1
00:00:00,500 --> 00:00:02,900
Този триъгълник тук,

2
00:00:02,900 --> 00:00:05,400
е правоъгълен триъгълник.
Такъв е, защото

3
00:00:05,400 --> 00:00:09,000
един от ъглите му е 90 градуса, или прав ъгъл.

4
00:00:09,000 --> 00:00:15,620
Най-дългата страна
на правоъгълния триъгълник,

5
00:00:15,620 --> 00:00:19,200
която е разположена срещу 90-градусовия ъгъл,

6
00:00:19,200 --> 00:00:22,400
наричаме хипотенуза. Това е много сложна дума за

7
00:00:22,400 --> 00:00:25,200
една проста идея – най-дългата
страна на правоъгълния триъгълник,

8
00:00:25,200 --> 00:00:27,700
страната срещу 90-градусовия ъгъл.

9
00:00:27,700 --> 00:00:29,640
Но е добре да го знаеш,
защото някой може да каже

10
00:00:29,640 --> 00:00:32,299
нещо за хипотенузата и тогава ще знаеш,
че говори за тази страна тук,

11
00:00:32,299 --> 00:00:36,650
страната срещу 90-градусовия ъгъл.

12
00:00:36,650 --> 00:00:42,100
В това видео искам да докажа една 
много известна зависимост

13
00:00:42,100 --> 00:00:45,300
– и може би виждаш накъде клоня –
много известната зависимост

14
00:00:45,300 --> 00:00:48,700
между дължините на страните на
правоъгълния триъгълник.

15
00:00:48,700 --> 00:00:54,100
Да кажем, че дължината на АС…
Главна буква А и главна буква С.

16
00:00:54,100 --> 00:00:59,600
Нека означим тази дължина с малка буква 'а' и
да наречем дължината ВС с малка буква 'b'.

17
00:00:59,600 --> 00:01:03,200
Ще използвам големи букви за точките,
малки букви за дължините.

18
00:01:03,200 --> 00:01:08,040
И нека наречем дължината на хипотенузата АВ - 'c'

19
00:01:08,040 --> 00:01:10,000
Да видим сега дали можем да
намерим зависимостта

20
00:01:10,000 --> 00:01:12,800
между а, b и с.

21
00:01:12,800 --> 00:01:14,700
И за да направим това,
първо ще построя

22
00:01:14,700 --> 00:01:16,200
друга права или друга отсечка

23
00:01:16,200 --> 00:01:19,100
между 'с' и хипотенузата.

24
00:01:19,100 --> 00:01:21,800
Ще я построя така, че

25
00:01:21,800 --> 00:01:23,800
да се пресичат под прав ъгъл.

26
00:01:23,800 --> 00:01:25,200
Винаги можеш да направиш това.

27
00:01:25,200 --> 00:01:26,300
Ще наречем тази точка тук

28
00:01:26,300 --> 00:01:28,000
главно D.

29
00:01:28,000 --> 00:01:31,000
И ако се чудиш как можеш 
винаги да правиш това,

30
00:01:31,000 --> 00:01:33,800
си представи, че завърташ
целия този триъгълник ето така.

31
00:01:33,800 --> 00:01:36,330
Това не е точно доказателство,
но ти представя

32
00:01:36,330 --> 00:01:38,100
основната идея за това
как може винаги

33
00:01:38,100 --> 00:01:39,700
да построиш дадена точка
по този начин.

34
00:01:39,700 --> 00:01:41,300
Завъртях го така,

35
00:01:41,300 --> 00:01:44,100
че сега да стоим на нашата хипотенуза.

36
00:01:44,100 --> 00:01:48,500
Това сега е точка В, това е точка А.

37
00:01:48,500 --> 00:01:50,700
Завъртам цялото нещо изцяло.

38
00:01:50,700 --> 00:01:52,900
Това е точка С. Можеш да си представиш

39
00:01:52,900 --> 00:01:55,700
например хвърлянето на камък от точка С,
може би завързан с въже,

40
00:01:55,700 --> 00:01:59,300
и той ще удари хипотенузата
под прав ъгъл.

