[Script Info]
Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.46,0:00:06.24,Default,,0000,0000,0000,,Figura ABCDEF to sześciokąt foremny.
Dialogue: 0,0:00:06.34,0:00:08.82,Default,,0000,0000,0000,,Sześciokąt to figura o 6 bokach.
Dialogue: 0,0:00:08.92,0:00:11.90,Default,,0000,0000,0000,,Można je policzyć, więc nie musicie wierzyć na słowo.
Dialogue: 0,0:00:12.00,0:00:13.69,Default,,0000,0000,0000,,Przymiotnik „foremny” oznacza
Dialogue: 0,0:00:13.79,0:00:16.83,Default,,0000,0000,0000,,że wszystkie boki mają tę samą długość
Dialogue: 0,0:00:16.93,0:00:20.53,Default,,0000,0000,0000,,i wszystkie kąty są przystające, czyli identyczne.
Dialogue: 0,0:00:20.66,0:00:23.28,Default,,0000,0000,0000,,Znamy też długość jednego z boków
Dialogue: 0,0:00:23.38,0:00:26.57,Default,,0000,0000,0000,,a więc wszystkich, bo to sześciokąt foremny.
Dialogue: 0,0:00:26.67,0:00:28.52,Default,,0000,0000,0000,,Jest równa dwa pierwiastki z trzech (2√3).
Dialogue: 0,0:00:28.69,0:00:31.04,Default,,0000,0000,0000,,Ten bok ma długość 2√3…
Dialogue: 0,0:00:31.14,0:00:32.51,Default,,0000,0000,0000,,ten taką samą…
Dialogue: 0,0:00:32.61,0:00:33.76,Default,,0000,0000,0000,,i tak dalej.
Dialogue: 0,0:00:33.86,0:00:36.32,Default,,0000,0000,0000,,Wszystkie boki są równe.
Dialogue: 0,0:00:36.42,0:00:38.100,Default,,0000,0000,0000,,Mamy obliczyć pole tego sześciokąta.
Dialogue: 0,0:00:39.10,0:00:42.15,Default,,0000,0000,0000,,Sześciokąta ABCDEF.
Dialogue: 0,0:00:42.34,0:00:46.72,Default,,0000,0000,0000,,Najlepszy sposób to podzielić go na trójkąty.
Dialogue: 0,0:00:46.82,0:00:49.55,Default,,0000,0000,0000,,Ta metoda działa w przypadku każdego wielokąta
Dialogue: 0,0:00:49.65,0:00:52.38,Default,,0000,0000,0000,,ale z figurami foremnymi jest wyjątkowo łatwa.
Dialogue: 0,0:00:52.58,0:00:55.20,Default,,0000,0000,0000,,Zwłaszcza z sześciokątem foremnym.
Dialogue: 0,0:00:55.30,0:00:57.12,Default,,0000,0000,0000,,Zaznaczmy ten punkt.
Dialogue: 0,0:00:57.22,0:00:59.21,Default,,0000,0000,0000,,Niech to będzie punkt G.
Dialogue: 0,0:00:59.31,0:01:01.60,Default,,0000,0000,0000,,To jakby środek sześciokąta.
Dialogue: 0,0:01:01.70,0:01:08.72,Default,,0000,0000,0000,,Nie jest środkiem, bo musiałby być równo\Nodległy od wszystkiego, a to niemożliwe.
Dialogue: 0,0:01:08.82,0:01:11.35,Default,,0000,0000,0000,,Wystarczy, że jest równo\Nodległy od wierzchołków.
Dialogue: 0,0:01:11.45,0:01:12.53,Default,,0000,0000,0000,,Odcinek GD…
Dialogue: 0,0:01:12.63,0:01:13.84,Default,,0000,0000,0000,,jest taki sam jak GC…
Dialogue: 0,0:01:13.94,0:01:14.95,Default,,0000,0000,0000,,taki sam jak GB…
Dialogue: 0,0:01:15.05,0:01:16.06,Default,,0000,0000,0000,,taki sam jak GA…
Dialogue: 0,0:01:16.16,0:01:17.78,Default,,0000,0000,0000,,taki sam jak GF…
Dialogue: 0,0:01:17.88,0:01:19.37,Default,,0000,0000,0000,,i taki sam jak GE.
