Трикутники з кутами 30, 60, 90 градусів. Вступ.

У цьому уроці розповідається про властивості сторін прямокутного трикутинка з кутами 30 і 60 градусів, а також про властивості рівностороннього тиркутника.

Це відео - український переклда лекції "Intro to 30-60-90 Triangles"
Академії Хана (www.khanacademy.org)
This video is a translation of a Khan Academy lecture available at www.khanacademy.org

Привіт, зараз я хочу продовжити розглядати трикутники з кутами 45, 45 і 90°.

Отже, на попередньому уроці ви дізналися, що будь-яка сторона трикутника з кутами 45, 45 і 90°,

яка не є гіпотенузою, дорівнює (√2)/2 помножити на гіпотенузу.

Давайте розв’яжемо ще декілька завдань.

Припустимо, що гіпотенуза цього трикутника…

(нагадаю вам, що все це дійсно тільки для трикутників з кутами 45, 45 і 90°).

І якщо я відмітила один кут як 45°, то, як ви вже знаєте, інший кут також буде дорівнювати 45°.

Припустимо, що гіпотенуза тут дорівнює 10.

Ми знаємо, що це гіпотенуза, оскільки вона протилежна прямому куту.

Запитується: чому дорівнює ця сторона х?

Ми вже знаємо, що х дорівнює √2/2 помножити на гіпотенузу, тобто (√2/2)*10.

Чи х=5√2 (10 ділимо на 2). Отже, х=5√2.

І ми також знаємо, що ця сторона і ось ця сторона рівні. Вірно?

Ми знаємо, що це - рівнобедрений трикутник, тому що ці два кути рівні.

Значить, ми можемо сказати, що ця сторона 5√2.

І якщо ви не вірите, спробуйте порахувати самі.

Давайте застосуємо теорему Піфагора.

Виходячи з неї, ми знаємо, що (5√2)²+(5√2)² дорівнює гіпотенузі у квадраті.

А гіпотенуза дорівнює 10.

Дорівнює 100. Тут 25 помножити на 2.

Насправді, подібні міркування привели нас до ось цієї верхньої формули.

Можливо, ви захочете повернутися до одного з цих уроків, якщо забудете, як ми це отримали.

Зараз я хочу представити вам інший тип трикутників.

І зараз я піду цим же шляхом: спочатку визначу завдання,

а потім використаю теорему Піфагора, щоб все порахувати.

Це інший тип трикутника, який називається трикутником з кутами 30, 60, 90°.

І якщо мені не вистачить цього відео, то я зроблю ще один урок на цю тему.

Припустимо, у нас є прямокутний трикутник.

Він вийшов не таким вже й охайним, але маємо те, що маємо… Це прямий кут.

Припустимо, цей кут у нас 30°.

Ми знаємо, що сума кутів трикутника дорівнює 180°.

Тут 30, тут 90, а тут, припустимо, х.

x+30+90=180, оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180°.

Рахуємо: х дорівнює 60. Так? Тобто цей кут у нас дорівнює 60.

І ось чому це називається у нас трикутником з кутами 30, 60, 90°, це величини кутів.

Припустимо, що це гіпотенуза…

Давайте не називати її С, як звичайно, а назвемо її тепер h.

Я хочу обчислити усі інші сторони, як це я можу зробити?

Ми можемо це обчислити, використовуючи теорему Піфагора.

Зараз я покажу вам фокус-покус.

Давайте намалюємо такий же самий трикутник, його точну копію, але повернемо його в інший бік.

Ось він. Тут у нас 90°.

Ми знаємо, що ці два кути – суміжні.

Ви можете продивитись ще раз урок про кути, якщо забули, що два суміжних кути,

які розділяють одну і ту ж пряму, будуть у сумі складати 180°.

Тут у нас 90°, значить, тут у нас теж буде 90.

Це видно навіть без спеціальних пристроїв.

Ми перегорнули трикутник і отримали точнісінько такий же.

Трикутник відображений зліва направо. Ми також знаємо, що цей кут дорівнює 30°.

І ми також знаємо, що цей кут у нас дорівнює 60°. Так?

Цей кут 30° і цей кут 30°, значить, ми можемо сказати, що цей великий кут звідти до звідти дорівнює 60°. Так?