41
00:01:59,300 --> 00:02:02,600
Това направихме тук, 
за да създадем отсечка СD на мястото,

42
00:02:02,600 --> 00:02:05,100
където поставяме нашата точка D.

43
00:02:05,100 --> 00:02:06,900
Направих това, за да можем сега

44
00:02:06,900 --> 00:02:09,400
да установим всякакви видове
интересни зависимости

45
00:02:09,400 --> 00:02:10,530
между подобни триъгълници.

46
00:02:10,530 --> 00:02:11,900
Защото имаме три триъгълника.

47
00:02:11,900 --> 00:02:15,400
Имаме триъгълник АDC,
имаме триъгълник DBC

48
00:02:15,400 --> 00:02:17,940
и имаме големия 
първоначален триъгълник.

49
00:02:17,940 --> 00:02:19,900
Да се надяваме, че ще установим подобие

50
00:02:19,900 --> 00:02:21,500
между тези триъгълници.

51
00:02:21,500 --> 00:02:27,400
Първо ще ти покажа, че ADC е 
подобен на големия.

52
00:02:27,400 --> 00:02:29,400
Защото и двата имат прав ъгъл.

53
00:02:29,400 --> 00:02:32,000
ADC има прав ъгъл ето тук.

54
00:02:32,000 --> 00:02:33,500
Ясно е, че ако този ъгъл е 90 градуса,

55
00:02:33,500 --> 00:02:35,800
тогава този ъгъл също е 90 градуса.

56
00:02:35,800 --> 00:02:36,700
Те са допълващи се.

57
00:02:36,700 --> 00:02:38,300
Събрани заедно, те правят 180 градуса.

58
00:02:38,300 --> 00:02:40,300
Значи тези двата имат прав ъгъл в тях.

59
00:02:40,300 --> 00:02:42,100
По-малкият има прав ъгъл.

60
00:02:42,100 --> 00:02:43,500
Големият очевидно има прав ъгъл.

61
00:02:43,500 --> 00:02:44,500
Оттук започнахме.

62
00:02:44,500 --> 00:02:48,900
И също те и двата споделят този ъгъл тук,

63
00:02:48,900 --> 00:02:52,000
ъгъл DAC или BAC,

64
00:02:52,000 --> 00:02:53,200
отнасяй се към него, както искаш.

65
00:02:53,200 --> 00:02:56,000
Можем да запишем, че този триъгълник...

66
00:02:56,000 --> 00:03:00,100
Ще започна с малкия, ADC.

67
00:03:00,100 --> 00:03:02,100
И може би ще го защриховам.

68
00:03:02,100 --> 00:03:03,700
Това е триъгълникът, за който говорим.

69
00:03:03,700 --> 00:03:05,550
Триъгълник ADC.

70
00:03:05,550 --> 00:03:07,500
Тръгвам от синия ъгъл към правия ъгъл,

71
00:03:07,500 --> 00:03:10,500
до необозначения ъгъл
от гледна точка на триъгълник ADC.

72
00:03:10,500 --> 00:03:13,700
Този прав ъгъл не се отнася за това там.

73
00:03:13,700 --> 00:03:15,400
Той се отнася за големия триъгълник.

74
00:03:15,400 --> 00:03:24,500
Можем да кажем, че триъгълник ADC
е подобен на триъгълник...

75
00:03:24,500 --> 00:03:27,100
Повтарям, започваме от синия ъгъл.

76
00:03:27,100 --> 00:03:29,300
А.
След това отиваме до правия ъгъл.

77
00:03:29,300 --> 00:03:31,600
Трябва да отидем отново до правия ъгъл.

78
00:03:31,600 --> 00:03:36,700
Това беше ACB.

79
00:03:36,700 --> 00:03:39,100
И понеже те са подобни, 
можем да установим

80
00:03:39,100 --> 00:03:41,900
зависимост между отношенията на техните страни.

81
00:03:41,900 --> 00:03:45,100
Например знаем, че отношенията
на съответните страни

82
00:03:45,100 --> 00:03:46,900
ще бъдат… По принцип за подобен триъгълник

83
00:03:46,900 --> 00:03:48,500
знаем, че отношението на страните

84
00:03:48,500 --> 00:03:49,800
ще бъде постоянна величина.

