Mul on selle maatriksi siin, et ma tahan, et vähendatud rea kasutusele Pealtkuulamissüsteem vorm. Ja me oleme seda korduvalt teinud. Lihtsalt teeme läbi mitmeid operatsioone veergudel. Ma tahan selles videos näidata, et need operatrioonid on ekvivalentsed lineaarfunktsionidega veergu vektoritest A. Las ma teen ühe näite. Nii et kui me lihtsalt taha panna a vähendatud rea Pealtkuulamissüsteem vormile esimese asjana , mida me tegema peame on vaja välja nullida need sisendid siin---las ma teen selle siia--jätame esimese arvu samaks. Iga veeru vektorite puhul, jätame esimese arvu samaks. Niisis, needon 1,miinus 1, miinus 1. Las ma samaaegselt loon oma funktsiooni. Need operatsioonid veergudel, mida ma hakkan läbi viima on võrdelised lineaarfunktsiooni rakendamisega veeru vekorile. Seega, see on funktsioon, mis võtab mingi veeru vektori a1, a2, ja a3. See võtab iga nendest ja siis teeb nendega midagi, teeb midagi lineaarselt. Need saavad olema lineaarsed. Niisiis, me jätame esimese sisendi samaks, ceeru vektoris. Seega, see on lihtsalt a1. See on siin joon. See on a1. Mida me saame teha, et jõuda vähendatud rea Pealtkuulamissüsteem vormi? Me tahame seda teha võrdseks nulliga. Seega me tahame asendada teise veeru teise veeru plus esimese veeruga, kuna siis saaksime tulemuseks 0. Las ma kirjutan selle oma funktsiooni. Ma asendad teise rea tesie rea ja esimese rea summaga. Las ma kirjutan selle siia. Miinus 1 pluss 1 on 0. 2 pluss miinus 1 on 1. 3 pluss miinus 1 on 2. Nüüd, me tahame ka siia nulli. Niisis, ma asendan kolmanda rea kolmanda rea ja esimese rea vahega. Seega ma asendan kolmanda rea kolmanda rea ja esimese rea vahega. Seega, 1 miinus 1 on 0. 1 miinus miinus 1 on 2. 4 miinus miinus 1 on 5, lihtsalt nii. Nüüd näed, et see oli lihtsalt lineaarfunktsioon. Igat lineaarfuntksiooni saab esitada maatriksi vektori tulemusena. Näiteks, see funktsioon, ma võiksin esitadaa seda. Et leida selle funktsiooni maatriks, kui ma ütlen, et T x-ist on võrdne, ma ei tea, mingi maatriks S korda x. Me juba jasutasime maatriks A-d. Seega, peab kasutama mingisugust teist tähte. Kuidas me leiame S-i? Rakendame funktsiooni kõigile veeru vekotritele või alg alusvektoritele ühikmaatriksis. Teeme seda. Ühikmaatriks---joonistan selle väikeselt ---ühikmaatriks näeb välja selline 1,0,0,0, 1,0,0,0,1. Selline on ühikmaatriks. Et leida maatriksi funktsioon, me rakendame seda iga veeru vektorile sellest. Mida me saame? Teen natukene suuremalt. Me rakendame seda igale veeru vektorile. Aga me näeme, et esimene rinda jääb alati samaks. Seega esimene rida jääb alati samaks. Seega 1,0,0. Ma lihtsalt rakendan seda samaaegselt igale veeru vektorile, vaata, kui muudad ümber iga veeru vektori, nende esimene sisend jääb samaks. Teine sisend läheb teise pluss esimese summaks. Seega 0 pluss 1 on1. 1 pluss 0 on 1. 0 pluss 0 on 0. Kolmas sisend muutub kolmanda ja esimese sisendi vaheks. Seega 0 miinus 1 on miinus 1. 0 miinus 0 on 0. 