0:00:00.500,0:00:02.900
Този триъгълник тук,

0:00:02.900,0:00:05.400
е правоъгълен триъгълник.[br]Такъв е, защото

0:00:05.400,0:00:09.000
един от ъглите му е 90 градуса, или прав ъгъл.

0:00:09.000,0:00:15.620
Най-дългата страна[br]на правоъгълния триъгълник,

0:00:15.620,0:00:19.200
която е разположена срещу 90-градусовия ъгъл,

0:00:19.200,0:00:22.400
наричаме хипотенуза. Това е много сложна дума за

0:00:22.400,0:00:25.200
една проста идея – най-дългата[br]страна на правоъгълния триъгълник,

0:00:25.200,0:00:27.700
страната срещу 90-градусовия ъгъл.

0:00:27.700,0:00:29.640
Но е добре да го знаеш,[br]защото някой може да каже

0:00:29.640,0:00:32.299
нещо за хипотенузата и тогава ще знаеш,[br]че говори за тази страна тук,

0:00:32.299,0:00:36.650
страната срещу 90-градусовия ъгъл.

0:00:36.650,0:00:42.100
В това видео искам да докажа една [br]много известна зависимост

0:00:42.100,0:00:45.300
– и може би виждаш накъде клоня –[br]много известната зависимост

0:00:45.300,0:00:48.700
между дължините на страните на[br]правоъгълния триъгълник.

0:00:48.700,0:00:54.100
Да кажем, че дължината на АС…[br]Главна буква А и главна буква С.

0:00:54.100,0:00:59.600
Нека означим тази дължина с малка буква 'а' и[br]да наречем дължината ВС с малка буква 'b'.

0:00:59.600,0:01:03.200
Ще използвам големи букви за точките,[br]малки букви за дължините.

0:01:03.200,0:01:08.040
И нека наречем дължината на хипотенузата АВ - 'c'

0:01:08.040,0:01:10.000
Да видим сега дали можем да[br]намерим зависимостта

0:01:10.000,0:01:12.800
между а, b и с.

0:01:12.800,0:01:14.700
И за да направим това,[br]първо ще построя

0:01:14.700,0:01:16.200
друга права или друга отсечка

0:01:16.200,0:01:19.100
между 'с' и хипотенузата.

0:01:19.100,0:01:21.800
Ще я построя така, че

0:01:21.800,0:01:23.800
да се пресичат под прав ъгъл.

0:01:23.800,0:01:25.200
Винаги можеш да направиш това.

0:01:25.200,0:01:26.300
Ще наречем тази точка тук

0:01:26.300,0:01:28.000
главно D.

0:01:28.000,0:01:31.000
И ако се чудиш как можеш [br]винаги да правиш това,

0:01:31.000,0:01:33.800
си представи, че завърташ[br]целия този триъгълник ето така.

0:01:33.800,0:01:36.330
Това не е точно доказателство,[br]но ти представя

0:01:36.330,0:01:38.100
основната идея за това[br]как може винаги

0:01:38.100,0:01:39.700
да построиш дадена точка[br]по този начин.

0:01:39.700,0:01:41.300
Завъртях го така,

0:01:41.300,0:01:44.100
че сега да стоим на нашата хипотенуза.

0:01:44.100,0:01:48.500
Това сега е точка В, това е точка А.

0:01:48.500,0:01:50.700
Завъртам цялото нещо изцяло.

0:01:50.700,0:01:52.900
Това е точка С. Можеш да си представиш

0:01:52.900,0:01:55.700
например хвърлянето на камък от точка С,[br]може би завързан с въже,

0:01:55.700,0:01:59.300
и той ще удари хипотенузата[br]под прав ъгъл.

0:01:59.300,0:02:02.600
Това направихме тук, [br]за да създадем отсечка СD на мястото,

0:02:02.600,0:02:05.100
където поставяме нашата точка D.

0:02:05.100,0:02:06.900
Направих това, за да можем сега

0:02:06.900,0:02:09.400
да установим всякакви видове[br]интересни зависимости

0:02:09.400,0:02:10.530
между подобни триъгълници.

0:02:10.530,0:02:11.900
Защото имаме три триъгълника.

0:02:11.900,0:02:15.400
Имаме триъгълник АDC,[br]имаме триъгълник DBC

0:02:15.400,0:02:17.940
и имаме големия [br]първоначален триъгълник.

0:02:17.940,0:02:19.900
Да се надяваме, че ще установим подобие

0:02:19.900,0:02:21.500
между тези триъгълници.

