mida me veel leidnud pole.

Me saame selle kirjutada.

See on võrdne S3 korda see maatriks siin,

mis on S2,S1,A.

Ja mis meil siin on?

Meil on ühikmaatriks.

Me öelda vähendatud rea Pealtkuulamissüsteem kujul.

Meil on ühikmaatriks.

Teame juba alates eelmise videod vähendatud rea Pealtkuulamissüsteem

midagi on ühikmaatriks.

Siis on meil tegmist pööratava funktsiooniga, või

või pööratav maatriks.

Sest see

ümberkujundamine.

Nimetame seda teisendust, ma ei tea

kas ma juba kasutasin T-d?

Let's just kutsuvad seda Tnaught meie ümberkujundamise suhtes

Mõned vektor-x, mis võivad olla võrdne Ax.

Seega me teame, et see on pööratav.

Me öelda vähendatud rea Pealtkuulamissüsteem kujul.

Me paneme selle funktsiooni maatriksi

vähendatud rea Pealtkuulamissüsteem vorm.

Ja meil on ühikmaatriks.

See ütleb meile, et see on pööratav.

Kuid midagi isegi huvitavamat juhtus.

Me jõudsime siia sooritades mõned rea operatsioonid.

Ja need rea operatsioonid olid täiesti võrdelised

korrutamisega seda siin sellega

mis meil oli originaalselt funnktsioon maatriksist ,

funktsioonide seeriad maatriksitest, mis esindavad meie reidade operatsioone.

Ja kui me kõik selle ära olem korrutanud, see oli võrdne

ühikmaatriksiga.

Nüüd, viimased videos me ütlesime, et vastandmaatriks,

kui see on Tnaught, Tnaughti vastand võiks olla esitatud---

see on samuti lineaarvõrrand-- seeda saab esitada

kui mõne vastandmaatriksina, mille me just nimetasime A

vastandiks korda x.

Me nägime, et vastand fuktsiooni maatriks korda

meie funktsiooni maatriks on võrdne ühikmaatriksiga.

Me nägie seda eelmine kord.

Me tõestasime seda teile.

Nüüd, siin on midagi huvitavat.

Meil on mitmeid maatriksi tulemusi korda see siin, korda

see, mis samuti andsid meile ühikmaatriksi.

See siin, selle seeria maatriksi tulemused,

peab samuti olema saba asi nagu mu vastandmaatriks, mu

vastandfunktsiooni maatriksina.

Ja me saaksime isegi seda arvutada, kui me tahaksime.

Just nii nagu me tegime, me tegelikult leidsime mis S1 oli.

Me tegime seda siin all.

Me saaksime teha sarnast operatsiooni, et leida

mis S2 oli, mis S3 oli, ja siis need kõik läbi korrutada.

Me ole loonud A vastandi.

Ma arvan, siin on veel huvitavat, mida me sellega teha saame,

selle asemel, mis siis, kui me rakendaksime need samad

maatriksi tulemused ühikmaatriksile.

Terve aeg, kui me tgime

oma esimese rea operatsioone.

Niisiis, me oleme siin, meil on matriks A.

Ütleme, et meil on ühikmaatriks siin paremal.

Nimetame seda I-ks, siin.

Esmene lineaarfunktsioon, mille me tegime--- me nägime

seda asja siin---et see oli võrdeline

korrutamisega S1 korda A.

Esmese rea hulkade operatsioonid olid need.

See tõi meid siiani.

Nüüd, kui me sooritame sama rea operatsioone

ühikmaatriksil, mida me siis saame?

Me saame maatiksi S1.

S1 korda ühikmaatriks on lihtsalt S1.

Kõik veerud korda ühikmaatriks korda

algsed baasveerud, see saab olema võrdne iseendaga.

Nii jääbki ainult S1 alles.

See on S1 korda I.

See on lihtsalt S1.

Heaküll.

Nüüd, sa oled sooritanud oma järgmise rea operatsiooni ja lõpuks

said sa S2 korda S1 korda A.

Kui sa sooritad samad rea operatsioonid sellel asjal

siin, mille sa siis saad?

Sul on siis S2 korda S1, korda ühikmaatriks.

Nüüd, meie viimas rea operatsioonid,mida me esitasime

maatriksi tulemusena S3.

Me korrutame seda funktsioonimaatriksiga S3.

Kui sa seda tegid, siis pidid saama S3, S2, S1 A.

Kuid kui sa sooritad täpselt samu rea operatsioone

sellest asjast siin, siis sa saad S3, S2, S1, korda

ühikmaatriks.

Nüüd, kui sa seda tegid, kui sa sooritasid need rea

operatsioonid siin, see viis su ühikmaatriksi leidmisele.

Nüüd, kuhu need sind viivad?

Kui sa sooritad täpselt samu rea operatsioone, mida sa

sooritasid A-l, et saada ühikmaatriksini, kui sa

sooritasid neid samu rea operatsioone ühikmaatriksil.

mida sa saad?

Sa saad selle siin.

Midagi korda see ühikmaatriks on võrdne

iseendaga.

Mis on siis see siin?

See on A vastand.

Seega me oleme loonud viisi, kuidas leida

funktsiooni maatriksi vastand.

Mis me saame teha--ütleme, et mul on mingi

funktsiooni maatriks A.

Ma saan luua liidetud maatriksi, kuhu

ma panen ühikmaatriksi sinna, täpselt nii, ja siis

sooritan hulga rea operatsioone.

Ja neid saab esitada kui maatriksi tulemustena.

Kuid sa pead neid operatsioone sooritama kõigil nendel.

Sooritad samu operatsioone nagu A-l

nagu sa teeksid ühikmaatriksil.

Selleks ajaks, kui sul on A ühikmaatriksina,

vähendatud rea Pealtkuulamissüsteem vorm.

Selleks ajaks, kui A on selline, su ühikmaatiksil

peab sooritama samu operatsioone, siis see

muundub A vastandiks.

See on väga kasulik tööriist, leidmaks vastandeid.

Nüüd, ma olen seda teoreetiliselt selatanud,

miks see peaks töötama.

Järgmises videos ma näitan kuidas seda lahendada.

Võib-olla teen ma seda näite põhjal, millega ma alustasin

selles videos.