1 miinus 0 on 1. Märka, kui ma seda muudatust rakendan veeru vektoritele ühikmaatriksis, siis ma lihtsalt sooritasin samad veeru operatsioonid mida ma seal ülevalgi tegin. Ma sooritasin täpselt samad operatsioonid sellel ühikmaatriksil. Kuid me teame, et see on tegelikult maatriksi funktsioon, kui me korrutame iga veeru vektori siis saame samad veeru vektorid. Seda saab vaadata nii. See siin on võrdne S-iga. See on meie funktsiooni maatriks. Kui me loome uue maatriksi, mille veerud on S korda selle veeru vektor, S korda 1, miinus 1,1. Ja siis järgmine veerg on S korda---ma tahtsin seda selle värviga teha---S korda see siin, miinus 1,2,1. Ja siis kolmas veerg saab olema S korda see kolmas veeru vektor, miinus 1,3,4. Nüüd me teame, et me rakendame seda muutust, see on S, korda iga veeru vektor. See on maatriksi kujutus sellest funtksioonist. See siin muutub selleks siin. Las ma teen selle siia. Ma tahtsin näidata asju, mis mul on ka siin üleval. No, ma joonistal lihtsalt noole. See on tõenäolislet lihtsaim asi. See maatriks siinmuutub selleks maatriksiks siin. Teistmoodi, see siin on ekvivalentne millega? Millega see on ekvivalentne? Kui sa võtad maatriksi ja korrutad selle iga veeru vekotriga, kui sa muudad iga veeru vektorit selle maatriksi võrra, se on definitsioon maatriksi maatriksi tulemusest. Seeon võrdne meie maatriksiga S--ma teen roosas---see on võrdne meie maatriksiga S, mis on 1,0,0,1,1,0, miinus 1,0,1, korda meie maatriks A , korda 1, miinus 1,1, miinus 1,2,1, miinus 1,3,4. Las ma seletan. See on meie funktsiooni maatriks S. See on meie maatriks A. Ja kui sa teed nii, siis sa saad selle siin. Ma lihtsalt kopeerin ja kleebin. Las ma kleebin selle. Sa saad selle täpselt niimoodi. Ma teen seda selleks, et meenutada, et kui me sooritame ükskõik millise nendest veeru operatsioonidest, siis me lihtsalt korrutame. Me sooritame lineaarfunktsiooni igal veerul siin. Ja seeon täielikult ekvivalentne korrutamisega seda siin mingi maatriksi S-iga. Selle juhul, me nägime vaeva leidmaks mis see maatriks S on. Kuid iga veeru operatsioon, millega me oleme tegelenud, neid saab alati esindada kui maatriksite korrutisena. See viib väga huvitava ideeni. Kui paned midagi vähendatud rea Pealtkuulamissüsteem kujul, laske las ma teen selle siia. Tegelikult, lõpetame alustatu. Let's pannakse see tⁿⁿp vähendatud rea Pealtkuulamissüsteem vormi. Las ma nimetan selle S-iks. Ja selle S1-ks. See siin on võrdne esimene S1 korda A. Me juba näitasime, et see on tõene. Sooritame ühe teise muudatuse. Loome uue hulga operatsioone, mis aitavad meil saada vähendatud rea Pealtkuulamissüsteem vorm. Jötame keskmise rea samaks, 0, 1, 2. Ja asendame esimese rea esimes rea ja teise rea summaga, sest ma tahan seda nulliks saada. Seega 1 pluss 0 on 1. Las ma teen teise värviga. miinus 1 pluss 1 on 0. Miinus 1 pluss 2 on 1. Ma tahan nüüd asendada kolmanda rea kolmanda rea ja kahe kordse esimese reaga. Seega see on 0, miinus 2, korda 0, see on 0. 2 miinus 2, korda 1 on 0. 5 miinus 2, korda 2, on 1. 5 miinus 4 on 1. Me oleme peaaegu lõpus. Me peame need ära nullima. Vaatame, kui me saame seda vähendatud rea Pealtkuulamissüsteem vormile. Mis see siis on? Ma lihtsalt sooritasin ühe teise lineaarfunktsiooni. Tegelikult, las ma kirjutan selle. Ütleme, et see oli meie esimene lineaarfunktsioon, mida ma praegu tegin, oli teise lineaarfunktsiooni loomin funktsiooni T2 loomine. Ma kirjutan teistmoodi, kui mul on vektor , mingi veeru vekor x1,x2,x3. Mida ma just tegin? Mis oli see muutus, mille ma just läbi viistin? Nüüd, mu uus vektor, ma tegin ülemise rea võrdseks ülemise rea ja teise rea summaga. Seega, see on x1 pluss x2. Jätsin teise rea samaks. Ja siis kolmas rida, selle ma asendasin kolmanda rea ja teise