0:02:21.500,0:02:27.400
Първо ще ти покажа, че ADC е [br]подобен на големия.

0:02:27.400,0:02:29.400
Защото и двата имат прав ъгъл.

0:02:29.400,0:02:32.000
ADC има прав ъгъл ето тук.

0:02:32.000,0:02:33.500
Ясно е, че ако този ъгъл е 90 градуса,

0:02:33.500,0:02:35.800
тогава този ъгъл също е 90 градуса.

0:02:35.800,0:02:36.700
Те са допълващи се.

0:02:36.700,0:02:38.300
Събрани заедно, те правят 180 градуса.

0:02:38.300,0:02:40.300
Значи тези двата имат прав ъгъл в тях.

0:02:40.300,0:02:42.100
По-малкият има прав ъгъл.

0:02:42.100,0:02:43.500
Големият очевидно има прав ъгъл.

0:02:43.500,0:02:44.500
Оттук започнахме.

0:02:44.500,0:02:48.900
И също те и двата споделят този ъгъл тук,

0:02:48.900,0:02:52.000
ъгъл DAC или BAC,

0:02:52.000,0:02:53.200
отнасяй се към него, както искаш.

0:02:53.200,0:02:56.000
Можем да запишем, че този триъгълник...

0:02:56.000,0:03:00.100
Ще започна с малкия, ADC.

0:03:00.100,0:03:02.100
И може би ще го защриховам.

0:03:02.100,0:03:03.700
Това е триъгълникът, за който говорим.

0:03:03.700,0:03:05.550
Триъгълник ADC.

0:03:05.550,0:03:07.500
Тръгвам от синия ъгъл към правия ъгъл,

0:03:07.500,0:03:10.500
до необозначения ъгъл[br]от гледна точка на триъгълник ADC.

0:03:10.500,0:03:13.700
Този прав ъгъл не се отнася за това там.

0:03:13.700,0:03:15.400
Той се отнася за големия триъгълник.

0:03:15.400,0:03:24.500
Можем да кажем, че триъгълник ADC[br]е подобен на триъгълник...

0:03:24.500,0:03:27.100
Повтарям, започваме от синия ъгъл.

0:03:27.100,0:03:29.300
А.[br]След това отиваме до правия ъгъл.

0:03:29.300,0:03:31.600
Трябва да отидем отново до правия ъгъл.

0:03:31.600,0:03:36.700
Това беше ACB.

0:03:36.700,0:03:39.100
И понеже те са подобни, [br]можем да установим

0:03:39.100,0:03:41.900
зависимост между отношенията на техните страни.

0:03:41.900,0:03:45.100
Например знаем, че отношенията[br]на съответните страни

0:03:45.100,0:03:46.900
ще бъдат… По принцип за подобен триъгълник

0:03:46.900,0:03:48.500
знаем, че отношението на страните

0:03:48.500,0:03:49.800
ще бъде постоянна величина.

0:03:49.800,0:03:52.980
Така че можем да вземем отношението

0:03:52.980,0:03:55.160
на хипотенузата на по-малкия триъгълник.

0:03:55.160,0:03:57.280
Хипотенузата е AC.

0:03:57.280,0:04:00.500
AC върху хипотенузата[br]на по-големия, която

0:04:00.500,0:04:09.340
е АВ. [br]AC върху АВ ще бъде равно на AD,

0:04:09.340,0:04:14.500
едно от бедрата, AD.

0:04:14.500,0:04:17.000
И само да ти покажа, че просто[br]вземам съответните точки

0:04:17.000,0:04:23.900
на двата подобни триъгълника,[br]това е AD върху AC.

0:04:23.900,0:04:26.100
Можеш да разгледаш тези[br]триъгълници и да покажеш:

0:04:26.100,0:04:29.700
“Виж, точка AD е между синия ъгъл

0:04:29.700,0:04:31.000
и правия ъгъл.”

0:04:31.000,0:04:34.600
Извинявай, страна AD е между синия[br]ъгъл и правия ъгъл.

0:04:34.600,0:04:38.000
Страна AC е между синия ъгъл[br]и правия ъгъл

0:04:38.000,0:04:39.200
на по-големия триъгълник.

0:04:39.200,0:04:41.200
Така че и двете са от по-големия триъгълник.

0:04:41.200,0:04:43.400
Те са съответните страни на[br]по-малкия триъгълник.

0:04:43.400,0:04:46.400
И ако това изглежда объркващо,

0:04:46.400,0:04:50.300
ако сме написали вярно[br]твърдението за подобие,

0:04:50.300,0:04:51.900
можеш просто да намериш съответните точки.

