WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:04.420
Den her trekant er retvinklet.

00:00:04.430 --> 00:00:07.130
Den er retvinklet,

00:00:07.140 --> 00:00:09.000
fordi den har en vinkel på 90 grader.

00:00:09.010 --> 00:00:12.730
Trekantens sider har flere forskellige længder.

00:00:12.740 --> 00:00:15.250
Normalt siger vi,

00:00:15.260 --> 00:00:16.730
at den længste side er siden

00:00:16.740 --> 00:00:18.740
modsat vinklen på 90 grader.

00:00:18.750 --> 00:00:20.370
Vi kalder den hypotenusen.

00:00:20.380 --> 00:00:24.120
Det er et svært ord for noget meget simpelt.

00:00:24.130 --> 00:00:25.820
Det er den længste side i en retvinklet trekant.

00:00:25.830 --> 00:00:27.770
Det er siden modsat den rette vinkel.

00:00:27.780 --> 00:00:30.400
Det ord er godt at kende.

00:00:30.410 --> 00:00:32.420
Hypotenusen er altid

00:00:32.430 --> 00:00:36.080
den længste side i en retvinklet trekant.

00:00:36.090 --> 00:00:40.690
Vi skal i den her video bevise et meget berømt forhold.

00:00:40.700 --> 00:00:43.950
.

00:00:43.960 --> 00:00:47.470
Det er et forhold mellem

00:00:47.480 --> 00:00:48.620
sidelængderne i retvinklede trekanter.

00:00:48.630 --> 00:00:53.670
Længden AC

00:00:53.680 --> 00:00:55.830
kalder vi for a.

00:00:55.840 --> 00:01:00.630
Længden BC kalder vi for b.

00:01:00.640 --> 00:01:03.320
Vi bruger store bogstaver til punkter og små til sider.

00:01:03.330 --> 00:01:05.740
Hypotenusen er længden af AB,

00:01:05.750 --> 00:01:08.170
så den kalder vi c.

00:01:08.180 --> 00:01:12.330
Lad os se, om vi kan finde et forhold mellem a, b og c.

00:01:12.340 --> 00:01:15.590
Først tegner vi et nyt

00:01:15.600 --> 00:01:19.240
linjestykke mellem c og hypotenusen.

00:01:19.250 --> 00:01:24.020
Vi tegner det, så de skærer i en ret vinkel.

00:01:24.030 --> 00:01:26.790
Vi kalder det her punkt

00:01:26.800 --> 00:01:28.280
for D.

00:01:28.290 --> 00:01:31.100
Hvordan kan vi gøre det?

00:01:31.110 --> 00:01:34.180
Vi kan rotere hele trekanten sådan her.

00:01:34.190 --> 00:01:36.970
Det, vi skal gøre nu, giver en generel idé om,

00:01:36.980 --> 00:01:39.520
hvordan vi kan lave sådan et punkt.

00:01:39.530 --> 00:01:42.880
Nu er den roteret,

00:01:42.890 --> 00:01:44.320
så hypotenusen er nederst.

00:01:44.330 --> 00:01:48.500
Det her er B, og her er A.

00:01:48.510 --> 00:01:50.850
Vi har drejet den hele vejen rundt.

00:01:50.860 --> 00:01:54.270
Det her er C.

00:01:54.280 --> 00:01:57.780
Hvis vi tegner en linje helt lodret fra C,

00:01:57.790 --> 00:01:59.230
rammer den hypotenusen i en ret vinkel.

00:01:59.240 --> 00:02:02.330
Nu har vi fået linjestykke CD.

00:02:02.340 --> 00:02:05.290
Punktet D er her.

00:02:05.300 --> 00:02:08.400
Grunden til, vi gjorde det, er,

00:02:08.410 --> 00:02:10.720
at vi nu kan finde nogle forhold mellem ligedannede trekanter.

00:02:10.730 --> 00:02:14.000
Vi har nu 3 trekanter. Trekant ADC,

00:02:14.010 --> 00:02:17.850
trekant DBC og den store, oprindelige trekant.

00:02:17.860 --> 00:02:21.500
Forhåbentlig kan vi finde et forhold mellem dem.

00:02:21.510 --> 00:02:27.690
Først viser vi, at ADC er ligedannet med den store.

00:02:27.700 --> 00:02:29.470
De har begge en ret vinkel.

00:02:29.480 --> 00:02:32.070
ADC's rette vinkel er her.

00:02:32.080 --> 00:02:33.920
Den her vinkel er 90 grader,

00:02:33.930 --> 00:02:35.750
og det er den her også.

00:02:35.760 --> 00:02:38.160
De er supplementære. De giver sammenlagt 180 grader.

00:02:38.170 --> 00:02:40.650
De har altså begge en ret vinkel.

00:02:40.660 --> 00:02:42.050
Der er både en ret vinkel i den lille

00:02:42.060 --> 00:02:44.860
og i den store.

00:02:44.870 --> 00:02:49.080
De deler også den her vinkel.