Якщо цей кут дорівнює 60°, верхній кут 60° і цей правий кут 60°,

тоді ми знаємо з теореми, яку ми проходили у відео про трикутники з кутами 45, 45, 90°,

що, якщо ці кути рівні, то сторони, які не є для них спільними, теж рівні.

Які сторони для них спільні? Ця сторона і ось ця сторона.

Якщо ця сторона h, тоді і ця сторона буде h. Так?

Але цей кут у нас також дорівнює 60°. Давайте звернемо увагу на ці 60° і на ці 60°.

Ми знаємо, що сторони, які не є для них спільними, також рівні.

Для них спільна сторона – ось ця. А сторони, які не є для них спільними – ця і ця.

Ця сторона h, значить, ми можемо сказати, що ось ця сторона також h.

Виходить, що якщо у нас 60, 60 и 60°, то всі сторони трикутника мають однакову довжину.

Це треба запам’ятати.

І цілком логічно, оскільки рівнобічний трикутник симетричний,

не важливо, з якої сторони ви на нього дивитесь. У нього усі кути будуть однакові.

Але у первісному завданні у нас була тільки половина цього рівнобічного трикутника.

Ми знаємо, що вся ця сторона по довжині дорівнює h.

Але, якщо уся довжина цієї сторони h, тоді ця сторона, основа трикутника, який ми шукаємо…

і я навмисно наводжу цю лінію... давайте я використаю іншій колір…

вона буде дорівнювати половині сторони великого трикутника. Так?

Тому що тут h/2 і ось тут h/2. Прямо ось тут.

Повернемось тепер до нашого первісного трикутника.

Тут 30°, а це – гіпотенуза, тому що вона протилежна прямому куту.

А ми знаємо, що сторона яка протилежна куту 30°, дорівнює ½ гіпотенузи.

Давайте згадаємо, як ми це зробили.

Ми домалювали трикутник і отримали рівносторонній трикутник.

Потім порахували , що ця сторона дорівнює гіпотенузі.

А це половина від всієї її довжини, тобто це половина гіпотенузи.

Давайте це пам’ятати. Сторона, протилежна куту 30°, дорівнює ½ довжини гіпотенузи.

Давайте перемалюємо це на іншій сторінці, мені здається, що я надто забруднила дошку.

Повернемось до первісної умови.

Це прямий кут. Ця сторона - гіпотенуза.

Ось тут у нас 30°, і ми щойно порахували, що сторона, на яку «дивиться» цей кут, дорівнює ½ гіпотенузи.

Якщо це дорівнює ½ гіпотенузи, то чому дорівнює ця сторона?

І знову ми можемо використати теорему Піфагора.

Ми знаємо, що ця сторона в квадраті плюс ця сторона в квадраті, назвемо її А, дорівнює h².

Виходить (½h)²+А²=h². А тут виходить h²/4+А²=h².

Ми віднімаємо h² з обох сторін рівності, отримуємо А² =h²–h²/4.

Це, у свою чергу, дорівнює h²*(1-1/4)=¾ h².

Ще раз, все це дорівнює А².

Мені не вистачає місця, я зараз перейду аж сюди.

Витягнемо квадратний корінь з обох сторін рівності.

Отримаємо А=√(3/4) , це те ж саме, що і (√3)/2. А √(h)² – це просто h.

А – визначення, яке ми раніше використовували для площі,

а в цьому уроці ми так позначили довжину цієї сторони.

Мабуть, мені не варто було використовувати букву А… Це дорівнює ((√3)/2)*h.

Ми виразили усі сторони трикутника через гіпотенузу у трикутнику з кутами 30, 60, 90°. Тут у нас 60°.

Отже, якщо нам відома гіпотенуза і ми знаємо, що це трикутник з кутами 30, 60, 90°, то ми можемо стверджувати,

що сторона, протилежна куту 30°, буде дорівнювати половині гіпотенузи.

Ми також знаємо, що сторона, протилежна куту 60°, дорівнює (√3)/2 помножити на гіпотенузу.

У наступному уроці я покажу вам, як за допомогою цієї інформації дуже швидко вирішувати завдання на тестуванні.

Так що ви можете сказати: «Ой, я не хочу це запам’ятовувати!»

Але ж ця інформація вам дуже знадобиться.

Тому що, використовуючи її, ви зможете швидко вирішити будь-яке завдання для трикутників з кутами 30, 60, 90°.

Побачимось! Па!