Pythagorean Theorem Proof Using Similarity

Den her trekant er retvinklet.

Den er retvinklet,

fordi den har en vinkel på 90 grader.

Trekantens sider har flere forskellige længder.

Normalt siger vi,

at den længste side er siden

modsat vinklen på 90 grader.

Vi kalder den hypotenusen.

Det er et svært ord for noget meget simpelt.

Det er den længste side i en retvinklet trekant.

Det er siden modsat den rette vinkel.

Det ord er godt at kende.

Hypotenusen er altid

den længste side i en retvinklet trekant.

Vi skal i den her video bevise et meget berømt forhold.

.

Det er et forhold mellem

sidelængderne i retvinklede trekanter.

Længden AC

kalder vi for a.

Længden BC kalder vi for b.

Vi bruger store bogstaver til punkter og små til sider.

Hypotenusen er længden af AB,

så den kalder vi c.

Lad os se, om vi kan finde et forhold mellem a, b og c.

Først tegner vi et nyt

linjestykke mellem c og hypotenusen.

Vi tegner det, så de skærer i en ret vinkel.

Vi kalder det her punkt

for D.

Hvordan kan vi gøre det?

Vi kan rotere hele trekanten sådan her.

Det, vi skal gøre nu, giver en generel idé om,

hvordan vi kan lave sådan et punkt.

Nu er den roteret,

så hypotenusen er nederst.

Det her er B, og her er A.

Vi har drejet den hele vejen rundt.

Det her er C.

Hvis vi tegner en linje helt lodret fra C,

rammer den hypotenusen i en ret vinkel.

Nu har vi fået linjestykke CD.

Punktet D er her.

Grunden til, vi gjorde det, er,

at vi nu kan finde nogle forhold mellem ligedannede trekanter.

Vi har nu 3 trekanter. Trekant ADC,

trekant DBC og den store, oprindelige trekant.

Forhåbentlig kan vi finde et forhold mellem dem.

Først viser vi, at ADC er ligedannet med den store.

De har begge en ret vinkel.

ADC's rette vinkel er her.

Den her vinkel er 90 grader,

og det er den her også.

De er supplementære. De giver sammenlagt 180 grader.

De har altså begge en ret vinkel.

Der er både en ret vinkel i den lille

og i den store.

De deler også den her vinkel.

Vinkel DAC eller BAC.

.

Vi starter med den lille trekant.

Trekant ADC.

Det her er trekant ADC.

.

Vi snakker om den her vinkel.

Den rette vinkel

er i den store trekant her.

Trekant ADC er den her.

.

Vi startede i den blå vinkel A

og gik videre til den rette vinkel.

.

Trekant ADC er ligedannet med

trekant ACB.

Da de er ligedannede,

kan vi opstille et forhold mellem sidelængderne.

.

I ligedannede trekanter

er forholdet mellem ensliggende sider

konstant.

.

Hypotenusen i den store trekant

er AB.

AC over AB er det samme som AD,

som er et af benene.

Vi kigger på ensliggende punkter

i ligedannede trekanter.

Det her er AD over AC.

.

Side AD er mellem den blå vinkel

og den røde vinkel.

.

I den store trekant er side AC mellem den blå vinkel

og den røde vinkel.

Begge de her er altså fra den store trekant.

Det her er de ensliggende sider i den lille trekant.

Vi kan se på dem

og på den måde

finde de ensliggende punkter.

AC svarer til AB i den store trekant.

.

AC var det,

vi kaldte a i starten.

.

Vi har ikke noget navn for AD.

AB er c her.

Lad os kalde AD

for d.

d er altså den her del,

og c er den her del.

Vi kalder DB for e.

.

AD kalder vi for d.

A over C er lig med D over A.

a gange a er a i anden.

Det er lig med c gange d, som er cd.

Det er interessant.

Hvad kan vi gøre med den anden trekant her?

.

Den har en ret vinkel, og den store har en ret vinkel.

De har også den her vinkel tilfælles.

Vi kan altså konkludere,

at de 2 trekanter er ligedannede.

Vi har nu kigget

på alle vinklerne.

.

Nu kigger vi på den store trekant.

Vi starter i den lyserøde vinkel B.

Den har også den rette vinkel CA.

.

Nu har vi gennemgået vinklerne.

.

Nu kan vi opstille et forhold.

Vi starter med forholdet

BC over BA.

.

Igen kigger vi på begge hypotenuser.

BC over BA er lig med BD.

Det er et af benene.

.

Det er lig med BD over BC.

BC er det samme som b.

.

BA er det samme som c.

BD kaldte vi for e.

.

Vi kan gange igen.

Vi ganger

begge sider med begge nævnere.

b gange b er lig med ce.

Nu kan vi gøre noget interessant.

Vi kan lægge de 2 resultater sammen.

.

b i anden er lig med ce.

Vi lægger de venstre sider sammen.

Vi får, a i anden plus b i anden er lig med

cd plus ce.

Der er et c i begge led, så det kan vi stille uden for parentes.

Vi stiller c uden for parentes.

Det er lig med c gange d plus e.

d plus e står i parentes.

Hvad er d plus e?

d er den her længde.

e er den her længde.

d plus e er altså lig med c.

Det her er lig med c.

c gange c er det samme som c i anden.

Vi har nu et interessant sideforhold.

a i anden plus b i anden er lig med c i anden.

.

Lad os lige skrive det ned igen.

.

a i anden

plus b i anden er lig med c i anden.

Det her er en vilkårlig retvinklet trekant.

Det her gælder for alle retvinklede trekanter.

Summen af kvadraterne af begge ben

er lig med kvadratet af hypotenusen.

Det er en af de mest berømte sætninger

inden for matematikken.

Den hedder Pythagoras læresætning.

.

Pythagoras læresætning.

Det er en grundlæggende ting

inden for mange områder af geometri.

Især inden for trigonometri kan vi bruge den til en hel masse.

Hvis vi kender 2 af siderne i en retvinklet trekant,

kan vi nu altid finde den tredje side.