0:00:00.000,0:00:04.420
Den her trekant er retvinklet.

0:00:04.430,0:00:07.130
Den er retvinklet,

0:00:07.140,0:00:09.000
fordi den har en vinkel på 90 grader.

0:00:09.010,0:00:12.730
Trekantens sider har flere forskellige længder.

0:00:12.740,0:00:15.250
Normalt siger vi,

0:00:15.260,0:00:16.730
at den længste side er siden

0:00:16.740,0:00:18.740
modsat vinklen på 90 grader.

0:00:18.750,0:00:20.370
Vi kalder den hypotenusen.

0:00:20.380,0:00:24.120
Det er et svært ord for noget meget simpelt.

0:00:24.130,0:00:25.820
Det er den længste side i en retvinklet trekant.

0:00:25.830,0:00:27.770
Det er siden modsat den rette vinkel.

0:00:27.780,0:00:30.400
Det ord er godt at kende.

0:00:30.410,0:00:32.420
Hypotenusen er altid

0:00:32.430,0:00:36.080
den længste side i en retvinklet trekant.

0:00:36.090,0:00:40.690
Vi skal i den her video bevise et meget berømt forhold.

0:00:40.700,0:00:43.950
.

0:00:43.960,0:00:47.470
Det er et forhold mellem

0:00:47.480,0:00:48.620
sidelængderne i retvinklede trekanter.

0:00:48.630,0:00:53.670
Længden AC

0:00:53.680,0:00:55.830
kalder vi for a.

0:00:55.840,0:01:00.630
Længden BC kalder vi for b.

0:01:00.640,0:01:03.320
Vi bruger store bogstaver til punkter og små til sider.

0:01:03.330,0:01:05.740
Hypotenusen er længden af AB,

0:01:05.750,0:01:08.170
så den kalder vi c.

0:01:08.180,0:01:12.330
Lad os se, om vi kan finde et forhold mellem a, b og c.

0:01:12.340,0:01:15.590
Først tegner vi et nyt

0:01:15.600,0:01:19.240
linjestykke mellem c og hypotenusen.

0:01:19.250,0:01:24.020
Vi tegner det, så de skærer i en ret vinkel.

0:01:24.030,0:01:26.790
Vi kalder det her punkt

0:01:26.800,0:01:28.280
for D.

0:01:28.290,0:01:31.100
Hvordan kan vi gøre det?

0:01:31.110,0:01:34.180
Vi kan rotere hele trekanten sådan her.

0:01:34.190,0:01:36.970
Det, vi skal gøre nu, giver en generel idé om,

0:01:36.980,0:01:39.520
hvordan vi kan lave sådan et punkt.

0:01:39.530,0:01:42.880
Nu er den roteret,

0:01:42.890,0:01:44.320
så hypotenusen er nederst.

0:01:44.330,0:01:48.500
Det her er B, og her er A.

0:01:48.510,0:01:50.850
Vi har drejet den hele vejen rundt.

0:01:50.860,0:01:54.270
Det her er C.

0:01:54.280,0:01:57.780
Hvis vi tegner en linje helt lodret fra C,

0:01:57.790,0:01:59.230
rammer den hypotenusen i en ret vinkel.

0:01:59.240,0:02:02.330
Nu har vi fået linjestykke CD.

0:02:02.340,0:02:05.290
Punktet D er her.

0:02:05.300,0:02:08.400
Grunden til, vi gjorde det, er,

0:02:08.410,0:02:10.720
at vi nu kan finde nogle forhold mellem ligedannede trekanter.

0:02:10.730,0:02:14.000
Vi har nu 3 trekanter. Trekant ADC,

0:02:14.010,0:02:17.850
trekant DBC og den store, oprindelige trekant.

0:02:17.860,0:02:21.500
Forhåbentlig kan vi finde et forhold mellem dem.

0:02:21.510,0:02:27.690
Først viser vi, at ADC er ligedannet med den store.

0:02:27.700,0:02:29.470
De har begge en ret vinkel.

0:02:29.480,0:02:32.070
ADC's rette vinkel er her.

0:02:32.080,0:02:33.920
Den her vinkel er 90 grader,

0:02:33.930,0:02:35.750
og det er den her også.

0:02:35.760,0:02:38.160
De er supplementære. De giver sammenlagt 180 grader.

0:02:38.170,0:02:40.650
De har altså begge en ret vinkel.

0:02:40.660,0:02:42.050
Der er både en ret vinkel i den lille

0:02:42.060,0:02:44.860
og i den store.