Dialogue: 0,0:01:19.47,0:01:21.77,Default,,0000,0000,0000,,Narysuję te odcinki.
Dialogue: 0,0:01:22.03,0:01:23.57,Default,,0000,0000,0000,,To jest GE…
Dialogue: 0,0:01:24.03,0:01:25.42,Default,,0000,0000,0000,,to jest GD…
Dialogue: 0,0:01:25.92,0:01:28.68,Default,,0000,0000,0000,,GC…\NWszystkie mają równą długość.
Dialogue: 0,0:01:29.22,0:01:34.66,Default,,0000,0000,0000,,Dlatego nazwałem punkt G\Nśrodkiem tego wielokąta.
Dialogue: 0,0:01:34.76,0:01:36.85,Default,,0000,0000,0000,,Ten odcinek jest równy temu…
Dialogue: 0,0:01:36.95,0:01:40.90,Default,,0000,0000,0000,,temu… temu… temu… i temu.
Dialogue: 0,0:01:41.20,0:01:47.30,Default,,0000,0000,0000,,Wiemy też, że gdybyśmy okrążyli\Nten środek w ten sposób
Dialogue: 0,0:01:47.40,0:01:50.15,Default,,0000,0000,0000,,pokonalibyśmy 360 stopni.
Dialogue: 0,0:01:50.25,0:01:56.46,Default,,0000,0000,0000,,Oraz że wszystkie te trójkąty są przystające.
Dialogue: 0,0:01:56.56,0:01:58.82,Default,,0000,0000,0000,,Można to udowodnić.
Dialogue: 0,0:01:58.92,0:02:04.50,Default,,0000,0000,0000,,Dwa boki każdego z nich mają równą długość\Nbo punkt G jest geometrycznym środkiem.
Dialogue: 0,0:02:04.61,0:02:08.48,Default,,0000,0000,0000,,Trzeci bok również ma równą długość 2√3.
Dialogue: 0,0:02:08.58,0:02:13.24,Default,,0000,0000,0000,,Zatem na mocy zasady bok-bok-bok\Nte trójkąty są przystające.
Dialogue: 0,0:02:13.72,0:02:16.37,Default,,0000,0000,0000,,A skoro są przystające
Dialogue: 0,0:02:16.47,0:02:19.34,Default,,0000,0000,0000,,to ten wewnętrzny kąt przy punkcie G
Dialogue: 0,0:02:19.44,0:02:26.12,Default,,0000,0000,0000,,jest identyczny w każdym z tych 6 trójkątów.
Dialogue: 0,0:02:26.22,0:02:27.85,Default,,0000,0000,0000,,Nazwijmy go „x”.
Dialogue: 0,0:02:27.95,0:02:29.60,Default,,0000,0000,0000,,To jest x... to jest x...
Dialogue: 0,0:02:29.70,0:02:32.19,Default,,0000,0000,0000,,to jest x... to jest x... i to jest x.
Dialogue: 0,0:02:32.29,0:02:36.57,Default,,0000,0000,0000,,Ich suma to pełne koło, 360 stopni.
Dialogue: 0,0:02:36.67,0:02:38.22,Default,,0000,0000,0000,,I jest ich 6.
Dialogue: 0,0:02:38.38,0:02:41.80,Default,,0000,0000,0000,,6 x = 360 stopni
Dialogue: 0,0:02:41.90,0:02:45.06,Default,,0000,0000,0000,,Dzielimy obie strony przez 6 i otrzymujemy:
Dialogue: 0,0:02:45.16,0:02:48.79,Default,,0000,0000,0000,,x = 60 stopni
Dialogue: 0,0:02:48.89,0:02:51.07,Default,,0000,0000,0000,,Wszystkie kąty mają 60 stopni.
Dialogue: 0,0:02:51.17,0:02:52.37,Default,,0000,0000,0000,,Teraz coś ciekawego.
Dialogue: 0,0:02:52.47,0:02:53.80,Default,,0000,0000,0000,,Wiemy, że te trójkąty…
Dialogue: 0,0:02:53.90,0:02:58.01,Default,,0000,0000,0000,,na przykład trójkąt GBC,\Nale dotyczy to każdego…
Dialogue: 0,0:02:58.11,0:02:59.90,Default,,0000,0000,0000,,Wyszło nam koło fortuny.