85
00:03:49,800 --> 00:03:52,980
Така че можем да вземем отношението

86
00:03:52,980 --> 00:03:55,160
на хипотенузата на по-малкия триъгълник.

87
00:03:55,160 --> 00:03:57,280
Хипотенузата е AC.

88
00:03:57,280 --> 00:04:00,500
AC върху хипотенузата
на по-големия, която

89
00:04:00,500 --> 00:04:09,340
е АВ. 
AC върху АВ ще бъде равно на AD,

90
00:04:09,340 --> 00:04:14,500
едно от бедрата, AD.

91
00:04:14,500 --> 00:04:17,000
И само да ти покажа, че просто
вземам съответните точки

92
00:04:17,000 --> 00:04:23,900
на двата подобни триъгълника,
това е AD върху AC.

93
00:04:23,900 --> 00:04:26,100
Можеш да разгледаш тези
триъгълници и да покажеш:

94
00:04:26,100 --> 00:04:29,700
“Виж, точка AD е между синия ъгъл

95
00:04:29,700 --> 00:04:31,000
и правия ъгъл.”

96
00:04:31,000 --> 00:04:34,600
Извинявай, страна AD е между синия
ъгъл и правия ъгъл.

97
00:04:34,600 --> 00:04:38,000
Страна AC е между синия ъгъл
и правия ъгъл

98
00:04:38,000 --> 00:04:39,200
на по-големия триъгълник.

99
00:04:39,200 --> 00:04:41,200
Така че и двете са от по-големия триъгълник.

100
00:04:41,200 --> 00:04:43,400
Те са съответните страни на
по-малкия триъгълник.

101
00:04:43,400 --> 00:04:46,400
И ако това изглежда объркващо,

102
00:04:46,400 --> 00:04:50,300
ако сме написали вярно
твърдението за подобие,

103
00:04:50,300 --> 00:04:51,900
можеш просто да намериш съответните точки.

104
00:04:51,900 --> 00:04:56,100
AC съответства на АВ от по-големия триъгълник,

105
00:04:56,100 --> 00:04:58,820
AD от по-малкия триъгълник съответства

106
00:04:58,820 --> 00:05:02,000
на AC от по-големия триъгълник.

107
00:05:02,000 --> 00:05:06,700
Знаем, че AC можем да означим
с малка буква 'a'.

108
00:05:06,700 --> 00:05:10,600
AC е малката буква 'a'.

109
00:05:10,600 --> 00:05:16,440
Нямаме никакво означение за AD или за AB.

110
00:05:16,440 --> 00:05:18,900
Извинявай, имаме означение за AB.

111
00:05:18,900 --> 00:05:20,610
Това ето тук е 'с'.

112
00:05:20,610 --> 00:05:22,700
Нямаме означение за AD.

113
00:05:22,700 --> 00:05:26,600
Нека просто наречем AD с малката буква 'd'.

114
00:05:26,600 --> 00:05:30,300
Малката буква 'd' съответства
на тази част ето там.

115
00:05:30,300 --> 00:05:33,000
'с' отговаря на тази
цялата част ето там.

116
00:05:33,000 --> 00:05:35,800
И след това ще означим дължината DB с 'е'.

117
00:05:35,800 --> 00:05:38,600
Това просто ще направи
нещата малко по-прости.

118
00:05:38,600 --> 00:05:41,400
AD ще бъде 'd'.

119
00:05:41,400 --> 00:05:43,800
Така че имаме 'а' върху 'с' е равно на 'd' върху 'а'.

120
00:05:43,800 --> 00:05:47,700
Ако умножим на кръст, имаш
'а' по 'а', което е 'а' на квадрат,

121
00:05:47,700 --> 00:05:50,800
е равно на 'c' по 'd', което е cd.

122
00:05:50,800 --> 00:05:52,600
Това е малко интересен резултат.

123
00:05:52,600 --> 00:05:54,600
Нека видим какво можем да направим

124
00:05:54,600 --> 00:05:55,600
с другия триъгълник ето тук.