0:02:44.870,0:02:49.080
De deler også den her vinkel.

0:02:49.090,0:02:53.250
Vinkel DAC eller BAC.

0:02:53.260,0:02:55.850
.

0:02:55.860,0:02:58.370
Vi starter med den lille trekant.

0:02:58.380,0:03:02.410
Trekant ADC.

0:03:02.420,0:03:05.270
Det her er trekant ADC.

0:03:05.280,0:03:07.620
.

0:03:07.630,0:03:10.350
Vi snakker om den her vinkel.

0:03:10.360,0:03:14.070
Den rette vinkel

0:03:14.080,0:03:15.480
er i den store trekant her.

0:03:15.490,0:03:20.440
Trekant ADC er den her.

0:03:20.450,0:03:24.200
.

0:03:24.210,0:03:27.610
Vi startede i den blå vinkel A

0:03:27.620,0:03:29.580
og gik videre til den rette vinkel.

0:03:29.590,0:03:31.920
.

0:03:31.930,0:03:33.720
Trekant ADC er ligedannet med

0:03:33.730,0:03:36.530
trekant ACB.

0:03:36.540,0:03:40.160
Da de er ligedannede,

0:03:40.170,0:03:42.000
kan vi opstille et forhold mellem sidelængderne.

0:03:42.010,0:03:44.730
.

0:03:44.740,0:03:47.450
I ligedannede trekanter

0:03:47.460,0:03:49.070
er forholdet mellem ensliggende sider

0:03:49.080,0:03:50.050
konstant.

0:03:50.060,0:03:54.500
.

0:03:54.510,0:04:00.580
Hypotenusen i den store trekant

0:04:00.590,0:04:01.720
er AB.

0:04:01.730,0:04:10.370
AC over AB er det samme som AD,

0:04:10.380,0:04:11.570
som er et af benene.

0:04:11.580,0:04:17.110
Vi kigger på ensliggende punkter

0:04:17.120,0:04:18.320
i ligedannede trekanter.

0:04:18.330,0:04:23.740
Det her er AD over AC.

0:04:23.750,0:04:25.720
.

0:04:25.730,0:04:30.040
Side AD er mellem den blå vinkel

0:04:30.050,0:04:32.570
og den røde vinkel.

0:04:32.580,0:04:34.540
.

0:04:34.550,0:04:38.130
I den store trekant er side AC mellem den blå vinkel

0:04:38.140,0:04:39.190
og den røde vinkel.

0:04:39.200,0:04:41.100
Begge de her er altså fra den store trekant.

0:04:41.110,0:04:43.240
Det her er de ensliggende sider i den lille trekant.

0:04:43.250,0:04:46.190
Vi kan se på dem

0:04:46.200,0:04:50.380
og på den måde

0:04:50.390,0:04:51.990
finde de ensliggende punkter.

0:04:52.000,0:04:56.150
AC svarer til AB i den store trekant.

0:04:56.160,0:05:01.950
.

0:05:01.960,0:05:06.690
AC var det,

0:05:06.700,0:05:08.640
vi kaldte a i starten.

0:05:08.650,0:05:10.720
.

0:05:10.730,0:05:15.520
Vi har ikke noget navn for AD.

0:05:15.530,0:05:20.330
AB er c her.

0:05:20.340,0:05:24.170
Lad os kalde AD

0:05:24.180,0:05:26.580
for d.

0:05:26.590,0:05:30.200
d er altså den her del,

0:05:30.210,0:05:32.940
og c er den her del.

0:05:32.950,0:05:35.920
Vi kalder DB for e.

0:05:35.930,0:05:38.300
.

0:05:38.310,0:05:41.350
AD kalder vi for d.

0:05:41.360,0:05:44.160
A over C er lig med D over A.

0:05:44.170,0:05:48.090
a gange a er a i anden.

0:05:48.100,0:05:51.140
Det er lig med c gange d, som er cd.

0:05:51.150,0:05:53.050
Det er interessant.

0:05:53.060,0:05:55.430
Hvad kan vi gøre med den anden trekant her?

0:05:55.440,0:05:57.780
.

0:05:57.790,0:06:00.720
Den har en ret vinkel, og den store har en ret vinkel.

0:06:00.730,0:06:03.990
De har også den her vinkel tilfælles.

0:06:04.000,0:06:07.180
Vi kan altså konkludere,

0:06:07.190,0:06:08.180
at de 2 trekanter er ligedannede.

0:06:08.190,0:06:12.250
Vi har nu kigget

0:06:12.260,0:06:13.120
på alle vinklerne.