00:02:49.090 --> 00:02:53.250
Vinkel DAC eller BAC.

00:02:53.260 --> 00:02:55.850
.

00:02:55.860 --> 00:02:58.370
Vi starter med den lille trekant.

00:02:58.380 --> 00:03:02.410
Trekant ADC.

00:03:02.420 --> 00:03:05.270
Det her er trekant ADC.

00:03:05.280 --> 00:03:07.620
.

00:03:07.630 --> 00:03:10.350
Vi snakker om den her vinkel.

00:03:10.360 --> 00:03:14.070
Den rette vinkel

00:03:14.080 --> 00:03:15.480
er i den store trekant her.

00:03:15.490 --> 00:03:20.440
Trekant ADC er den her.

00:03:20.450 --> 00:03:24.200
.

00:03:24.210 --> 00:03:27.610
Vi startede i den blå vinkel A

00:03:27.620 --> 00:03:29.580
og gik videre til den rette vinkel.

00:03:29.590 --> 00:03:31.920
.

00:03:31.930 --> 00:03:33.720
Trekant ADC er ligedannet med

00:03:33.730 --> 00:03:36.530
trekant ACB.

00:03:36.540 --> 00:03:40.160
Da de er ligedannede,

00:03:40.170 --> 00:03:42.000
kan vi opstille et forhold mellem sidelængderne.

00:03:42.010 --> 00:03:44.730
.

00:03:44.740 --> 00:03:47.450
I ligedannede trekanter

00:03:47.460 --> 00:03:49.070
er forholdet mellem ensliggende sider

00:03:49.080 --> 00:03:50.050
konstant.

00:03:50.060 --> 00:03:54.500
.

00:03:54.510 --> 00:04:00.580
Hypotenusen i den store trekant

00:04:00.590 --> 00:04:01.720
er AB.

00:04:01.730 --> 00:04:10.370
AC over AB er det samme som AD,

00:04:10.380 --> 00:04:11.570
som er et af benene.

00:04:11.580 --> 00:04:17.110
Vi kigger på ensliggende punkter

00:04:17.120 --> 00:04:18.320
i ligedannede trekanter.

00:04:18.330 --> 00:04:23.740
Det her er AD over AC.

00:04:23.750 --> 00:04:25.720
.

00:04:25.730 --> 00:04:30.040
Side AD er mellem den blå vinkel

00:04:30.050 --> 00:04:32.570
og den røde vinkel.

00:04:32.580 --> 00:04:34.540
.

00:04:34.550 --> 00:04:38.130
I den store trekant er side AC mellem den blå vinkel

00:04:38.140 --> 00:04:39.190
og den røde vinkel.

00:04:39.200 --> 00:04:41.100
Begge de her er altså fra den store trekant.

00:04:41.110 --> 00:04:43.240
Det her er de ensliggende sider i den lille trekant.

00:04:43.250 --> 00:04:46.190
Vi kan se på dem

00:04:46.200 --> 00:04:50.380
og på den måde

00:04:50.390 --> 00:04:51.990
finde de ensliggende punkter.

00:04:52.000 --> 00:04:56.150
AC svarer til AB i den store trekant.

00:04:56.160 --> 00:05:01.950
.

00:05:01.960 --> 00:05:06.690
AC var det,

00:05:06.700 --> 00:05:08.640
vi kaldte a i starten.

00:05:08.650 --> 00:05:10.720
.

00:05:10.730 --> 00:05:15.520
Vi har ikke noget navn for AD.

00:05:15.530 --> 00:05:20.330
AB er c her.

00:05:20.340 --> 00:05:24.170
Lad os kalde AD

00:05:24.180 --> 00:05:26.580
for d.

00:05:26.590 --> 00:05:30.200
d er altså den her del,

00:05:30.210 --> 00:05:32.940
og c er den her del.

00:05:32.950 --> 00:05:35.920
Vi kalder DB for e.

00:05:35.930 --> 00:05:38.300
.

00:05:38.310 --> 00:05:41.350
AD kalder vi for d.

00:05:41.360 --> 00:05:44.160
A over C er lig med D over A.

00:05:44.170 --> 00:05:48.090
a gange a er a i anden.

00:05:48.100 --> 00:05:51.140
Det er lig med c gange d, som er cd.

00:05:51.150 --> 00:05:53.050
Det er interessant.

00:05:53.060 --> 00:05:55.430
Hvad kan vi gøre med den anden trekant her?

00:05:55.440 --> 00:05:57.780
.

00:05:57.790 --> 00:06:00.720
Den har en ret vinkel, og den store har en ret vinkel.

00:06:00.730 --> 00:06:03.990
De har også den her vinkel tilfælles.

00:06:04.000 --> 00:06:07.180
Vi kan altså konkludere,

00:06:07.190 --> 00:06:08.180
at de 2 trekanter er ligedannede.

00:06:08.190 --> 00:06:12.250
Vi har nu kigget

00:06:12.260 --> 00:06:13.120
på alle vinklerne.

