WEBVTT

00:00:00.730 --> 00:00:06.870
Para cualquier transformación que mapea de Rn a Rn, hicimos

00:00:06.870 --> 00:00:09.590
implicitamente, pero fue interesante para nosotros descubrir que

00:00:09.590 --> 00:00:12.460
los vectores que esencialmente solo estiran por las

00:00:12.460 --> 00:00:13.880
transformaciónes.

00:00:13.880 --> 00:00:17.230
Entonces los vectores que tienen la forma-- la transformación de

00:00:17.230 --> 00:00:20.950
mi vector es solamente igual a alguna versión

00:00:20.950 --> 00:00:22.035
escalada de un vector.

00:00:22.035 --> 00:00:24.290
Y si esto no resulta familiar, Puedo refrescar su

00:00:24.290 --> 00:00:25.750
memoria un poquito.

00:00:25.750 --> 00:00:27.690
Cuando estamos buscando alguna base de vectores para la

00:00:27.690 --> 00:00:28.986
transformación-- déjenme dibujarlo.

00:00:28.986 --> 00:00:31.190
Esto era para R² a R²

00:00:33.970 --> 00:00:36.529
Entonces, déjenme dibujar R² acá.

00:00:36.945 --> 00:00:44.305
Y digamos que tengo el vector v1 es igual a

00:00:44.321 --> 00:00:45.732
el vector 1, 2.

00:00:45.870 --> 00:00:48.728
Y tenemos las líneas que se extienden a través de ese vector.

00:00:48.913 --> 00:00:52.000
Hicimos este problema varios videos atrás.

00:00:52.262 --> 00:00:55.350
Y tengo la transformación que los da vuelta con respecto a esta línea.

00:00:55.350 --> 00:01:01.230
Entonces si llamamos a esa linea I, T sería la transformación de R²

00:01:01.230 --> 00:01:04.933
a R² que da vuelta los vectores con respecto a esa línea.

00:01:04.933 --> 00:01:12.933
Entonces da vuelta los vectores con respecto a I.

00:01:12.933 --> 00:01:15.740
Entonces si te acordás de la transformación, si yo tuviera algún

00:01:15.740 --> 00:01:19.050
vector cualquiera que sea algo así, digamos que eso es x,

00:01:19.050 --> 00:01:21.548
ese vector x, entonces la transformación de x sería

00:01:21.548 --> 00:01:22.410
algo así.

00:01:22.410 --> 00:01:24.640
Solo se da vuelta con respecto a esta línea.

00:01:24.640 --> 00:01:26.770
Esa era la transformación de x.

00:01:26.770 --> 00:01:28.990
Y si te acordás de ese video, estábamos buscando por un

00:01:28.990 --> 00:01:31.670
cambio de base que nos permitiera por lo menos descubrir

00:01:31.670 --> 00:01:34.640
la matriz para esa transformación, al menos en una

00:01:34.640 --> 00:01:35.500
base alternativa.

00:01:35.500 --> 00:01:36.900
Y si descubriéramos la matriz para la

00:01:36.900 --> 00:01:38.950
transformación en la base estándar.

00:01:38.950 --> 00:01:42.698
Y la base que elegimos fuesen vectores base que no

00:01:42.698 --> 00:01:44.950
cambian mucho por la transformación, o unos que

00:01:44.950 --> 00:01:46.817
solo se escalan por la transformación.

00:01:46.817 --> 00:01:52.750
Por ejemplo, cuando agarro la transformación de v1 solo

00:01:52.750 --> 00:01:54.320
igual a v1.

00:01:54.320 --> 00:01:59.380
O podríamos decir que la transformación de v1 solo

00:01:59.380 --> 00:02:02.800
fuese igual a 1 vez v1.

00:02:02.800 --> 00:02:06.780
Entonces si solo seguimos este pequeño formato que preparé

00:02:06.780 --> 00:02:08.860
aquí, lambda, en este caso, sería 1.

00:02:08.860 --> 00:02:11.360
Y por supuesto, el vector en este caso es v1.

00:02:11.360 --> 00:02:15.057
La transformación solo aumenta el tamaño de v1 por 1.

00:02:15.057 --> 00:02:18.860
En el mismo problema, teníamos que otro vector

00:02:18.860 --> 00:02:20.065
que también miramos.

00:02:20.065 --> 00:02:27.670
Era el vector negativo-- digamos que es el vector v2,

00:02:28.255 --> 00:02:32.210
que es-- digamos que es 2 menos 1.

