1
00:00:00,730 --> 00:00:06,870
Para cualquier transformación que mapea de Rn a Rn, hicimos

2
00:00:06,870 --> 00:00:09,590
implicitamente, pero fue interesante para nosotros descubrir que

3
00:00:09,590 --> 00:00:12,460
los vectores que esencialmente solo estiran por las

4
00:00:12,460 --> 00:00:13,880
transformaciónes.

5
00:00:13,880 --> 00:00:17,230
Entonces los vectores que tienen la forma-- la transformación de

6
00:00:17,230 --> 00:00:20,950
mi vector es solamente igual a alguna versión

7
00:00:20,950 --> 00:00:22,035
escalada de un vector.

8
00:00:22,035 --> 00:00:24,290
Y si esto no resulta familiar, Puedo refrescar su

9
00:00:24,290 --> 00:00:25,750
memoria un poquito.

10
00:00:25,750 --> 00:00:27,690
Cuando estamos buscando alguna base de vectores para la

11
00:00:27,690 --> 00:00:28,986
transformación-- déjenme dibujarlo.

12
00:00:28,986 --> 00:00:31,190
Esto era para R² a R²

13
00:00:33,970 --> 00:00:36,529
Entonces, déjenme dibujar R² acá.

14
00:00:36,945 --> 00:00:44,305
Y digamos que tengo el vector v1 es igual a

15
00:00:44,321 --> 00:00:45,732
el vector 1, 2.

16
00:00:45,870 --> 00:00:48,728
Y tenemos las líneas que se extienden a través de ese vector.

17
00:00:48,913 --> 00:00:52,000
Hicimos este problema varios videos atrás.

18
00:00:52,262 --> 00:00:55,350
Y tengo la transformación que los da vuelta con respecto a esta línea.

19
00:00:55,350 --> 00:01:01,230
Entonces si llamamos a esa linea I, T sería la transformación de R²

20
00:01:01,230 --> 00:01:04,933
a R² que da vuelta los vectores con respecto a esa línea.

21
00:01:04,933 --> 00:01:12,933
Entonces da vuelta los vectores con respecto a I.

22
00:01:12,933 --> 00:01:15,740
Entonces si te acordás de la transformación, si yo tuviera algún

23
00:01:15,740 --> 00:01:19,050
vector cualquiera que sea algo así, digamos que eso es x,

24
00:01:19,050 --> 00:01:21,548
ese vector x, entonces la transformación de x sería

25
00:01:21,548 --> 00:01:22,410
algo así.

26
00:01:22,410 --> 00:01:24,640
Solo se da vuelta con respecto a esta línea.

27
00:01:24,640 --> 00:01:26,770
Esa era la transformación de x.

28
00:01:26,770 --> 00:01:28,990
Y si te acordás de ese video, estábamos buscando por un

29
00:01:28,990 --> 00:01:31,670
cambio de base que nos permitiera por lo menos descubrir

30
00:01:31,670 --> 00:01:34,640
la matriz para esa transformación, al menos en una

31
00:01:34,640 --> 00:01:35,500
base alternativa.

32
00:01:35,500 --> 00:01:36,900
Y si descubriéramos la matriz para la

33
00:01:36,900 --> 00:01:38,950
transformación en la base estándar.

34
00:01:38,950 --> 00:01:42,698
Y la base que elegimos fuesen vectores base que no

35
00:01:42,698 --> 00:01:44,950
cambian mucho por la transformación, o unos que

36
00:01:44,950 --> 00:01:46,817
solo se escalan por la transformación.

37
00:01:46,817 --> 00:01:52,750
Por ejemplo, cuando agarro la transformación de v1 solo

38
00:01:52,750 --> 00:01:54,320
igual a v1.

39
00:01:54,320 --> 00:01:59,380
O podríamos decir que la transformación de v1 solo

40
00:01:59,380 --> 00:02:02,800
fuese igual a 1 vez v1.

41
00:02:02,800 --> 00:02:06,780
Entonces si solo seguimos este pequeño formato que preparé

42
00:02:06,780 --> 00:02:08,860
aquí, lambda, en este caso, sería 1.

43
00:02:08,860 --> 00:02:11,360
Y por supuesto, el vector en este caso es v1.

44
00:02:11,360 --> 00:02:15,057
La transformación solo aumenta el tamaño de v1 por 1.

45
00:02:15,057 --> 00:02:18,860
En el mismo problema, teníamos que otro vector

46
00:02:18,860 --> 00:02:20,065
que también miramos.

47
00:02:20,065 --> 00:02:27,670
Era el vector negativo-- digamos que es el vector v2,

48
00:02:28,255 --> 00:02:32,210
que es-- digamos que es 2 menos 1.

49
00:02:32,410 --> 00:02:34,420
Y entonce si tomás la transformación del mismo, ya que

50
00:02:34,420 --> 00:02:36,250
es ortogonal a la linea, solo se dió

51
00:02:36,250 --> 00:02:37,840
vuelta así.