125
00:05:55,600 --> 00:05:57,700
Този триъгълник ето тук.

126
00:05:57,700 --> 00:05:59,300
Той има прав ъгъл.

127
00:05:59,300 --> 00:06:00,500
По-големият има прав ъгъл.

128
00:06:00,500 --> 00:06:04,000
И двата споделят този ъгъл ето тук.

129
00:06:04,000 --> 00:06:07,000
Така че при налично подобие на
ъглите двата триъгълника

130
00:06:07,000 --> 00:06:08,100
трябва да бъдат подобни.

131
00:06:08,100 --> 00:06:11,200
Можеш да кажеш за триъгълник BDC...
Ние се движим от розовия ъгъл

132
00:06:11,200 --> 00:06:13,770
към правия ъгъл и след това към необозначения ъгъл.

133
00:06:13,770 --> 00:06:20,600
И така, триъгълник BDC е подобен
на триъгълник...

134
00:06:20,600 --> 00:06:22,200
Сега ще разгледаме по-големия триъгълник,

135
00:06:22,200 --> 00:06:23,940
ще започнем от розовия ъгъл В.

136
00:06:23,940 --> 00:06:28,000
Сега трябва да отидем до правия ъгъл CA.

137
00:06:28,000 --> 00:06:30,700
BCA.

138
00:06:30,700 --> 00:06:35,200
От розовия ъгъл до правия
ъгъл, към необозначения ъгъл,

139
00:06:35,200 --> 00:06:36,400
поне от гледната точка тук.

140
00:06:36,400 --> 00:06:38,200
Бяхме го означили с това синьото преди.

141
00:06:38,200 --> 00:06:40,500
Сега нека установим някакъв
вид зависимост тук.

142
00:06:40,500 --> 00:06:45,000
Можем да кажем, че отношението
в по-малкия триъгълник, BC, страна

143
00:06:45,000 --> 00:06:50,000
BC върху BA, BC върху BA,
още веднъж,

144
00:06:50,000 --> 00:06:53,200
вземаме хипотенузите на двата.

145
00:06:53,200 --> 00:07:01,000
Така че BC върху BA ще бъде
равно на BD.

146
00:07:01,000 --> 00:07:02,700
Нека направя това в друг цвят.

147
00:07:02,700 --> 00:07:03,500
BD.

148
00:07:03,500 --> 00:07:04,900
Това е едно от бедрата.

149
00:07:04,900 --> 00:07:05,500
BD.

150
00:07:05,500 --> 00:07:07,300
По начина, по който съм го начертал,
е по-малкото бедро.

151
00:07:07,300 --> 00:07:10,300
BD върху BC.

152
00:07:10,300 --> 00:07:12,500
Просто вземам съответните върхове.

153
00:07:12,500 --> 00:07:14,310
Върху BC.

154
00:07:14,310 --> 00:07:18,300
Да повторя, знаем, че BC е същото 
като малката буква 'b'.

155
00:07:18,300 --> 00:07:20,300
BC е малката буква 'b'.

156
00:07:20,300 --> 00:07:25,200
BA е малката буква 'c'.

157
00:07:25,200 --> 00:07:29,700
И след това BD я определихме
като малката буква 'e'.

158
00:07:29,700 --> 00:07:31,100
Това е малката буква 'e'.

159
00:07:31,100 --> 00:07:32,900
Можем да умножим на кръст и

160
00:07:32,900 --> 00:07:37,800
получаваме 'b' по 'b',...
Споменавал съм това в много клипове,

161
00:07:37,800 --> 00:07:40,200
умножаването на кръст е буквално
същото нещо като умножаването

162
00:07:40,200 --> 00:07:42,400
на двете страни и по двата знаменателя.

163
00:07:42,400 --> 00:07:47,700
'b' по 'b' е 'b' на квадрат и е равно на 'ce'.

164
00:07:47,700 --> 00:07:50,000
И сега можем да направим нещо интересно.

165
00:07:50,000 --> 00:07:51,300
Можем да съберем тези две твърдения.

166
00:07:51,300 --> 00:07:53,000
Нека напиша отново твърдението отдолу.

