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Para cualquier transformación que mapea de Rn a Rn, hicimos
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implicitamente, pero fue interesante para nosotros descubrir que
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los vectores que esencialmente solo estiran por las
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transformaciónes.
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Entonces los vectores que tienen la forma-- la transformación de
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mi vector es solamente igual a alguna versión
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escalada de un vector.
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Y si esto no resulta familiar, Puedo refrescar su
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memoria un poquito.
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Cuando estamos buscando alguna base de vectores para la
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transformación-- déjenme dibujarlo.
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Esto era para R² a R²
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Entonces, déjenme dibujar R² acá.
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Y digamos que tengo el vector v1 es igual a
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el vector 1, 2.
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Y tenemos las líneas que se extienden a través de ese vector.
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Hicimos este problema varios videos atrás.
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Y tengo la transformación que los da vuelta con respecto a esta línea.
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Entonces si llamamos a esa linea I, T sería la transformación de R²
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a R² que da vuelta los vectores con respecto a esa línea.
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Entonces da vuelta los vectores con respecto a I.
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Entonces si te acordás de la transformación, si yo tuviera algún
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vector cualquiera que sea algo así, digamos que eso es x,
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ese vector x, entonces la transformación de x sería
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algo así.
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Solo se da vuelta con respecto a esta línea.
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Esa era la transformación de x.
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Y si te acordás de ese video, estábamos buscando por un
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cambio de base que nos permitiera por lo menos descubrir
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la matriz para esa transformación, al menos en una
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base alternativa.
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Y si descubriéramos la matriz para la
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transformación en la base estándar.
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Y la base que elegimos fuesen vectores base que no
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cambian mucho por la transformación, o unos que
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solo se escalan por la transformación.
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Por ejemplo, cuando agarro la transformación de v1 solo
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igual a v1.
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O podríamos decir que la transformación de v1 solo
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fuese igual a 1 vez v1.
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Entonces si solo seguimos este pequeño formato que preparé
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aquí, lambda, en este caso, sería 1.
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Y por supuesto, el vector en este caso es v1.
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La transformación solo aumenta el tamaño de v1 por 1.
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En el mismo problema, teníamos que otro vector
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que también miramos.
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Era el vector negativo-- digamos que es el vector v2,
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que es-- digamos que es 2 menos 1.
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Y entonce si tomás la transformación del mismo, ya que
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es ortogonal a la linea, solo se dió
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vuelta así.
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Y esa es una fuerza interesante del vector
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también, por que la transformación de v2 in esta
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situación es igual a que ?
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solo v2 negativo.
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Es igual a menos v2.
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O podrías decir que la transformación de v2 es igual
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a menos una vez v2.
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Y estos serían vectores interesantes para nosotros por que
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si defino una nueva base con estos vectores como base, sería
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muy fácil darse cuenta nuestra matriz de la transformación
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Y la verdad que, esa sería una base muy fácil para hacer cálculos.
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Y vamos a ver un poco más de eso más adelante.
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Pero con un poco de suerte te vas a dar cuenta que son vectores interesantes.
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También están los casos en donde tenemos los planos que definen
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algunos vectores.
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Y además tenemos otro vector que esta saliendo del
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plano así.
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Y estamos transformando las cosas, tomando la imagen
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espejada. Y bueno ahí
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la transformación, de estos vectores rojos no cambia para nada
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y este se dió vuelta.
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Entonces quizás esos harían una buena base.
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O harían buenos vectores base.
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y así fue.
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Entonces en general, siempre vamos a estar interesados en los vectores
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que solo se escalan por la transformación.
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Que no van a ser todos los vectores, no ?
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Este vector que dibujé aca, este vector x, no se
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escala solamente, cambia también su dirección
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cambia.
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El vector que se escala, también podría cambiar su dirección
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de esta dirección a esta otra dirección, o quizás
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van para allá.
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Por ahí ese es x y la transformación de x podría ser
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la versión solamente escalada de x.
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Por ahí es esta.
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La verdadero, me imagino, línea que extienden no va a cambiar
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Y eso nos vamos a fijar
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Estos tienen un nombre especial.
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Y estos tienen un nombre especial y quiero dejar esto bien
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claro, por que son realmente útiles.
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No es solo un juego matemático que estamos
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jugando, aunque a veces caemos en eso
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Pero estos son realmente importantes.
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Son útiles para definir bases por que en esas bases
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es más fácil encontrar matrices transformadas
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Son un sistema de coordenadas más natural. Y
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muchas veces, las matrices de la transformación en esas bases
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es mejor para hacer cálculos.
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Entonces estos tienen un nombre especial.
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Para cualquier vector que satisfaga esto aquí es llamado un
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eigenvector para la transformación T.
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y el lambda, el múltiplo que surge-- este es el
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eigenvalor asociado con ese eigenvector.
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Entonces in el ejemplo solo mostré en donde la transformación está
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dando vuelta con respecto a esta línea, v1, el vector 1, 2 es un
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eigenvector de nuestra transformación
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Entonces 1,2 es un eigenvector.
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y su correspondiente eigenvalor es 1.
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Este también es un eigenvector-- el
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vector 2, menos 1.
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También es un eigenvector.
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Una palabra muy linda, pero solamente significa que es un vector que solamente
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se escala por la transformación.
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No cambia en ninguna otra forma que su
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factor de escala.
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I su eigenvalor correspondiente es menos 1.
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Si esta transformación-- No se cual es
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su matriz de transformación
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Me olvidé como era
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Pero nos dimos cuenta hace un ratito
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si esta matriz de transformación puede ser representada como una matriz
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de producto vector-- y debería ser; es una transformación lineal
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-- entonces cualquier v que satisfaga que
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la transformación de-- diría que la transformación de v es igual
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a lambda v, que también podría ser--
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la transformación de [? v ?]
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solo sería A veces v.
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estos son también llamados eigenvalores de A, por que A
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es realmente una matriz de representación de
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la transformación
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entonces en este caso, esto sería un eigenvector de A, y esto
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sería un eigenvalor asociado con el
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eigenvector.
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Entonces si me das una matriz que representa alguna transformación
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lineal.
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Podrías también darte cuenta de esto.
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Ahora, en el próximo video nos vamos a dar cuenta
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la forma de descubrir esto.
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Pero lo que quiera que ustedes aprecien en este video es
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que es fácil decir, ah, el vector que
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no cambia mucho
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Pero yo quiero que ustedes entiendan que es lo que significa.
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Literalmente solo aumenta o disminuye su módulo, o por ahí se invierte
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La dirección o las líneas que extienden
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fundamentalmente no cambian
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Y la razón por la cual son interesantes para nosotros es, bueno
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una de las razones por la cual son interesantes para nosotros es que
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hacen buenos vectores de base--
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esas matrices de transformación son quizás más
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simples, o las que funcionan como un mejor sistema de coordenadas