00:02:32.410 --> 00:02:34.420
Y entonce si tomás la transformación del mismo, ya que

00:02:34.420 --> 00:02:36.250
es ortogonal a la linea, solo se dió

00:02:36.250 --> 00:02:37.840
vuelta así.

00:02:37.840 --> 00:02:39.760
Y esa es una fuerza interesante del vector

00:02:39.760 --> 00:02:44.960
también, por que la transformación de v2 in esta

00:02:44.960 --> 00:02:47.050
situación es igual a que ?

00:02:47.050 --> 00:02:48.930
solo v2 negativo.

00:02:48.930 --> 00:02:50.270
Es igual a menos v2.

00:02:50.270 --> 00:02:54.920
O podrías decir que la transformación de v2 es igual

00:02:54.920 --> 00:02:58.230
a menos una vez v2.

00:02:58.230 --> 00:03:01.870
Y estos serían vectores interesantes para nosotros por que

00:03:01.870 --> 00:03:06.390
si defino una nueva base con estos vectores como base, sería

00:03:06.390 --> 00:03:09.065
muy fácil darse cuenta nuestra matriz de la transformación

00:03:09.065 --> 00:03:12.000
Y la verdad que, esa sería una base muy fácil para hacer cálculos.

00:03:12.000 --> 00:03:14.390
Y vamos a ver un poco más de eso más adelante.

00:03:14.390 --> 00:03:16.620
Pero con un poco de suerte te vas a dar cuenta que son vectores interesantes.

00:03:16.620 --> 00:03:21.750
También están los casos en donde tenemos los planos que definen

00:03:21.750 --> 00:03:23.630
algunos vectores.

00:03:23.630 --> 00:03:25.820
Y además tenemos otro vector que esta saliendo del

00:03:25.820 --> 00:03:27.040
plano así.

00:03:27.040 --> 00:03:29.320
Y estamos transformando las cosas, tomando la imagen

00:03:29.320 --> 00:03:31.200
espejada. Y bueno ahí

00:03:31.200 --> 00:03:34.360
la transformación, de estos vectores rojos no cambia para nada

00:03:34.360 --> 00:03:35.960
y este se dió vuelta.

00:03:35.960 --> 00:03:38.290
Entonces quizás esos harían una buena base.

00:03:38.290 --> 00:03:40.250
O harían buenos vectores base.

00:03:40.250 --> 00:03:41.240
y así fue.

00:03:41.240 --> 00:03:44.850
Entonces en general, siempre vamos a estar interesados en los vectores

00:03:44.850 --> 00:03:47.240
que solo se escalan por la transformación.

00:03:47.240 --> 00:03:49.080
Que no van a ser todos los vectores, no ?

00:03:49.080 --> 00:03:51.320
Este vector que dibujé aca, este vector x, no se

00:03:51.320 --> 00:03:54.650
escala solamente, cambia también su dirección

00:03:54.650 --> 00:03:56.730
cambia.

00:03:56.730 --> 00:04:00.360
El vector que se escala, también podría cambiar su dirección

00:04:00.360 --> 00:04:03.020
de esta dirección a esta otra dirección, o quizás

00:04:03.020 --> 00:04:04.430
van para allá.

00:04:04.430 --> 00:04:07.270
Por ahí ese es x y la transformación de x podría ser

00:04:07.270 --> 00:04:08.460
la versión solamente escalada de x.

00:04:08.460 --> 00:04:09.710
Por ahí es esta.

00:04:12.050 --> 00:04:16.970
La verdadero, me imagino, línea que extienden no va a cambiar

00:04:16.970 --> 00:04:19.350
Y eso nos vamos a fijar

00:04:19.350 --> 00:04:21.019
Estos tienen un nombre especial.

00:04:21.019 --> 00:04:23.660
Y estos tienen un nombre especial y quiero dejar esto bien

00:04:23.660 --> 00:04:25.050
claro, por que son realmente útiles.

00:04:25.050 --> 00:04:27.360
No es solo un juego matemático que estamos

00:04:27.360 --> 00:04:29.970
jugando, aunque a veces caemos en eso

00:04:29.970 --> 00:04:31.250
Pero estos son realmente importantes.

00:04:31.250 --> 00:04:34.140
Son útiles para definir bases por que en esas bases

00:04:34.140 --> 00:04:36.730
es más fácil encontrar matrices transformadas

00:04:36.730 --> 00:04:38.950
Son un sistema de coordenadas más natural. Y

00:04:38.950 --> 00:04:41.700
muchas veces, las matrices de la transformación en esas bases

00:04:41.700 --> 00:04:43.620
es mejor para hacer cálculos.

00:04:43.620 --> 00:04:47.060
Entonces estos tienen un nombre especial.