Dialogue: 0,0:03:00.00,0:03:04.71,Default,,0000,0000,0000,,Wiemy, że to trójkąt RÓWNORAMIENNY,\Nbo ten bok jest równy temu.
Dialogue: 0,0:03:04.81,0:03:09.24,Default,,0000,0000,0000,,Mając tę informację możemy\Nobliczyć pozostałe kąty
Dialogue: 0,0:03:09.34,0:03:14.66,Default,,0000,0000,0000,,ponieważ w trójkącie równoramiennym\Nkąty przy podstawie są równe.
Dialogue: 0,0:03:14.79,0:03:16.90,Default,,0000,0000,0000,,Ten jest równy temu.
Dialogue: 0,0:03:17.00,0:03:19.42,Default,,0000,0000,0000,,Nazwijmy je „y”.
Dialogue: 0,0:03:19.52,0:03:22.60,Default,,0000,0000,0000,,Zatem y + y, czyli 2y…
Dialogue: 0,0:03:22.70,0:03:24.72,Default,,0000,0000,0000,,dodać 60 stopni…
Dialogue: 0,0:03:24.82,0:03:28.57,Default,,0000,0000,0000,,musi się równać 180…
Dialogue: 0,0:03:28.67,0:03:31.73,Default,,0000,0000,0000,,bo tyle wynosi suma kątów każdego trójkąta.
Dialogue: 0,0:03:31.86,0:03:34.28,Default,,0000,0000,0000,,Odejmuję 60 od obu stron i zostaje
Dialogue: 0,0:03:34.38,0:03:36.51,Default,,0000,0000,0000,,2 y = 120
Dialogue: 0,0:03:36.61,0:03:40.60,Default,,0000,0000,0000,,Dzielę przez 2 i mamy\Ny = 60
Dialogue: 0,0:03:40.70,0:03:46.44,Default,,0000,0000,0000,,To ciekawe, bo wyszło na to,\Nże WSZYSTKIE kąty w tych trójkątach są równe.
Dialogue: 0,0:03:46.54,0:03:51.27,Default,,0000,0000,0000,,A kiedyś, przy okazji omawiania\Ntrójkątów udowodniliśmy
Dialogue: 0,0:03:51.37,0:03:54.57,Default,,0000,0000,0000,,że jeśli w trójkącie wszystkie\Nkąty wynoszą 60 stopni
Dialogue: 0,0:03:54.67,0:03:57.41,Default,,0000,0000,0000,,to mamy do czynienia\Nz trójkątem równobocznym
Dialogue: 0,0:03:57.51,0:03:59.80,Default,,0000,0000,0000,,w którym wszystkie BOKI są równe.
Dialogue: 0,0:03:59.90,0:04:01.78,Default,,0000,0000,0000,,Skoro ten bok ma długość 2√3
Dialogue: 0,0:04:01.88,0:04:04.26,Default,,0000,0000,0000,,to także ten…
Dialogue: 0,0:04:04.36,0:04:06.21,Default,,0000,0000,0000,,i ten.
Dialogue: 0,0:04:06.31,0:04:08.99,Default,,0000,0000,0000,,Wszystkie zielone odcinki mają tę długość
Dialogue: 0,0:04:09.09,0:04:11.54,Default,,0000,0000,0000,,i, o czym już wcześniej wiedzieliśmy
Dialogue: 0,0:04:11.64,0:04:15.79,Default,,0000,0000,0000,,także wszystkie żółte odcinki\Nmają długość 2√3.
Dialogue: 0,0:04:15.89,0:04:20.49,Default,,0000,0000,0000,,Możemy wykorzystać tę informację
Dialogue: 0,0:04:20.59,0:04:21.90,Default,,0000,0000,0000,,do obliczenia…
Dialogue: 0,0:04:22.00,0:04:24.76,Default,,0000,0000,0000,,Właściwie nie trzeba tego liczyć,\Nco pokażę za chwilę…
Dialogue: 0,0:04:24.86,0:04:28.90,Default,,0000,0000,0000,,…do obliczenia pola jednego trójkąta,\Nktóre pomnożymy przez 6.