rea kahekordse vahega. See oligi see lineaarfunktsioon, mille me just tegime. Ja me võime seda lineaarfunktiooni esitada kui me võime öelda T2 rakendatuna mingile vektorile x on võrdne mingi funktsiooniga vektor S2, korda meie vektor x. Sest, kui me rakendame seda funktsiooni maatriksit igale veerule, siis see on võrdne korrutades selle selle funktsiooni maatriksiga. Võib öelda, et see siin on ---me pole veel välja mõlenud mis see on, aga ma arvan, et te saate aru--- se maatriks siin saab olema võrdne sellega siin. See on võrdne S2 korda see siin. Mis see siin on? No, see on võrdne S1-ga korda A. See on S2 korda S1, korda A. Heaküll. Otse siia oleks saanud, kui oleksime lihtsalt korrutanud S2-e ja S1-e See võib olla mingi muu maatriks. Ki sa lihtsalt korrutasid selle A-ga, läheksid sa otse sealt sinna. Käib kah! Nüüd, me pole ikkagi saanud seda Pealtkuulamissüsteem vorm. Seega proovime seda teha. Mul on ruum otsa saanud, ma teen selle üles. Lähem ülespoole. Mida ma tahan teha, on, ma jätan kolmanda rea samaks 0,0,1. Asendan teise rea teise rea miinus 2 korda kolmas rida. Seega, me saame 0, me saame 1 miinus 2, korda 0 ja me saame 2 miinus 2 korda 1. See on 0. Asendame esimese rea esimese rea ja kolmanda rea vahega. See on 1 miinus 0, see on 1. 0 miinus 0 on 0. 1 miinus 1 on 0, niimoodi. Kirjutame, mis meie funtksioon oli. Nimetame sellle T3-ks. Ma teen selle lilaga. T3 on funktsioon vektorist x--las ma kirjutan selle nii--mingist vektroist x1,x2,x3. Mida me tegime? Me asendasime esimese rea esimese rea ja kolmanda rea vahega, x1 miinus x3. Me asendasime teise rea teise rea ja kahekordse kolmanda rea vahega. Seega, see on x2 miinus 2 korda x3. Kolmas rida jäi samaks. Ilmselgelt, seda saab samuti esitata. T3 x-ist võib olla võrdne mingi funktsiooni maatriksiga, S3 korda x. Seega, see funktsioon, kui sa korrutad seda iga veeruga, see on võrdne korrutades seda siin selle funktsiooni maatriksiga, mida me veel leidnud pole. Me saame selle kirjutada. See on võrdne S3 korda see maatriks siin, mis on S2,S1,A. Ja mis meil siin on? Meil on ühikmaatriks. Me öelda vähendatud rea Pealtkuulamissüsteem kujul. Meil on ühikmaatriks. Teame juba alates eelmise videod vähendatud rea Pealtkuulamissüsteem midagi on ühikmaatriks. Siis on meil tegmist pööratava funktsiooniga, või või pööratav maatriks. Sest see ümberkujundamine. Nimetame seda teisendust, ma ei tea kas ma juba kasutasin T-d? Let's just kutsuvad seda Tnaught meie ümberkujundamise suhtes Mõned vektor-x, mis võivad olla võrdne Ax. Seega me teame, et see on pööratav. Me öelda vähendatud rea Pealtkuulamissüsteem kujul. Me paneme selle funktsiooni maatriksi vähendatud rea Pealtkuulamissüsteem vorm. Ja meil on ühikmaatriks. See ütleb meile, et see on pööratav. Kuid midagi isegi huvitavamat juhtus. Me jõudsime siia sooritades mõned rea operatsioonid. Ja need rea operatsioonid olid täiesti võrdelised korrutamisega seda siin sellega mis meil oli originaalselt funnktsioon maatriksist , funktsioonide seeriad maatriksitest, mis esindavad meie reidade operatsioone. Ja kui me kõik selle ära olem korrutanud, see oli võrdne ühikmaatriksiga. Nüüd, viimased videos me ütlesime, et vastandmaatriks, kui see on Tnaught, Tnaughti vastand võiks olla esitatud--- see on samuti lineaarvõrrand-- seeda saab esitada kui mõne vastandmaatriksina, mille me just nimetasime