167
00:07:53,000 --> 00:07:55,800
'b' на квадрат е равно на 'ce'.

168
00:07:55,800 --> 00:07:58,100
Ако съберем страните от лявата страна,

169
00:07:58,100 --> 00:08:02,000
получаваме 'a' на квадрат плюс 'b' на квадрат.

170
00:08:02,000 --> 00:08:10,200
'a' на квадрат плюс 'b' на квадрат
е равно на 'cd' плюс 'ce'.

171
00:08:10,200 --> 00:08:12,400
Плюс ce.

172
00:08:12,400 --> 00:08:14,800
Във всеки от тези членове имаме 'с',

173
00:08:14,800 --> 00:08:15,900
така че можем да го изнесем отвън.

174
00:08:15,900 --> 00:08:19,620
Това ще бъде равно на...
Изнасяме отпред това 'c'.

175
00:08:19,620 --> 00:08:22,700
Ще бъде равно на 'c', по 'd' плюс 'e'.

176
00:08:22,700 --> 00:08:29,300
'c' по 'd' плюс 'e' и затваряме скобите.

177
00:08:29,300 --> 00:08:31,000
Колко е 'd' плюс 'e'?

178
00:08:31,000 --> 00:08:34,000
'd' е тази дължина, 'е' – тази дължина.

179
00:08:34,000 --> 00:08:37,000
'd' плюс 'е' всъщност ще бъде също 'c'.

180
00:08:37,000 --> 00:08:38,600
Това ще бъде 'c'.

181
00:08:38,600 --> 00:08:41,000
Имаш 'c' по 'c', което е същото

182
00:08:41,000 --> 00:08:42,900
като 'c' на квадрат.

183
00:08:42,900 --> 00:08:45,600
Сега наблюдаваме една интересна зависимост.

184
00:08:45,600 --> 00:08:50,900
Имаме това 'a' на квадрат плюс 'b'
на квадрат е равно на 'c' на квадрат.

185
00:08:50,900 --> 00:08:52,500
Нека го напиша отново.

186
00:08:52,500 --> 00:08:53,800
'а' на квадрат.

187
00:08:53,800 --> 00:08:58,200
Нека го направя с нов цвят.

188
00:08:58,200 --> 00:09:02,400
Изтрих това без да искам,
ще го напиша отново.

189
00:09:02,400 --> 00:09:07,300
Току-що установихме, че
'а' на квадрат плюс 'b' на квадрат

190
00:09:07,300 --> 00:09:09,300
е равно на 'c' на квадрат.

191
00:09:09,300 --> 00:09:11,100
И това е произволен правоъгълен триъгълник.

192
00:09:11,100 --> 00:09:13,400
Това е вярно за всеки
правоъгълен триъгълник.

193
00:09:13,400 --> 00:09:17,300
Просто установихме, че
сумата от квадратите на всяко едно

194
00:09:17,300 --> 00:09:19,800
от бедрата е равна на
квадрата на хипотенузата.

195
00:09:19,800 --> 00:09:22,500
И това безспорно е

196
00:09:22,500 --> 00:09:26,300
една от най-известните теореми
в математиката, наречена

197
00:09:26,300 --> 00:09:27,490
Питагоровата теорема.

198
00:09:27,490 --> 00:09:29,800
Не е ясно дали той е първият
човек, установил това,

199
00:09:29,800 --> 00:09:32,580
но тя се нарича
Питагоровата теорема.

200
00:09:32,600 --> 00:09:38,100
Питагорова теорема.

201
00:09:38,100 --> 00:09:41,400
И наистина е основата, ако не на цялата геометрия,

202
00:09:41,400 --> 00:09:43,500
то на голяма част от геометрията,
с която ще се занимаваме.

203
00:09:43,500 --> 00:09:46,260
И тя формира основите също и
на голяма част от тригонометрията.

204
00:09:46,260 --> 00:09:48,390
И е наистина много полезна теорема: ако знаеш две от страните

205
00:09:48,390 --> 00:09:51,320
на правоъгълния триъгълник, винаги можеш да намериш третата.