Dialogue: 0,0:04:29.00,0:04:33.90,Default,,0000,0000,0000,,Spróbujmy obliczyć pole tego trójkąta.
Dialogue: 0,0:04:34.00,0:04:36.96,Default,,0000,0000,0000,,Długość DC wynosi 2√3.
Dialogue: 0,0:04:37.06,0:04:39.17,Default,,0000,0000,0000,,Spuszczamy wysokość…
Dialogue: 0,0:04:39.67,0:04:42.47,Default,,0000,0000,0000,,W taki sposób…
Dialogue: 0,0:04:42.75,0:04:48.64,Default,,0000,0000,0000,,Wiemy jednocześnie, że jest to\Ntrójkąt równoboczny.
Dialogue: 0,0:04:49.62,0:04:52.20,Default,,0000,0000,0000,,Te trójkąty są zatem symetryczne.
Dialogue: 0,0:04:52.30,0:04:54.01,Default,,0000,0000,0000,,Tu są kąty proste…
Dialogue: 0,0:04:54.18,0:04:56.90,Default,,0000,0000,0000,,a tu jest 60 stopni.
Dialogue: 0,0:04:57.00,0:05:00.52,Default,,0000,0000,0000,,Jeśli potraktujemy te trójkąty osobno
Dialogue: 0,0:05:00.62,0:05:02.46,Default,,0000,0000,0000,,kąty sumują się do 180.
Dialogue: 0,0:05:02.56,0:05:04.15,Default,,0000,0000,0000,,Więc tu musi być 30…
Dialogue: 0,0:05:04.30,0:05:05.90,Default,,0000,0000,0000,,i tu też.
Dialogue: 0,0:05:06.00,0:05:11.37,Default,,0000,0000,0000,,Mają takie same kąty i jeden wspólny bok,\Nwięc są przystające.
Dialogue: 0,0:05:11.47,0:05:16.98,Default,,0000,0000,0000,,Chcemy obliczyć pole tego dużego trójkąta.
Dialogue: 0,0:05:17.08,0:05:22.08,Default,,0000,0000,0000,,Zrobimy to obliczając pole tego\Nmniejszego trójkąta i mnożąc je przez dwa.
Dialogue: 0,0:05:22.18,0:05:25.79,Default,,0000,0000,0000,,Albo od razu przez 12,\Naby otrzymać pole sześciokąta.
Dialogue: 0,0:05:25.89,0:05:27.96,Default,,0000,0000,0000,,Jak obliczyć to pole?
Dialogue: 0,0:05:28.12,0:05:31.16,Default,,0000,0000,0000,,Podstawa będzie równa połowie boku.
Dialogue: 0,0:05:31.42,0:05:33.19,Default,,0000,0000,0000,,Ten odcinek…
Dialogue: 0,0:05:33.29,0:05:34.90,Default,,0000,0000,0000,,Opiszmy ten punkt jako H…
Dialogue: 0,0:05:35.00,0:05:37.54,Default,,0000,0000,0000,,DH = √3
Dialogue: 0,0:05:37.83,0:05:41.90,Default,,0000,0000,0000,,I mamy do czynienia z kątami:\N30 60 90.
Dialogue: 0,0:05:41.100,0:05:43.41,Default,,0000,0000,0000,,Przerysuję go tutaj.
Dialogue: 0,0:05:43.58,0:05:46.15,Default,,0000,0000,0000,,Tu jest kąt 30 stopni…
Dialogue: 0,0:05:46.25,0:05:47.60,Default,,0000,0000,0000,,tu 60 stopni…
Dialogue: 0,0:05:47.70,0:05:48.90,Default,,0000,0000,0000,,a tu 90 stopni.
Dialogue: 0,0:05:49.00,0:05:52.21,Default,,0000,0000,0000,,Ten odcinek ma długość √3.
Dialogue: 0,0:05:52.43,0:05:56.18,Default,,0000,0000,0000,,Wiemy również, że ten ma długość 2√3.
Dialogue: 0,0:05:56.28,0:05:57.71,Default,,0000,0000,0000,,Ale to nam niepotrzebne.
