-
Figura ABCDEF to sześciokąt foremny.
-
Sześciokąt to figura o 6 bokach.
-
Można je policzyć, więc nie musicie wierzyć na słowo.
-
Przymiotnik „foremny” oznacza
-
że wszystkie boki mają tę samą długość
-
i wszystkie kąty są przystające, czyli identyczne.
-
Znamy też długość jednego z boków
-
a więc wszystkich, bo to sześciokąt foremny.
-
Jest równa dwa pierwiastki z trzech (2√3).
-
Ten bok ma długość 2√3…
-
ten taką samą…
-
i tak dalej.
-
Wszystkie boki są równe.
-
Mamy obliczyć pole tego sześciokąta.
-
Sześciokąta ABCDEF.
-
Najlepszy sposób to podzielić go na trójkąty.
-
Ta metoda działa w przypadku każdego wielokąta
-
ale z figurami foremnymi jest wyjątkowo łatwa.
-
Zwłaszcza z sześciokątem foremnym.
-
Zaznaczmy ten punkt.
-
Niech to będzie punkt G.
-
To jakby środek sześciokąta.
-
Nie jest środkiem, bo musiałby być równo
odległy od wszystkiego, a to niemożliwe.
-
Wystarczy, że jest równo
odległy od wierzchołków.
-
Odcinek GD…
-
jest taki sam jak GC…
-
taki sam jak GB…
-
taki sam jak GA…
-
taki sam jak GF…
-
i taki sam jak GE.
-
Narysuję te odcinki.
-
To jest GE…
-
to jest GD…
-
GC…
Wszystkie mają równą długość.
-
Dlatego nazwałem punkt G
środkiem tego wielokąta.
-
Ten odcinek jest równy temu…
-
temu… temu… temu… i temu.
-
Wiemy też, że gdybyśmy okrążyli
ten środek w ten sposób
-
pokonalibyśmy 360 stopni.
-
Oraz że wszystkie te trójkąty są przystające.
-
Można to udowodnić.
-
Dwa boki każdego z nich mają równą długość
bo punkt G jest geometrycznym środkiem.
-
Trzeci bok również ma równą długość 2√3.
-
Zatem na mocy zasady bok-bok-bok
te trójkąty są przystające.
-
A skoro są przystające
-
to ten wewnętrzny kąt przy punkcie G
-
jest identyczny w każdym z tych 6 trójkątów.
-
Nazwijmy go „x”.
-
To jest x... to jest x...
-
to jest x... to jest x... i to jest x.
-
Ich suma to pełne koło, 360 stopni.
-
I jest ich 6.
-
6 x = 360 stopni
-
Dzielimy obie strony przez 6 i otrzymujemy:
-
x = 60 stopni
-
Wszystkie kąty mają 60 stopni.
-
Teraz coś ciekawego.
-
Wiemy, że te trójkąty…
-
na przykład trójkąt GBC,
ale dotyczy to każdego…
-
Wyszło nam koło fortuny.
-
Wiemy, że to trójkąt RÓWNORAMIENNY,
bo ten bok jest równy temu.
-
Mając tę informację możemy
obliczyć pozostałe kąty
-
ponieważ w trójkącie równoramiennym
kąty przy podstawie są równe.
-
Ten jest równy temu.
-
Nazwijmy je „y”.
-
Zatem y + y, czyli 2y…
-
dodać 60 stopni…
-
musi się równać 180…
-
bo tyle wynosi suma kątów każdego trójkąta.
-
Odejmuję 60 od obu stron i zostaje
-
2 y = 120
-
Dzielę przez 2 i mamy
y = 60
-
To ciekawe, bo wyszło na to,
że WSZYSTKIE kąty w tych trójkątach są równe.
-
A kiedyś, przy okazji omawiania
trójkątów udowodniliśmy
-
że jeśli w trójkącie wszystkie
kąty wynoszą 60 stopni
-
to mamy do czynienia
z trójkątem równobocznym
-
w którym wszystkie BOKI są równe.
-
Skoro ten bok ma długość 2√3
-
to także ten…
-
i ten.
-
Wszystkie zielone odcinki mają tę długość
-
i, o czym już wcześniej wiedzieliśmy
-
także wszystkie żółte odcinki
mają długość 2√3.
-
Możemy wykorzystać tę informację
-
do obliczenia…
-
Właściwie nie trzeba tego liczyć,
co pokażę za chwilę…
-
…do obliczenia pola jednego trójkąta,
które pomnożymy przez 6.
-
Spróbujmy obliczyć pole tego trójkąta.
-
Długość DC wynosi 2√3.
-
Spuszczamy wysokość…
-
W taki sposób…
-
Wiemy jednocześnie, że jest to
trójkąt równoboczny.
-
Te trójkąty są zatem symetryczne.
-
Tu są kąty proste…
-
a tu jest 60 stopni.
-
Jeśli potraktujemy te trójkąty osobno
-
kąty sumują się do 180.
-
Więc tu musi być 30…
-
i tu też.
-
Mają takie same kąty i jeden wspólny bok,
więc są przystające.
-
Chcemy obliczyć pole tego dużego trójkąta.
-
Zrobimy to obliczając pole tego
mniejszego trójkąta i mnożąc je przez dwa.
-
Albo od razu przez 12,
aby otrzymać pole sześciokąta.
-
Jak obliczyć to pole?
-
Podstawa będzie równa połowie boku.
-
Ten odcinek…
-
Opiszmy ten punkt jako H…
-
DH = √3
-
I mamy do czynienia z kątami:
30 60 90.
-
Przerysuję go tutaj.
-
Tu jest kąt 30 stopni…
-
tu 60 stopni…
-
a tu 90 stopni.
-
Ten odcinek ma długość √3.
-
Wiemy również, że ten ma długość 2√3.
-
Ale to nam niepotrzebne.
-
Musimy wyliczyć tę wysokość
-
a wiadomo, że w trójkącie 30-60-90
-
dłuższa przyprostokątna ma długość
√3 razy długość krótszej przyprostokątnej.
-
Więc to będzie √3 * √3.
-
A to się równa po prostu 3.
-
Zatem ta wysokość ma długość 3.
-
Obliczmy pole tego trójkąta.
-
Czyli tego.
-
1/2 * podstawa * wysokość
-
Pole tego wycinka to 1/2
razy ta podstawa…
-
Właściwie to zostawmy ten trójkąt
i policzmy ten większy – GDC.
-
Wymażę to, bo znamy już
jego podstawę i wysokość.
-
Pole trójkąta GDC…
-
Teraz interesuje mnie całe to pole.
-
…jest równe 1/2 * podstawa * wysokość
-
Co jest podstawą?
-
Jeden z boków sześciokąta.
-
Cały ten odcinek równy 2√3.
-
1/2 * 2√3 *…
-
I teraz wysokość, którą wyliczyliśmy tutaj.
-
Wysokość jest równa 3, więc razy 3.
-
1/2 i 2 się znoszą…
-
i zostają 3√3.
-
To pole jednego z takich trójkątów.
-
Aby obliczyć pole całego sześciokąta,
musimy pomnożyć je przez 6
-
bo trójkątów jest 6.
-
Pole całości jest więc równe:
6 * 3√3
-
czyli 18√3.
-
I koniec.
