Pythagorean Theorem Proof Using Similarity

Този триъгълник тук,

е правоъгълен триъгълник.
Такъв е, защото

един от ъглите му е 90 градуса, или прав ъгъл.

Най-дългата страна
на правоъгълния триъгълник,

която е разположена срещу 90-градусовия ъгъл,

наричаме хипотенуза. Това е много сложна дума за

една проста идея – най-дългата
страна на правоъгълния триъгълник,

страната срещу 90-градусовия ъгъл.

Но е добре да го знаеш,
защото някой може да каже

нещо за хипотенузата и тогава ще знаеш,
че говори за тази страна тук,

страната срещу 90-градусовия ъгъл.

В това видео искам да докажа една
много известна зависимост

– и може би виждаш накъде клоня –
много известната зависимост

между дължините на страните на
правоъгълния триъгълник.

Да кажем, че дължината на АС…
Главна буква А и главна буква С.

Нека означим тази дължина с малка буква 'а' и
да наречем дължината ВС с малка буква 'b'.

Ще използвам големи букви за точките,
малки букви за дължините.

И нека наречем дължината на хипотенузата АВ - 'c'

Да видим сега дали можем да
намерим зависимостта

между а, b и с.

И за да направим това,
първо ще построя

друга права или друга отсечка

между 'с' и хипотенузата.

Ще я построя така, че

да се пресичат под прав ъгъл.

Винаги можеш да направиш това.

Ще наречем тази точка тук

главно D.

И ако се чудиш как можеш
винаги да правиш това,

си представи, че завърташ
целия този триъгълник ето така.

Това не е точно доказателство,
но ти представя

основната идея за това
как може винаги

да построиш дадена точка
по този начин.

Завъртях го така,

че сега да стоим на нашата хипотенуза.

Това сега е точка В, това е точка А.

Завъртам цялото нещо изцяло.

Това е точка С. Можеш да си представиш

например хвърлянето на камък от точка С,
може би завързан с въже,

и той ще удари хипотенузата
под прав ъгъл.

Това направихме тук,
за да създадем отсечка СD на мястото,

където поставяме нашата точка D.

Направих това, за да можем сега

да установим всякакви видове
интересни зависимости

между подобни триъгълници.

Защото имаме три триъгълника.

Имаме триъгълник АDC,
имаме триъгълник DBC

и имаме големия
първоначален триъгълник.

Да се надяваме, че ще установим подобие

между тези триъгълници.

Първо ще ти покажа, че ADC е
подобен на големия.

Защото и двата имат прав ъгъл.

ADC има прав ъгъл ето тук.

Ясно е, че ако този ъгъл е 90 градуса,

тогава този ъгъл също е 90 градуса.

Те са допълващи се.

Събрани заедно, те правят 180 градуса.

Значи тези двата имат прав ъгъл в тях.

По-малкият има прав ъгъл.

Големият очевидно има прав ъгъл.

Оттук започнахме.

И също те и двата споделят този ъгъл тук,

ъгъл DAC или BAC,

отнасяй се към него, както искаш.

Можем да запишем, че този триъгълник...

Ще започна с малкия, ADC.

И може би ще го защриховам.

Това е триъгълникът, за който говорим.

Триъгълник ADC.

Тръгвам от синия ъгъл към правия ъгъл,

до необозначения ъгъл
от гледна точка на триъгълник ADC.

Този прав ъгъл не се отнася за това там.

Той се отнася за големия триъгълник.

Можем да кажем, че триъгълник ADC
е подобен на триъгълник...

Повтарям, започваме от синия ъгъл.

А.
След това отиваме до правия ъгъл.

Трябва да отидем отново до правия ъгъл.

Това беше ACB.

И понеже те са подобни,
можем да установим

зависимост между отношенията на техните страни.

Например знаем, че отношенията
на съответните страни

ще бъдат… По принцип за подобен триъгълник

знаем, че отношението на страните

ще бъде постоянна величина.

Така че можем да вземем отношението

на хипотенузата на по-малкия триъгълник.

Хипотенузата е AC.

AC върху хипотенузата
на по-големия, която

е АВ.
AC върху АВ ще бъде равно на AD,

едно от бедрата, AD.

И само да ти покажа, че просто
вземам съответните точки

на двата подобни триъгълника,
това е AD върху AC.

Можеш да разгледаш тези
триъгълници и да покажеш:

“Виж, точка AD е между синия ъгъл

и правия ъгъл.”

Извинявай, страна AD е между синия
ъгъл и правия ъгъл.

Страна AC е между синия ъгъл
и правия ъгъл

на по-големия триъгълник.

Така че и двете са от по-големия триъгълник.

Те са съответните страни на
по-малкия триъгълник.

И ако това изглежда объркващо,

ако сме написали вярно
твърдението за подобие,

можеш просто да намериш съответните точки.