Dialogue: 0,0:05:57.81,0:06:00.18,Default,,0000,0000,0000,,Musimy wyliczyć tę wysokość
Dialogue: 0,0:06:00.28,0:06:03.80,Default,,0000,0000,0000,,a wiadomo, że w trójkącie 30-60-90
Dialogue: 0,0:06:03.90,0:06:10.90,Default,,0000,0000,0000,,dłuższa przyprostokątna ma długość\N√3 razy długość krótszej przyprostokątnej.
Dialogue: 0,0:06:11.04,0:06:17.72,Default,,0000,0000,0000,,Więc to będzie √3 * √3.
Dialogue: 0,0:06:17.82,0:06:21.91,Default,,0000,0000,0000,,A to się równa po prostu 3.
Dialogue: 0,0:06:22.04,0:06:26.51,Default,,0000,0000,0000,,Zatem ta wysokość ma długość 3.
Dialogue: 0,0:06:26.73,0:06:29.66,Default,,0000,0000,0000,,Obliczmy pole tego trójkąta.
Dialogue: 0,0:06:29.76,0:06:32.23,Default,,0000,0000,0000,,Czyli tego.
Dialogue: 0,0:06:32.33,0:06:34.36,Default,,0000,0000,0000,,1/2 * podstawa * wysokość
Dialogue: 0,0:06:34.46,0:06:40.06,Default,,0000,0000,0000,,Pole tego wycinka to 1/2\Nrazy ta podstawa…
Dialogue: 0,0:06:40.16,0:06:46.31,Default,,0000,0000,0000,,Właściwie to zostawmy ten trójkąt\Ni policzmy ten większy – GDC.
Dialogue: 0,0:06:46.41,0:06:50.82,Default,,0000,0000,0000,,Wymażę to, bo znamy już\Njego podstawę i wysokość.
Dialogue: 0,0:06:51.17,0:06:56.99,Default,,0000,0000,0000,,Pole trójkąta GDC…
Dialogue: 0,0:06:57.32,0:07:02.32,Default,,0000,0000,0000,,Teraz interesuje mnie całe to pole.
Dialogue: 0,0:07:02.42,0:07:06.05,Default,,0000,0000,0000,,…jest równe 1/2 * podstawa * wysokość
Dialogue: 0,0:07:06.92,0:07:08.71,Default,,0000,0000,0000,,Co jest podstawą?
Dialogue: 0,0:07:08.81,0:07:11.62,Default,,0000,0000,0000,,Jeden z boków sześciokąta.
Dialogue: 0,0:07:11.72,0:07:14.19,Default,,0000,0000,0000,,Cały ten odcinek równy 2√3.
Dialogue: 0,0:07:14.29,0:07:17.09,Default,,0000,0000,0000,,1/2 * 2√3 *…
Dialogue: 0,0:07:17.19,0:07:21.90,Default,,0000,0000,0000,,I teraz wysokość, którą wyliczyliśmy tutaj.
Dialogue: 0,0:07:22.00,0:07:25.22,Default,,0000,0000,0000,,Wysokość jest równa 3, więc razy 3.
Dialogue: 0,0:07:25.54,0:07:27.26,Default,,0000,0000,0000,,1/2 i 2 się znoszą…
Dialogue: 0,0:07:27.36,0:07:29.80,Default,,0000,0000,0000,,i zostają 3√3.
Dialogue: 0,0:07:29.90,0:07:33.39,Default,,0000,0000,0000,,To pole jednego z takich trójkątów.
Dialogue: 0,0:07:33.49,0:07:38.45,Default,,0000,0000,0000,,Aby obliczyć pole całego sześciokąta,\Nmusimy pomnożyć je przez 6
Dialogue: 0,0:07:38.55,0:07:40.42,Default,,0000,0000,0000,,bo trójkątów jest 6.
Dialogue: 0,0:07:40.66,0:07:45.79,Default,,0000,0000,0000,,Pole całości jest więc równe:\N6 * 3√3
Dialogue: 0,0:07:45.89,0:07:48.66,Default,,0000,0000,0000,,czyli 18√3.
Dialogue: 0,0:07:48.76,0:07:49.76,Default,,0000,0000,0000,,I koniec.