Para cualquier transformación que mapea de Rn a Rn, hicimos
implicitamente, pero fue interesante para nosotros descubrir que
los vectores que esencialmente solo estiran por las
transformaciónes.
Entonces los vectores que tienen la forma-- la transformación de
mi vector es solamente igual a alguna versión
escalada de un vector.
Y si esto no resulta familiar, Puedo refrescar su
memoria un poquito.
Cuando estamos buscando alguna base de vectores para la
transformación-- déjenme dibujarlo.
Esto era para R² a R²
Entonces, déjenme dibujar R² acá.
Y digamos que tengo el vector v1 es igual a
el vector 1, 2.
Y tenemos las líneas que se extienden a través de ese vector.
Hicimos este problema varios videos atrás.
Y tengo la transformación que los da vuelta con respecto a esta línea.
Entonces si llamamos a esa linea I, T sería la transformación de R²
a R² que da vuelta los vectores con respecto a esa línea.
Entonces da vuelta los vectores con respecto a I.
Entonces si te acordás de la transformación, si yo tuviera algún
vector cualquiera que sea algo así, digamos que eso es x,
ese vector x, entonces la transformación de x sería
algo así.
Solo se da vuelta con respecto a esta línea.
Esa era la transformación de x.
Y si te acordás de ese video, estábamos buscando por un
cambio de base que nos permitiera por lo menos descubrir
la matriz para esa transformación, al menos en una
base alternativa.
Y si descubriéramos la matriz para la
transformación en la base estándar.
Y la base que elegimos fuesen vectores base que no
cambian mucho por la transformación, o unos que
solo se escalan por la transformación.
Por ejemplo, cuando agarro la transformación de v1 solo
igual a v1.
O podríamos decir que la transformación de v1 solo
fuese igual a 1 vez v1.
Entonces si solo seguimos este pequeño formato que preparé
aquí, lambda, en este caso, sería 1.
Y por supuesto, el vector en este caso es v1.
La transformación solo aumenta el tamaño de v1 por 1.
En el mismo problema, teníamos que otro vector
que también miramos.
Era el vector negativo-- digamos que es el vector v2,
que es-- digamos que es 2 menos 1.
Y entonce si tomás la transformación del mismo, ya que
es ortogonal a la linea, solo se dió
vuelta así.
Y esa es una fuerza interesante del vector
también, por que la transformación de v2 in esta
situación es igual a que ?
solo v2 negativo.
Es igual a menos v2.
O podrías decir que la transformación de v2 es igual
a menos una vez v2.
Y estos serían vectores interesantes para nosotros por que
si defino una nueva base con estos vectores como base, sería
muy fácil darse cuenta nuestra matriz de la transformación
Y la verdad que, esa sería una base muy fácil para hacer cálculos.
Y vamos a ver un poco más de eso más adelante.
Pero con un poco de suerte te vas a dar cuenta que son vectores interesantes.
También están los casos en donde tenemos los planos que definen
algunos vectores.
Y además tenemos otro vector que esta saliendo del
plano así.
Y estamos transformando las cosas, tomando la imagen
espejada. Y bueno ahí
la transformación, de estos vectores rojos no cambia para nada
y este se dió vuelta.
Entonces quizás esos harían una buena base.
O harían buenos vectores base.
y así fue.
Entonces en general, siempre vamos a estar interesados en los vectores
que solo se escalan por la transformación.
Que no van a ser todos los vectores, no ?
Este vector que dibujé aca, este vector x, no se
escala solamente, cambia también su dirección
cambia.
El vector que se escala, también podría cambiar su dirección
de esta dirección a esta otra dirección, o quizás
van para allá.
Por ahí ese es x y la transformación de x podría ser
la versión solamente escalada de x.
Por ahí es esta.
La verdadero, me imagino, línea que extienden no va a cambiar
Y eso nos vamos a fijar
Estos tienen un nombre especial.
Y estos tienen un nombre especial y quiero dejar esto bien
claro, por que son realmente útiles.
No es solo un juego matemático que estamos
jugando, aunque a veces caemos en eso
Pero estos son realmente importantes.
Son útiles para definir bases por que en esas bases
es más fácil encontrar matrices transformadas
Son un sistema de coordenadas más natural. Y
muchas veces, las matrices de la transformación en esas bases
es mejor para hacer cálculos.
Entonces estos tienen un nombre especial.
Para cualquier vector que satisfaga esto aquí es llamado un
eigenvector para la transformación T.
y el lambda, el múltiplo que surge-- este es el
eigenvalor asociado con ese eigenvector.
Entonces in el ejemplo solo mostré en donde la transformación está
dando vuelta con respecto a esta línea, v1, el vector 1, 2 es un
eigenvector de nuestra transformación
Entonces 1,2 es un eigenvector.
y su correspondiente eigenvalor es 1.
Este también es un eigenvector-- el
vector 2, menos 1.
También es un eigenvector.
Una palabra muy linda, pero solamente significa que es un vector que solamente
se escala por la transformación.
No cambia en ninguna otra forma que su
factor de escala.
I su eigenvalor correspondiente es menos 1.
Si esta transformación-- No se cual es
su matriz de transformación
Me olvidé como era
Pero nos dimos cuenta hace un ratito
si esta matriz de transformación puede ser representada como una matriz
de producto vector-- y debería ser; es una transformación lineal
-- entonces cualquier v que satisfaga que
la transformación de-- diría que la transformación de v es igual
a lambda v, que también podría ser--
la transformación de [? v ?]
solo sería A veces v.
estos son también llamados eigenvalores de A, por que A
es realmente una matriz de representación de
la transformación
entonces en este caso, esto sería un eigenvector de A, y esto
sería un eigenvalor asociado con el
eigenvector.
Entonces si me das una matriz que representa alguna transformación
lineal.
Podrías también darte cuenta de esto.
Ahora, en el próximo video nos vamos a dar cuenta
la forma de descubrir esto.
Pero lo que quiera que ustedes aprecien en este video es
que es fácil decir, ah, el vector que
no cambia mucho
Pero yo quiero que ustedes entiendan que es lo que significa.
Literalmente solo aumenta o disminuye su módulo, o por ahí se invierte
La dirección o las líneas que extienden
fundamentalmente no cambian
Y la razón por la cual son interesantes para nosotros es, bueno
una de las razones por la cual son interesantes para nosotros es que
hacen buenos vectores de base--
esas matrices de transformación son quizás más
simples, o las que funcionan como un mejor sistema de coordenadas