A vastandiks korda x. Me nägime, et vastand fuktsiooni maatriks korda meie funktsiooni maatriks on võrdne ühikmaatriksiga. Me nägie seda eelmine kord. Me tõestasime seda teile. Nüüd, siin on midagi huvitavat. Meil on mitmeid maatriksi tulemusi korda see siin, korda see, mis samuti andsid meile ühikmaatriksi. See siin, selle seeria maatriksi tulemused, peab samuti olema saba asi nagu mu vastandmaatriks, mu vastandfunktsiooni maatriksina. Ja me saaksime isegi seda arvutada, kui me tahaksime. Just nii nagu me tegime, me tegelikult leidsime mis S1 oli. Me tegime seda siin all. Me saaksime teha sarnast operatsiooni, et leida mis S2 oli, mis S3 oli, ja siis need kõik läbi korrutada. Me ole loonud A vastandi. Ma arvan, siin on veel huvitavat, mida me sellega teha saame, selle asemel, mis siis, kui me rakendaksime need samad maatriksi tulemused ühikmaatriksile. Terve aeg, kui me tgime oma esimese rea operatsioone. Niisiis, me oleme siin, meil on matriks A. Ütleme, et meil on ühikmaatriks siin paremal. Nimetame seda I-ks, siin. Esmene lineaarfunktsioon, mille me tegime--- me nägime seda asja siin---et see oli võrdeline korrutamisega S1 korda A. Esmese rea hulkade operatsioonid olid need. See tõi meid siiani. Nüüd, kui me sooritame sama rea operatsioone ühikmaatriksil, mida me siis saame? Me saame maatiksi S1. S1 korda ühikmaatriks on lihtsalt S1. Kõik veerud korda ühikmaatriks korda algsed baasveerud, see saab olema võrdne iseendaga. Nii jääbki ainult S1 alles. See on S1 korda I. See on lihtsalt S1. Heaküll. Nüüd, sa oled sooritanud oma järgmise rea operatsiooni ja lõpuks said sa S2 korda S1 korda A. Kui sa sooritad samad rea operatsioonid sellel asjal siin, mille sa siis saad? Sul on siis S2 korda S1, korda ühikmaatriks. Nüüd, meie viimas rea operatsioonid,mida me esitasime maatriksi tulemusena S3. Me korrutame seda funktsioonimaatriksiga S3. Kui sa seda tegid, siis pidid saama S3, S2, S1 A. Kuid kui sa sooritad täpselt samu rea operatsioone sellest asjast siin, siis sa saad S3, S2, S1, korda ühikmaatriks. Nüüd, kui sa seda tegid, kui sa sooritasid need rea operatsioonid siin, see viis su ühikmaatriksi leidmisele. Nüüd, kuhu need sind viivad? Kui sa sooritad täpselt samu rea operatsioone, mida sa sooritasid A-l, et saada ühikmaatriksini, kui sa sooritasid neid samu rea operatsioone ühikmaatriksil. mida sa saad? Sa saad selle siin. Midagi korda see ühikmaatriks on võrdne iseendaga. Mis on siis see siin? See on A vastand. Seega me oleme loonud viisi, kuidas leida funktsiooni maatriksi vastand. Mis me saame teha--ütleme, et mul on mingi funktsiooni maatriks A. Ma saan luua liidetud maatriksi, kuhu ma panen ühikmaatriksi sinna, täpselt nii, ja siis sooritan hulga rea operatsioone. Ja neid saab esitada kui maatriksi tulemustena. Kuid sa pead neid operatsioone sooritama kõigil nendel. Sooritad samu operatsioone nagu A-l nagu sa teeksid ühikmaatriksil. Selleks ajaks, kui sul on A ühikmaatriksina, vähendatud rea Pealtkuulamissüsteem vorm. Selleks ajaks, kui A on selline, su ühikmaatiksil peab sooritama samu operatsioone, siis see muundub A vastandiks. See on väga kasulik tööriist, leidmaks vastandeid. Nüüd, ma olen seda teoreetiliselt selatanud, miks see peaks töötama. Järgmises videos ma näitan kuidas seda lahendada. Võib-olla teen ma seda näite põhjal, millega ma alustasin selles videos.