0:04:51.900,0:04:56.100
AC съответства на АВ от по-големия триъгълник,

0:04:56.100,0:04:58.820
AD от по-малкия триъгълник съответства

0:04:58.820,0:05:02.000
на AC от по-големия триъгълник.

0:05:02.000,0:05:06.700
Знаем, че AC можем да означим[br]с малка буква 'a'.

0:05:06.700,0:05:10.600
AC е малката буква 'a'.

0:05:10.600,0:05:16.440
Нямаме никакво означение за AD или за AB.

0:05:16.440,0:05:18.900
Извинявай, имаме означение за AB.

0:05:18.900,0:05:20.610
Това ето тук е 'с'.

0:05:20.610,0:05:22.700
Нямаме означение за AD.

0:05:22.700,0:05:26.600
Нека просто наречем AD с малката буква 'd'.

0:05:26.600,0:05:30.300
Малката буква 'd' съответства[br]на тази част ето там.

0:05:30.300,0:05:33.000
'с' отговаря на тази[br]цялата част ето там.

0:05:33.000,0:05:35.800
И след това ще означим дължината DB с 'е'.

0:05:35.800,0:05:38.600
Това просто ще направи[br]нещата малко по-прости.

0:05:38.600,0:05:41.400
AD ще бъде 'd'.

0:05:41.400,0:05:43.800
Така че имаме 'а' върху 'с' е равно на 'd' върху 'а'.

0:05:43.800,0:05:47.700
Ако умножим на кръст, имаш[br]'а' по 'а', което е 'а' на квадрат,

0:05:47.700,0:05:50.800
е равно на 'c' по 'd', което е cd.

0:05:50.800,0:05:52.600
Това е малко интересен резултат.

0:05:52.600,0:05:54.600
Нека видим какво можем да направим

0:05:54.600,0:05:55.600
с другия триъгълник ето тук.

0:05:55.600,0:05:57.700
Този триъгълник ето тук.

0:05:57.700,0:05:59.300
Той има прав ъгъл.

0:05:59.300,0:06:00.500
По-големият има прав ъгъл.

0:06:00.500,0:06:04.000
И двата споделят този ъгъл ето тук.

0:06:04.000,0:06:07.000
Така че при налично подобие на[br]ъглите двата триъгълника

0:06:07.000,0:06:08.100
трябва да бъдат подобни.

0:06:08.100,0:06:11.200
Можеш да кажеш за триъгълник BDC...[br]Ние се движим от розовия ъгъл

0:06:11.200,0:06:13.770
към правия ъгъл и след това към необозначения ъгъл.

0:06:13.770,0:06:20.600
И така, триъгълник BDC е подобен[br]на триъгълник...

0:06:20.600,0:06:22.200
Сега ще разгледаме по-големия триъгълник,

0:06:22.200,0:06:23.940
ще започнем от розовия ъгъл В.

0:06:23.940,0:06:28.000
Сега трябва да отидем до правия ъгъл CA.

0:06:28.000,0:06:30.700
BCA.

0:06:30.700,0:06:35.200
От розовия ъгъл до правия[br]ъгъл, към необозначения ъгъл,

0:06:35.200,0:06:36.400
поне от гледната точка тук.

0:06:36.400,0:06:38.200
Бяхме го означили с това синьото преди.

0:06:38.200,0:06:40.500
Сега нека установим някакъв[br]вид зависимост тук.

0:06:40.500,0:06:45.000
Можем да кажем, че отношението[br]в по-малкия триъгълник, BC, страна

0:06:45.000,0:06:50.000
BC върху BA, BC върху BA,[br]още веднъж,

0:06:50.000,0:06:53.200
вземаме хипотенузите на двата.

0:06:53.200,0:07:01.000
Така че BC върху BA ще бъде[br]равно на BD.

0:07:01.000,0:07:02.700
Нека направя това в друг цвят.

0:07:02.700,0:07:03.500
BD.

0:07:03.500,0:07:04.900
Това е едно от бедрата.

0:07:04.900,0:07:05.500
BD.

0:07:05.500,0:07:07.300
По начина, по който съм го начертал,[br]е по-малкото бедро.

0:07:07.300,0:07:10.300
BD върху BC.

0:07:10.300,0:07:12.500
Просто вземам съответните върхове.

0:07:12.500,0:07:14.310
Върху BC.

0:07:14.310,0:07:18.300
Да повторя, знаем, че BC е същото [br]като малката буква 'b'.

0:07:18.300,0:07:20.300
BC е малката буква 'b'.

0:07:20.300,0:07:25.200
BA е малката буква 'c'.