52
00:02:37,840 --> 00:02:39,760
Y esa es una fuerza interesante del vector

53
00:02:39,760 --> 00:02:44,960
también, por que la transformación de v2 in esta

54
00:02:44,960 --> 00:02:47,050
situación es igual a que ?

55
00:02:47,050 --> 00:02:48,930
solo v2 negativo.

56
00:02:48,930 --> 00:02:50,270
Es igual a menos v2.

57
00:02:50,270 --> 00:02:54,920
O podrías decir que la transformación de v2 es igual

58
00:02:54,920 --> 00:02:58,230
a menos una vez v2.

59
00:02:58,230 --> 00:03:01,870
Y estos serían vectores interesantes para nosotros por que

60
00:03:01,870 --> 00:03:06,390
si defino una nueva base con estos vectores como base, sería

61
00:03:06,390 --> 00:03:09,065
muy fácil darse cuenta nuestra matriz de la transformación

62
00:03:09,065 --> 00:03:12,000
Y la verdad que, esa sería una base muy fácil para hacer cálculos.

63
00:03:12,000 --> 00:03:14,390
Y vamos a ver un poco más de eso más adelante.

64
00:03:14,390 --> 00:03:16,620
Pero con un poco de suerte te vas a dar cuenta que son vectores interesantes.

65
00:03:16,620 --> 00:03:21,750
También están los casos en donde tenemos los planos que definen

66
00:03:21,750 --> 00:03:23,630
algunos vectores.

67
00:03:23,630 --> 00:03:25,820
Y además tenemos otro vector que esta saliendo del

68
00:03:25,820 --> 00:03:27,040
plano así.

69
00:03:27,040 --> 00:03:29,320
Y estamos transformando las cosas, tomando la imagen

70
00:03:29,320 --> 00:03:31,200
espejada. Y bueno ahí

71
00:03:31,200 --> 00:03:34,360
la transformación, de estos vectores rojos no cambia para nada

72
00:03:34,360 --> 00:03:35,960
y este se dió vuelta.

73
00:03:35,960 --> 00:03:38,290
Entonces quizás esos harían una buena base.

74
00:03:38,290 --> 00:03:40,250
O harían buenos vectores base.

75
00:03:40,250 --> 00:03:41,240
y así fue.

76
00:03:41,240 --> 00:03:44,850
Entonces en general, siempre vamos a estar interesados en los vectores

77
00:03:44,850 --> 00:03:47,240
que solo se escalan por la transformación.

78
00:03:47,240 --> 00:03:49,080
Que no van a ser todos los vectores, no ?

79
00:03:49,080 --> 00:03:51,320
Este vector que dibujé aca, este vector x, no se

80
00:03:51,320 --> 00:03:54,650
escala solamente, cambia también su dirección

81
00:03:54,650 --> 00:03:56,730
cambia.

82
00:03:56,730 --> 00:04:00,360
El vector que se escala, también podría cambiar su dirección

83
00:04:00,360 --> 00:04:03,020
de esta dirección a esta otra dirección, o quizás

84
00:04:03,020 --> 00:04:04,430
van para allá.

85
00:04:04,430 --> 00:04:07,270
Por ahí ese es x y la transformación de x podría ser

86
00:04:07,270 --> 00:04:08,460
la versión solamente escalada de x.

87
00:04:08,460 --> 00:04:09,710
Por ahí es esta.

88
00:04:12,050 --> 00:04:16,970
La verdadero, me imagino, línea que extienden no va a cambiar

89
00:04:16,970 --> 00:04:19,350
Y eso nos vamos a fijar

90
00:04:19,350 --> 00:04:21,019
Estos tienen un nombre especial.

91
00:04:21,019 --> 00:04:23,660
Y estos tienen un nombre especial y quiero dejar esto bien

92
00:04:23,660 --> 00:04:25,050
claro, por que son realmente útiles.

93
00:04:25,050 --> 00:04:27,360
No es solo un juego matemático que estamos

94
00:04:27,360 --> 00:04:29,970
jugando, aunque a veces caemos en eso

95
00:04:29,970 --> 00:04:31,250
Pero estos son realmente importantes.

96
00:04:31,250 --> 00:04:34,140
Son útiles para definir bases por que en esas bases

97
00:04:34,140 --> 00:04:36,730
es más fácil encontrar matrices transformadas

98
00:04:36,730 --> 00:04:38,950
Son un sistema de coordenadas más natural. Y

99
00:04:38,950 --> 00:04:41,700
muchas veces, las matrices de la transformación en esas bases

100
00:04:41,700 --> 00:04:43,620
es mejor para hacer cálculos.

101
00:04:43,620 --> 00:04:47,060
Entonces estos tienen un nombre especial.

