0:00:00.730,0:00:06.870
Para cualquier transformación que mapea de Rn a Rn, hicimos

0:00:06.870,0:00:09.590
implicitamente, pero fue interesante para nosotros descubrir que

0:00:09.590,0:00:12.460
los vectores que esencialmente solo estiran por las

0:00:12.460,0:00:13.880
transformaciónes.

0:00:13.880,0:00:17.230
Entonces los vectores que tienen la forma-- la transformación de

0:00:17.230,0:00:20.950
mi vector es solamente igual a alguna versión

0:00:20.950,0:00:22.035
escalada de un vector.

0:00:22.035,0:00:24.290
Y si esto no resulta familiar, Puedo refrescar su

0:00:24.290,0:00:25.750
memoria un poquito.

0:00:25.750,0:00:27.690
Cuando estamos buscando alguna base de vectores para la

0:00:27.690,0:00:28.986
transformación-- déjenme dibujarlo.

0:00:28.986,0:00:31.190
Esto era para R² a R²

0:00:33.970,0:00:36.529
Entonces, déjenme dibujar R² acá.

0:00:36.945,0:00:44.305
Y digamos que tengo el vector v1 es igual a

0:00:44.321,0:00:45.732
el vector 1, 2.

0:00:45.870,0:00:48.728
Y tenemos las líneas que se extienden a través de ese vector.

0:00:48.913,0:00:52.000
Hicimos este problema varios videos atrás.

0:00:52.262,0:00:55.350
Y tengo la transformación que los da vuelta con respecto a esta línea.

0:00:55.350,0:01:01.230
Entonces si llamamos a esa linea I, T sería la transformación de R²

0:01:01.230,0:01:04.933
a R² que da vuelta los vectores con respecto a esa línea.

0:01:04.933,0:01:12.933
Entonces da vuelta los vectores con respecto a I.

0:01:12.933,0:01:15.740
Entonces si te acordás de la transformación, si yo tuviera algún

0:01:15.740,0:01:19.050
vector cualquiera que sea algo así, digamos que eso es x,

0:01:19.050,0:01:21.548
ese vector x, entonces la transformación de x sería

0:01:21.548,0:01:22.410
algo así.

0:01:22.410,0:01:24.640
Solo se da vuelta con respecto a esta línea.

0:01:24.640,0:01:26.770
Esa era la transformación de x.

0:01:26.770,0:01:28.990
Y si te acordás de ese video, estábamos buscando por un

0:01:28.990,0:01:31.670
cambio de base que nos permitiera por lo menos descubrir

0:01:31.670,0:01:34.640
la matriz para esa transformación, al menos en una

0:01:34.640,0:01:35.500
base alternativa.

0:01:35.500,0:01:36.900
Y si descubriéramos la matriz para la

0:01:36.900,0:01:38.950
transformación en la base estándar.

0:01:38.950,0:01:42.698
Y la base que elegimos fuesen vectores base que no

0:01:42.698,0:01:44.950
cambian mucho por la transformación, o unos que

0:01:44.950,0:01:46.817
solo se escalan por la transformación.

0:01:46.817,0:01:52.750
Por ejemplo, cuando agarro la transformación de v1 solo

0:01:52.750,0:01:54.320
igual a v1.

0:01:54.320,0:01:59.380
O podríamos decir que la transformación de v1 solo

0:01:59.380,0:02:02.800
fuese igual a 1 vez v1.

0:02:02.800,0:02:06.780
Entonces si solo seguimos este pequeño formato que preparé

0:02:06.780,0:02:08.860
aquí, lambda, en este caso, sería 1.

0:02:08.860,0:02:11.360
Y por supuesto, el vector en este caso es v1.

0:02:11.360,0:02:15.057
La transformación solo aumenta el tamaño de v1 por 1.

0:02:15.057,0:02:18.860
En el mismo problema, teníamos que otro vector

0:02:18.860,0:02:20.065
que también miramos.

0:02:20.065,0:02:27.670
Era el vector negativo-- digamos que es el vector v2,

0:02:28.255,0:02:32.210
que es-- digamos que es 2 menos 1.