0:06:13.130,0:06:20.920
.

0:06:20.930,0:06:22.560
Nu kigger vi på den store trekant.

0:06:22.570,0:06:24.540
Vi starter i den lyserøde vinkel B.

0:06:24.550,0:06:27.480
Den har også den rette vinkel CA.

0:06:27.490,0:06:31.040
.

0:06:31.050,0:06:35.620
Nu har vi gennemgået vinklerne.

0:06:35.630,0:06:38.200
.

0:06:38.210,0:06:40.900
Nu kan vi opstille et forhold.

0:06:40.910,0:06:44.690
Vi starter med forholdet

0:06:44.700,0:06:47.470
BC over BA.

0:06:47.480,0:06:49.750
.

0:06:49.760,0:06:53.420
Igen kigger vi på begge hypotenuser.

0:06:53.430,0:07:00.690
BC over BA er lig med BD.

0:07:00.700,0:07:04.720
Det er et af benene.

0:07:04.730,0:07:07.110
.

0:07:07.120,0:07:14.260
Det er lig med BD over BC.

0:07:14.270,0:07:18.190
BC er det samme som b.

0:07:18.200,0:07:20.330
.

0:07:20.340,0:07:23.080
BA er det samme som c.

0:07:23.090,0:07:29.280
BD kaldte vi for e.

0:07:29.290,0:07:31.560
.

0:07:31.570,0:07:35.000
Vi kan gange igen.

0:07:35.010,0:07:38.840
Vi ganger

0:07:38.850,0:07:42.480
begge sider med begge nævnere.

0:07:42.490,0:07:46.180
b gange b er lig med ce.

0:07:46.190,0:07:50.030
Nu kan vi gøre noget interessant.

0:07:50.040,0:07:52.050
Vi kan lægge de 2 resultater sammen.

0:07:52.060,0:07:53.480
.

0:07:53.490,0:07:55.770
b i anden er lig med ce.

0:07:55.780,0:07:59.750
Vi lægger de venstre sider sammen.

0:07:59.760,0:08:08.060
Vi får, a i anden plus b i anden er lig med

0:08:08.070,0:08:12.920
cd plus ce.

0:08:12.930,0:08:16.170
Der er et c i begge led, så det kan vi stille uden for parentes.

0:08:16.180,0:08:19.810
Vi stiller c uden for parentes.

0:08:19.820,0:08:22.660
Det er lig med c gange d plus e.

0:08:22.670,0:08:29.250
d plus e står i parentes.

0:08:29.260,0:08:31.450
Hvad er d plus e?

0:08:31.460,0:08:32.870
d er den her længde.

0:08:32.880,0:08:34.260
e er den her længde.

0:08:34.270,0:08:37.070
d plus e er altså lig med c.

0:08:37.080,0:08:38.550
Det her er lig med c.

0:08:38.560,0:08:42.650
c gange c er det samme som c i anden.

0:08:42.660,0:08:45.850
Vi har nu et interessant sideforhold.

0:08:45.860,0:08:51.290
a i anden plus b i anden er lig med c i anden.

0:08:51.300,0:08:52.260
.

0:08:52.270,0:08:56.930
Lad os lige skrive det ned igen.

0:08:56.940,0:09:02.020
.

0:09:02.030,0:09:05.600
a i anden

0:09:05.610,0:09:09.310
plus b i anden er lig med c i anden.

0:09:09.320,0:09:11.560
Det her er en vilkårlig retvinklet trekant.

0:09:11.570,0:09:13.740
Det her gælder for alle retvinklede trekanter.

0:09:13.750,0:09:17.950
Summen af kvadraterne af begge ben

0:09:17.960,0:09:20.030
er lig med kvadratet af hypotenusen.

0:09:20.040,0:09:24.840
Det er en af de mest berømte sætninger

0:09:24.850,0:09:27.280
inden for matematikken.

0:09:27.290,0:09:29.970
Den hedder Pythagoras læresætning.

0:09:29.980,0:09:32.610
.

0:09:32.620,0:09:37.490
Pythagoras læresætning.

0:09:37.500,0:09:41.680
Det er en grundlæggende ting

0:09:41.690,0:09:43.440
inden for mange områder af geometri.

0:09:43.450,0:09:47.060
Især inden for trigonometri kan vi bruge den til en hel masse.

0:09:47.070,0:09:49.550
Hvis vi kender 2 af siderne i en retvinklet trekant,

0:09:49.560,0:09:51.340
kan vi nu altid finde den tredje side.