102
00:04:47,060 --> 00:04:50,040
Para cualquier vector que satisfaga esto aquí es llamado un

103
00:04:50,040 --> 00:04:57,810
eigenvector para la transformación T.

104
00:04:57,810 --> 00:05:01,680
y el lambda, el múltiplo que surge-- este es el

105
00:05:01,680 --> 00:05:12,410
eigenvalor asociado con ese eigenvector.

106
00:05:16,870 --> 00:05:19,590
Entonces in el ejemplo solo mostré en donde la transformación está

107
00:05:19,590 --> 00:05:24,020
dando vuelta con respecto a esta línea, v1, el vector 1, 2 es un

108
00:05:24,020 --> 00:05:27,210
eigenvector de nuestra transformación

109
00:05:27,210 --> 00:05:31,080
Entonces 1,2 es un eigenvector.

110
00:05:33,960 --> 00:05:36,305
y su correspondiente eigenvalor es 1.

111
00:05:42,170 --> 00:05:43,820
Este también es un eigenvector-- el

112
00:05:43,820 --> 00:05:45,270
vector 2, menos 1.

113
00:05:45,270 --> 00:05:47,520
También es un eigenvector.

114
00:05:47,520 --> 00:05:50,440
Una palabra muy linda, pero solamente significa que es un vector que solamente

115
00:05:50,440 --> 00:05:51,920
se escala por la transformación.

116
00:05:51,920 --> 00:05:55,030
No cambia en ninguna otra forma que su

117
00:05:55,030 --> 00:05:56,270
factor de escala.

118
00:05:56,270 --> 00:06:03,860
I su eigenvalor correspondiente es menos 1.

119
00:06:03,860 --> 00:06:05,580
Si esta transformación-- No se cual es

120
00:06:05,580 --> 00:06:06,750
su matriz de transformación

121
00:06:06,750 --> 00:06:07,990
Me olvidé como era

122
00:06:07,990 --> 00:06:10,820
Pero nos dimos cuenta hace un ratito

123
00:06:10,820 --> 00:06:16,490
si esta matriz de transformación puede ser representada como una matriz

124
00:06:16,490 --> 00:06:18,180
de producto vector-- y debería ser; es una transformación lineal

125
00:06:18,180 --> 00:06:22,940
-- entonces cualquier v que satisfaga que

126
00:06:22,940 --> 00:06:27,610
la transformación de-- diría que la transformación de v es igual

127
00:06:27,610 --> 00:06:32,520
a lambda v, que también podría ser--

128
00:06:32,520 --> 00:06:33,180
la transformación de [? v ?]

129
00:06:33,180 --> 00:06:36,380
solo sería A veces v.

130
00:06:36,380 --> 00:06:39,390
estos son también llamados eigenvalores de A, por que A

131
00:06:39,390 --> 00:06:41,570
es realmente una matriz de representación de

132
00:06:41,570 --> 00:06:43,090
la transformación

133
00:06:43,090 --> 00:06:51,560
entonces en este caso, esto sería un eigenvector de A, y esto

134
00:06:51,560 --> 00:06:53,690
sería un eigenvalor asociado con el

135
00:06:53,690 --> 00:06:54,940
eigenvector.

136
00:06:58,700 --> 00:07:00,940
Entonces si me das una matriz que representa alguna transformación

137
00:07:00,940 --> 00:07:01,880
lineal.

138
00:07:01,880 --> 00:07:03,880
Podrías también darte cuenta de esto.

139
00:07:03,880 --> 00:07:05,730
Ahora, en el próximo video nos vamos a dar cuenta

140
00:07:05,730 --> 00:07:07,080
la forma de descubrir esto.

141
00:07:07,080 --> 00:07:10,320
Pero lo que quiera que ustedes aprecien en este video es

142
00:07:10,320 --> 00:07:13,920
que es fácil decir, ah, el vector que

143
00:07:13,920 --> 00:07:15,130
no cambia mucho

144
00:07:15,130 --> 00:07:16,620
Pero yo quiero que ustedes entiendan que es lo que significa.

145
00:07:16,620 --> 00:07:19,860
Literalmente solo aumenta o disminuye su módulo, o por ahí se invierte

146
00:07:19,860 --> 00:07:22,060
La dirección o las líneas que extienden

147
00:07:22,060 --> 00:07:23,460
fundamentalmente no cambian

148
00:07:23,460 --> 00:07:26,400
Y la razón por la cual son interesantes para nosotros es, bueno

149
00:07:26,400 --> 00:07:28,790
una de las razones por la cual son interesantes para nosotros es que

150
00:07:28,790 --> 00:07:32,590
hacen buenos vectores de base--

151
00:07:32,590 --> 00:07:36,530
esas matrices de transformación son quizás más

152
00:07:36,530 --> 00:07:41,610
simples, o las que funcionan como un mejor sistema de coordenadas