0:02:32.410,0:02:34.420
Y entonce si tomás la transformación del mismo, ya que

0:02:34.420,0:02:36.250
es ortogonal a la linea, solo se dió

0:02:36.250,0:02:37.840
vuelta así.

0:02:37.840,0:02:39.760
Y esa es una fuerza interesante del vector

0:02:39.760,0:02:44.960
también, por que la transformación de v2 in esta

0:02:44.960,0:02:47.050
situación es igual a que ?

0:02:47.050,0:02:48.930
solo v2 negativo.

0:02:48.930,0:02:50.270
Es igual a menos v2.

0:02:50.270,0:02:54.920
O podrías decir que la transformación de v2 es igual

0:02:54.920,0:02:58.230
a menos una vez v2.

0:02:58.230,0:03:01.870
Y estos serían vectores interesantes para nosotros por que

0:03:01.870,0:03:06.390
si defino una nueva base con estos vectores como base, sería

0:03:06.390,0:03:09.065
muy fácil darse cuenta nuestra matriz de la transformación

0:03:09.065,0:03:12.000
Y la verdad que, esa sería una base muy fácil para hacer cálculos.

0:03:12.000,0:03:14.390
Y vamos a ver un poco más de eso más adelante.

0:03:14.390,0:03:16.620
Pero con un poco de suerte te vas a dar cuenta que son vectores interesantes.

0:03:16.620,0:03:21.750
También están los casos en donde tenemos los planos que definen

0:03:21.750,0:03:23.630
algunos vectores.

0:03:23.630,0:03:25.820
Y además tenemos otro vector que esta saliendo del

0:03:25.820,0:03:27.040
plano así.

0:03:27.040,0:03:29.320
Y estamos transformando las cosas, tomando la imagen

0:03:29.320,0:03:31.200
espejada. Y bueno ahí

0:03:31.200,0:03:34.360
la transformación, de estos vectores rojos no cambia para nada

0:03:34.360,0:03:35.960
y este se dió vuelta.

0:03:35.960,0:03:38.290
Entonces quizás esos harían una buena base.

0:03:38.290,0:03:40.250
O harían buenos vectores base.

0:03:40.250,0:03:41.240
y así fue.

0:03:41.240,0:03:44.850
Entonces en general, siempre vamos a estar interesados en los vectores

0:03:44.850,0:03:47.240
que solo se escalan por la transformación.

0:03:47.240,0:03:49.080
Que no van a ser todos los vectores, no ?

0:03:49.080,0:03:51.320
Este vector que dibujé aca, este vector x, no se

0:03:51.320,0:03:54.650
escala solamente, cambia también su dirección

0:03:54.650,0:03:56.730
cambia.

0:03:56.730,0:04:00.360
El vector que se escala, también podría cambiar su dirección

0:04:00.360,0:04:03.020
de esta dirección a esta otra dirección, o quizás

0:04:03.020,0:04:04.430
van para allá.

0:04:04.430,0:04:07.270
Por ahí ese es x y la transformación de x podría ser

0:04:07.270,0:04:08.460
la versión solamente escalada de x.

0:04:08.460,0:04:09.710
Por ahí es esta.

0:04:12.050,0:04:16.970
La verdadero, me imagino, línea que extienden no va a cambiar

0:04:16.970,0:04:19.350
Y eso nos vamos a fijar

0:04:19.350,0:04:21.019
Estos tienen un nombre especial.

0:04:21.019,0:04:23.660
Y estos tienen un nombre especial y quiero dejar esto bien

0:04:23.660,0:04:25.050
claro, por que son realmente útiles.

0:04:25.050,0:04:27.360
No es solo un juego matemático que estamos

0:04:27.360,0:04:29.970
jugando, aunque a veces caemos en eso

0:04:29.970,0:04:31.250
Pero estos son realmente importantes.

0:04:31.250,0:04:34.140
Son útiles para definir bases por que en esas bases

0:04:34.140,0:04:36.730
es más fácil encontrar matrices transformadas

0:04:36.730,0:04:38.950
Son un sistema de coordenadas más natural. Y

0:04:38.950,0:04:41.700
muchas veces, las matrices de la transformación en esas bases

0:04:41.700,0:04:43.620
es mejor para hacer cálculos.

0:04:43.620,0:04:47.060
Entonces estos tienen un nombre especial.