00:04:47.060 --> 00:04:50.040
Para cualquier vector que satisfaga esto aquí es llamado un

00:04:50.040 --> 00:04:57.810
eigenvector para la transformación T.

00:04:57.810 --> 00:05:01.680
y el lambda, el múltiplo que surge-- este es el

00:05:01.680 --> 00:05:12.410
eigenvalor asociado con ese eigenvector.

00:05:16.870 --> 00:05:19.590
Entonces in el ejemplo solo mostré en donde la transformación está

00:05:19.590 --> 00:05:24.020
dando vuelta con respecto a esta línea, v1, el vector 1, 2 es un

00:05:24.020 --> 00:05:27.210
eigenvector de nuestra transformación

00:05:27.210 --> 00:05:31.080
Entonces 1,2 es un eigenvector.

00:05:33.960 --> 00:05:36.305
y su correspondiente eigenvalor es 1.

00:05:42.170 --> 00:05:43.820
Este también es un eigenvector-- el

00:05:43.820 --> 00:05:45.270
vector 2, menos 1.

00:05:45.270 --> 00:05:47.520
También es un eigenvector.

00:05:47.520 --> 00:05:50.440
Una palabra muy linda, pero solamente significa que es un vector que solamente

00:05:50.440 --> 00:05:51.920
se escala por la transformación.

00:05:51.920 --> 00:05:55.030
No cambia en ninguna otra forma que su

00:05:55.030 --> 00:05:56.270
factor de escala.

00:05:56.270 --> 00:06:03.860
I su eigenvalor correspondiente es menos 1.

00:06:03.860 --> 00:06:05.580
Si esta transformación-- No se cual es

00:06:05.580 --> 00:06:06.750
su matriz de transformación

00:06:06.750 --> 00:06:07.990
Me olvidé como era

00:06:07.990 --> 00:06:10.820
Pero nos dimos cuenta hace un ratito

00:06:10.820 --> 00:06:16.490
si esta matriz de transformación puede ser representada como una matriz

00:06:16.490 --> 00:06:18.180
de producto vector-- y debería ser; es una transformación lineal

00:06:18.180 --> 00:06:22.940
-- entonces cualquier v que satisfaga que

00:06:22.940 --> 00:06:27.610
la transformación de-- diría que la transformación de v es igual

00:06:27.610 --> 00:06:32.520
a lambda v, que también podría ser--

00:06:32.520 --> 00:06:33.180
la transformación de [? v ?]

00:06:33.180 --> 00:06:36.380
solo sería A veces v.

00:06:36.380 --> 00:06:39.390
estos son también llamados eigenvalores de A, por que A

00:06:39.390 --> 00:06:41.570
es realmente una matriz de representación de

00:06:41.570 --> 00:06:43.090
la transformación

00:06:43.090 --> 00:06:51.560
entonces en este caso, esto sería un eigenvector de A, y esto

00:06:51.560 --> 00:06:53.690
sería un eigenvalor asociado con el

00:06:53.690 --> 00:06:54.940
eigenvector.

00:06:58.700 --> 00:07:00.940
Entonces si me das una matriz que representa alguna transformación

00:07:00.940 --> 00:07:01.880
lineal.

00:07:01.880 --> 00:07:03.880
Podrías también darte cuenta de esto.

00:07:03.880 --> 00:07:05.730
Ahora, en el próximo video nos vamos a dar cuenta

00:07:05.730 --> 00:07:07.080
la forma de descubrir esto.

00:07:07.080 --> 00:07:10.320
Pero lo que quiera que ustedes aprecien en este video es

00:07:10.320 --> 00:07:13.920
que es fácil decir, ah, el vector que

00:07:13.920 --> 00:07:15.130
no cambia mucho

00:07:15.130 --> 00:07:16.620
Pero yo quiero que ustedes entiendan que es lo que significa.

00:07:16.620 --> 00:07:19.860
Literalmente solo aumenta o disminuye su módulo, o por ahí se invierte

00:07:19.860 --> 00:07:22.060
La dirección o las líneas que extienden

00:07:22.060 --> 00:07:23.460
fundamentalmente no cambian

00:07:23.460 --> 00:07:26.400
Y la razón por la cual son interesantes para nosotros es, bueno

00:07:26.400 --> 00:07:28.790
una de las razones por la cual son interesantes para nosotros es que

00:07:28.790 --> 00:07:32.590
hacen buenos vectores de base--

00:07:32.590 --> 00:07:36.530
esas matrices de transformación son quizás más

00:07:36.530 --> 00:07:41.610
simples, o las que funcionan como un mejor sistema de coordenadas