00:06:13.130 --> 00:06:20.920
.

00:06:20.930 --> 00:06:22.560
Nu kigger vi på den store trekant.

00:06:22.570 --> 00:06:24.540
Vi starter i den lyserøde vinkel B.

00:06:24.550 --> 00:06:27.480
Den har også den rette vinkel CA.

00:06:27.490 --> 00:06:31.040
.

00:06:31.050 --> 00:06:35.620
Nu har vi gennemgået vinklerne.

00:06:35.630 --> 00:06:38.200
.

00:06:38.210 --> 00:06:40.900
Nu kan vi opstille et forhold.

00:06:40.910 --> 00:06:44.690
Vi starter med forholdet

00:06:44.700 --> 00:06:47.470
BC over BA.

00:06:47.480 --> 00:06:49.750
.

00:06:49.760 --> 00:06:53.420
Igen kigger vi på begge hypotenuser.

00:06:53.430 --> 00:07:00.690
BC over BA er lig med BD.

00:07:00.700 --> 00:07:04.720
Det er et af benene.

00:07:04.730 --> 00:07:07.110
.

00:07:07.120 --> 00:07:14.260
Det er lig med BD over BC.

00:07:14.270 --> 00:07:18.190
BC er det samme som b.

00:07:18.200 --> 00:07:20.330
.

00:07:20.340 --> 00:07:23.080
BA er det samme som c.

00:07:23.090 --> 00:07:29.280
BD kaldte vi for e.

00:07:29.290 --> 00:07:31.560
.

00:07:31.570 --> 00:07:35.000
Vi kan gange igen.

00:07:35.010 --> 00:07:38.840
Vi ganger

00:07:38.850 --> 00:07:42.480
begge sider med begge nævnere.

00:07:42.490 --> 00:07:46.180
b gange b er lig med ce.

00:07:46.190 --> 00:07:50.030
Nu kan vi gøre noget interessant.

00:07:50.040 --> 00:07:52.050
Vi kan lægge de 2 resultater sammen.

00:07:52.060 --> 00:07:53.480
.

00:07:53.490 --> 00:07:55.770
b i anden er lig med ce.

00:07:55.780 --> 00:07:59.750
Vi lægger de venstre sider sammen.

00:07:59.760 --> 00:08:08.060
Vi får, a i anden plus b i anden er lig med

00:08:08.070 --> 00:08:12.920
cd plus ce.

00:08:12.930 --> 00:08:16.170
Der er et c i begge led, så det kan vi stille uden for parentes.

00:08:16.180 --> 00:08:19.810
Vi stiller c uden for parentes.

00:08:19.820 --> 00:08:22.660
Det er lig med c gange d plus e.

00:08:22.670 --> 00:08:29.250
d plus e står i parentes.

00:08:29.260 --> 00:08:31.450
Hvad er d plus e?

00:08:31.460 --> 00:08:32.870
d er den her længde.

00:08:32.880 --> 00:08:34.260
e er den her længde.

00:08:34.270 --> 00:08:37.070
d plus e er altså lig med c.

00:08:37.080 --> 00:08:38.550
Det her er lig med c.

00:08:38.560 --> 00:08:42.650
c gange c er det samme som c i anden.

00:08:42.660 --> 00:08:45.850
Vi har nu et interessant sideforhold.

00:08:45.860 --> 00:08:51.290
a i anden plus b i anden er lig med c i anden.

00:08:51.300 --> 00:08:52.260
.

00:08:52.270 --> 00:08:56.930
Lad os lige skrive det ned igen.

00:08:56.940 --> 00:09:02.020
.

00:09:02.030 --> 00:09:05.600
a i anden

00:09:05.610 --> 00:09:09.310
plus b i anden er lig med c i anden.

00:09:09.320 --> 00:09:11.560
Det her er en vilkårlig retvinklet trekant.

00:09:11.570 --> 00:09:13.740
Det her gælder for alle retvinklede trekanter.

00:09:13.750 --> 00:09:17.950
Summen af kvadraterne af begge ben

00:09:17.960 --> 00:09:20.030
er lig med kvadratet af hypotenusen.

00:09:20.040 --> 00:09:24.840
Det er en af de mest berømte sætninger

00:09:24.850 --> 00:09:27.280
inden for matematikken.

00:09:27.290 --> 00:09:29.970
Den hedder Pythagoras læresætning.

00:09:29.980 --> 00:09:32.610
.

00:09:32.620 --> 00:09:37.490
Pythagoras læresætning.

00:09:37.500 --> 00:09:41.680
Det er en grundlæggende ting

00:09:41.690 --> 00:09:43.440
inden for mange områder af geometri.

00:09:43.450 --> 00:09:47.060
Især inden for trigonometri kan vi bruge den til en hel masse.

00:09:47.070 --> 00:09:49.550
Hvis vi kender 2 af siderne i en retvinklet trekant,

00:09:49.560 --> 00:09:51.340
kan vi nu altid finde den tredje side.