0:04:47.060,0:04:50.040
Para cualquier vector que satisfaga esto aquí es llamado un

0:04:50.040,0:04:57.810
eigenvector para la transformación T.

0:04:57.810,0:05:01.680
y el lambda, el múltiplo que surge-- este es el

0:05:01.680,0:05:12.410
eigenvalor asociado con ese eigenvector.

0:05:16.870,0:05:19.590
Entonces in el ejemplo solo mostré en donde la transformación está

0:05:19.590,0:05:24.020
dando vuelta con respecto a esta línea, v1, el vector 1, 2 es un

0:05:24.020,0:05:27.210
eigenvector de nuestra transformación

0:05:27.210,0:05:31.080
Entonces 1,2 es un eigenvector.

0:05:33.960,0:05:36.305
y su correspondiente eigenvalor es 1.

0:05:42.170,0:05:43.820
Este también es un eigenvector-- el

0:05:43.820,0:05:45.270
vector 2, menos 1.

0:05:45.270,0:05:47.520
También es un eigenvector.

0:05:47.520,0:05:50.440
Una palabra muy linda, pero solamente significa que es un vector que solamente

0:05:50.440,0:05:51.920
se escala por la transformación.

0:05:51.920,0:05:55.030
No cambia en ninguna otra forma que su

0:05:55.030,0:05:56.270
factor de escala.

0:05:56.270,0:06:03.860
I su eigenvalor correspondiente es menos 1.

0:06:03.860,0:06:05.580
Si esta transformación-- No se cual es

0:06:05.580,0:06:06.750
su matriz de transformación

0:06:06.750,0:06:07.990
Me olvidé como era

0:06:07.990,0:06:10.820
Pero nos dimos cuenta hace un ratito

0:06:10.820,0:06:16.490
si esta matriz de transformación puede ser representada como una matriz

0:06:16.490,0:06:18.180
de producto vector-- y debería ser; es una transformación lineal

0:06:18.180,0:06:22.940
-- entonces cualquier v que satisfaga que

0:06:22.940,0:06:27.610
la transformación de-- diría que la transformación de v es igual

0:06:27.610,0:06:32.520
a lambda v, que también podría ser--

0:06:32.520,0:06:33.180
la transformación de [? v ?]

0:06:33.180,0:06:36.380
solo sería A veces v.

0:06:36.380,0:06:39.390
estos son también llamados eigenvalores de A, por que A

0:06:39.390,0:06:41.570
es realmente una matriz de representación de

0:06:41.570,0:06:43.090
la transformación

0:06:43.090,0:06:51.560
entonces en este caso, esto sería un eigenvector de A, y esto

0:06:51.560,0:06:53.690
sería un eigenvalor asociado con el

0:06:53.690,0:06:54.940
eigenvector.

0:06:58.700,0:07:00.940
Entonces si me das una matriz que representa alguna transformación

0:07:00.940,0:07:01.880
lineal.

0:07:01.880,0:07:03.880
Podrías también darte cuenta de esto.

0:07:03.880,0:07:05.730
Ahora, en el próximo video nos vamos a dar cuenta

0:07:05.730,0:07:07.080
la forma de descubrir esto.

0:07:07.080,0:07:10.320
Pero lo que quiera que ustedes aprecien en este video es

0:07:10.320,0:07:13.920
que es fácil decir, ah, el vector que

0:07:13.920,0:07:15.130
no cambia mucho

0:07:15.130,0:07:16.620
Pero yo quiero que ustedes entiendan que es lo que significa.

0:07:16.620,0:07:19.860
Literalmente solo aumenta o disminuye su módulo, o por ahí se invierte

0:07:19.860,0:07:22.060
La dirección o las líneas que extienden

0:07:22.060,0:07:23.460
fundamentalmente no cambian

0:07:23.460,0:07:26.400
Y la razón por la cual son interesantes para nosotros es, bueno

0:07:26.400,0:07:28.790
una de las razones por la cual son interesantes para nosotros es que

0:07:28.790,0:07:32.590
hacen buenos vectores de base--

0:07:32.590,0:07:36.530
esas matrices de transformación son quizás más

0:07:36.530,0:07:41.610
simples, o las que funcionan como un mejor sistema de coordenadas