AC съответства на АВ от по-големия триъгълник,

AD от по-малкия триъгълник съответства

на AC от по-големия триъгълник.

Знаем, че AC можем да означим
с малка буква 'a'.

AC е малката буква 'a'.

Нямаме никакво означение за AD или за AB.

Извинявай, имаме означение за AB.

Това ето тук е 'с'.

Нямаме означение за AD.

Нека просто наречем AD с малката буква 'd'.

Малката буква 'd' съответства
на тази част ето там.

'с' отговаря на тази
цялата част ето там.

И след това ще означим дължината DB с 'е'.

Това просто ще направи
нещата малко по-прости.

AD ще бъде 'd'.

Така че имаме 'а' върху 'с' е равно на 'd' върху 'а'.

Ако умножим на кръст, имаш
'а' по 'а', което е 'а' на квадрат,

е равно на 'c' по 'd', което е cd.

Това е малко интересен резултат.

Нека видим какво можем да направим

с другия триъгълник ето тук.

Този триъгълник ето тук.

Той има прав ъгъл.

По-големият има прав ъгъл.

И двата споделят този ъгъл ето тук.

Така че при налично подобие на
ъглите двата триъгълника

трябва да бъдат подобни.

Можеш да кажеш за триъгълник BDC...
Ние се движим от розовия ъгъл

към правия ъгъл и след това към необозначения ъгъл.

И така, триъгълник BDC е подобен
на триъгълник...

Сега ще разгледаме по-големия триъгълник,

ще започнем от розовия ъгъл В.

Сега трябва да отидем до правия ъгъл CA.

BCA.

От розовия ъгъл до правия
ъгъл, към необозначения ъгъл,

поне от гледната точка тук.

Бяхме го означили с това синьото преди.

Сега нека установим някакъв
вид зависимост тук.

Можем да кажем, че отношението
в по-малкия триъгълник, BC, страна

BC върху BA, BC върху BA,
още веднъж,

вземаме хипотенузите на двата.

Така че BC върху BA ще бъде
равно на BD.

Нека направя това в друг цвят.

BD.

Това е едно от бедрата.

BD.

По начина, по който съм го начертал,
е по-малкото бедро.

BD върху BC.

Просто вземам съответните върхове.

Върху BC.

Да повторя, знаем, че BC е същото
като малката буква 'b'.

BC е малката буква 'b'.

BA е малката буква 'c'.

И след това BD я определихме
като малката буква 'e'.

Това е малката буква 'e'.

Можем да умножим на кръст и

получаваме 'b' по 'b',...
Споменавал съм това в много клипове,

умножаването на кръст е буквално
същото нещо като умножаването

на двете страни и по двата знаменателя.

'b' по 'b' е 'b' на квадрат и е равно на 'ce'.

И сега можем да направим нещо интересно.

Можем да съберем тези две твърдения.

Нека напиша отново твърдението отдолу.

'b' на квадрат е равно на 'ce'.

Ако съберем страните от лявата страна,

получаваме 'a' на квадрат плюс 'b' на квадрат.

'a' на квадрат плюс 'b' на квадрат
е равно на 'cd' плюс 'ce'.

Плюс ce.

Във всеки от тези членове имаме 'с',

така че можем да го изнесем отвън.

Това ще бъде равно на...
Изнасяме отпред това 'c'.

Ще бъде равно на 'c', по 'd' плюс 'e'.

'c' по 'd' плюс 'e' и затваряме скобите.

Колко е 'd' плюс 'e'?

'd' е тази дължина, 'е' – тази дължина.

'd' плюс 'е' всъщност ще бъде също 'c'.

Това ще бъде 'c'.

Имаш 'c' по 'c', което е същото

като 'c' на квадрат.

Сега наблюдаваме една интересна зависимост.

Имаме това 'a' на квадрат плюс 'b'
на квадрат е равно на 'c' на квадрат.

Нека го напиша отново.

'а' на квадрат.

Нека го направя с нов цвят.

Изтрих това без да искам,
ще го напиша отново.

Току-що установихме, че
'а' на квадрат плюс 'b' на квадрат

е равно на 'c' на квадрат.

И това е произволен правоъгълен триъгълник.

Това е вярно за всеки
правоъгълен триъгълник.

Просто установихме, че
сумата от квадратите на всяко едно

от бедрата е равна на
квадрата на хипотенузата.

И това безспорно е

една от най-известните теореми
в математиката, наречена

Питагоровата теорема.

Не е ясно дали той е първият
човек, установил това,

но тя се нарича
Питагоровата теорема.

Питагорова теорема.

И наистина е основата, ако не на цялата геометрия,

то на голяма част от геометрията,
с която ще се занимаваме.

И тя формира основите също и
на голяма част от тригонометрията.

И е наистина много полезна теорема: ако знаеш две от страните

на правоъгълния триъгълник, винаги можеш да намериш третата.