0:07:25.200,0:07:29.700
И след това BD я определихме[br]като малката буква 'e'.

0:07:29.700,0:07:31.100
Това е малката буква 'e'.

0:07:31.100,0:07:32.900
Можем да умножим на кръст и

0:07:32.900,0:07:37.800
получаваме 'b' по 'b',...[br]Споменавал съм това в много клипове,

0:07:37.800,0:07:40.200
умножаването на кръст е буквално[br]същото нещо като умножаването

0:07:40.200,0:07:42.400
на двете страни и по двата знаменателя.

0:07:42.400,0:07:47.700
'b' по 'b' е 'b' на квадрат и е равно на 'ce'.

0:07:47.700,0:07:50.000
И сега можем да направим нещо интересно.

0:07:50.000,0:07:51.300
Можем да съберем тези две твърдения.

0:07:51.300,0:07:53.000
Нека напиша отново твърдението отдолу.

0:07:53.000,0:07:55.800
'b' на квадрат е равно на 'ce'.

0:07:55.800,0:07:58.100
Ако съберем страните от лявата страна,

0:07:58.100,0:08:02.000
получаваме 'a' на квадрат плюс 'b' на квадрат.

0:08:02.000,0:08:10.200
'a' на квадрат плюс 'b' на квадрат[br]е равно на 'cd' плюс 'ce'.

0:08:10.200,0:08:12.400
Плюс ce.

0:08:12.400,0:08:14.800
Във всеки от тези членове имаме 'с',

0:08:14.800,0:08:15.900
така че можем да го изнесем отвън.

0:08:15.900,0:08:19.620
Това ще бъде равно на...[br]Изнасяме отпред това 'c'.

0:08:19.620,0:08:22.700
Ще бъде равно на 'c', по 'd' плюс 'e'.

0:08:22.700,0:08:29.300
'c' по 'd' плюс 'e' и затваряме скобите.

0:08:29.300,0:08:31.000
Колко е 'd' плюс 'e'?

0:08:31.000,0:08:34.000
'd' е тази дължина, 'е' – тази дължина.

0:08:34.000,0:08:37.000
'd' плюс 'е' всъщност ще бъде също 'c'.

0:08:37.000,0:08:38.600
Това ще бъде 'c'.

0:08:38.600,0:08:41.000
Имаш 'c' по 'c', което е същото

0:08:41.000,0:08:42.900
като 'c' на квадрат.

0:08:42.900,0:08:45.600
Сега наблюдаваме една интересна зависимост.

0:08:45.600,0:08:50.900
Имаме това 'a' на квадрат плюс 'b'[br]на квадрат е равно на 'c' на квадрат.

0:08:50.900,0:08:52.500
Нека го напиша отново.

0:08:52.500,0:08:53.800
'а' на квадрат.

0:08:53.800,0:08:58.200
Нека го направя с нов цвят.

0:08:58.200,0:09:02.400
Изтрих това без да искам,[br]ще го напиша отново.

0:09:02.400,0:09:07.300
Току-що установихме, че[br]'а' на квадрат плюс 'b' на квадрат

0:09:07.300,0:09:09.300
е равно на 'c' на квадрат.

0:09:09.300,0:09:11.100
И това е произволен правоъгълен триъгълник.

0:09:11.100,0:09:13.400
Това е вярно за всеки[br]правоъгълен триъгълник.

0:09:13.400,0:09:17.300
Просто установихме, че[br]сумата от квадратите на всяко едно

0:09:17.300,0:09:19.800
от бедрата е равна на[br]квадрата на хипотенузата.

0:09:19.800,0:09:22.500
И това безспорно е

0:09:22.500,0:09:26.300
една от най-известните теореми[br]в математиката, наречена

0:09:26.300,0:09:27.490
Питагоровата теорема.

0:09:27.490,0:09:29.800
Не е ясно дали той е първият[br]човек, установил това,

0:09:29.800,0:09:32.580
но тя се нарича[br]Питагоровата теорема.

0:09:32.600,0:09:38.100
Питагорова теорема.

0:09:38.100,0:09:41.400
И наистина е основата, ако не на цялата геометрия,

0:09:41.400,0:09:43.500
то на голяма част от геометрията,[br]с която ще се занимаваме.

0:09:43.500,0:09:46.260
И тя формира основите също и[br]на голяма част от тригонометрията.

0:09:46.260,0:09:48.390
И е наистина много полезна теорема: ако знаеш две от страните

0:09:48.390,0:09:51.320
на правоъгълния триъгълник, винаги можеш да намериш третата.