1
00:00:00,456 --> 00:00:06,243
Figura ABCDEF to sześciokąt foremny.

2
00:00:06,343 --> 00:00:08,820
Sześciokąt to figura o 6 bokach.

3
00:00:08,920 --> 00:00:11,899
Można je policzyć, więc nie musicie wierzyć na słowo.

4
00:00:12,000 --> 00:00:13,686
Przymiotnik „foremny” oznacza

5
00:00:13,786 --> 00:00:16,834
że wszystkie boki mają tę samą długość

6
00:00:16,934 --> 00:00:20,529
i wszystkie kąty są przystające, czyli identyczne.

7
00:00:20,660 --> 00:00:23,284
Znamy też długość jednego z boków

8
00:00:23,384 --> 00:00:26,570
a więc wszystkich, bo to sześciokąt foremny.

9
00:00:26,670 --> 00:00:28,525
Jest równa dwa pierwiastki z trzech (2√3).

10
00:00:28,690 --> 00:00:31,045
Ten bok ma długość 2√3…

11
00:00:31,145 --> 00:00:32,509
ten taką samą…

12
00:00:32,609 --> 00:00:33,763
i tak dalej.

13
00:00:33,863 --> 00:00:36,322
Wszystkie boki są równe.

14
00:00:36,424 --> 00:00:38,996
Mamy obliczyć pole tego sześciokąta.

15
00:00:39,096 --> 00:00:42,146
Sześciokąta ABCDEF.

16
00:00:42,342 --> 00:00:46,717
Najlepszy sposób to podzielić go na trójkąty.

17
00:00:46,817 --> 00:00:49,547
Ta metoda działa w przypadku każdego wielokąta

18
00:00:49,647 --> 00:00:52,377
ale z figurami foremnymi jest wyjątkowo łatwa.

19
00:00:52,575 --> 00:00:55,203
Zwłaszcza z sześciokątem foremnym.

20
00:00:55,303 --> 00:00:57,117
Zaznaczmy ten punkt.

21
00:00:57,217 --> 00:00:59,208
Niech to będzie punkt G.

22
00:00:59,309 --> 00:01:01,599
To jakby środek sześciokąta.

23
00:01:01,699 --> 00:01:08,725
Nie jest środkiem, bo musiałby być równo
odległy od wszystkiego, a to niemożliwe.

24
00:01:08,825 --> 00:01:11,354
Wystarczy, że jest równo
odległy od wierzchołków.

25
00:01:11,454 --> 00:01:12,527
Odcinek GD…

26
00:01:12,627 --> 00:01:13,843
jest taki sam jak GC…

27
00:01:13,944 --> 00:01:14,952
taki sam jak GB…

28
00:01:15,052 --> 00:01:16,060
taki sam jak GA…

29
00:01:16,160 --> 00:01:17,776
taki sam jak GF…

30
00:01:17,876 --> 00:01:19,371
i taki sam jak GE.

31
00:01:19,471 --> 00:01:21,773
Narysuję te odcinki.

32
00:01:22,034 --> 00:01:23,573
To jest GE…

33
00:01:24,033 --> 00:01:25,423
to jest GD…

34
00:01:25,923 --> 00:01:28,680
GC…
Wszystkie mają równą długość.

35
00:01:29,225 --> 00:01:34,657
Dlatego nazwałem punkt G
środkiem tego wielokąta.

36
00:01:34,757 --> 00:01:36,851
Ten odcinek jest równy temu…

37
00:01:36,951 --> 00:01:40,900
temu… temu… temu… i temu.

38
00:01:41,196 --> 00:01:47,299
Wiemy też, że gdybyśmy okrążyli
ten środek w ten sposób

39
00:01:47,399 --> 00:01:50,146
pokonalibyśmy 360 stopni.

40
00:01:50,247 --> 00:01:56,456
Oraz że wszystkie te trójkąty są przystające.

41
00:01:56,556 --> 00:01:58,815
Można to udowodnić.

42
00:01:58,915 --> 00:02:04,505
Dwa boki każdego z nich mają równą długość
bo punkt G jest geometrycznym środkiem.

43
00:02:04,607 --> 00:02:08,483
Trzeci bok również ma równą długość 2√3.

44
00:02:08,583 --> 00:02:13,241
Zatem na mocy zasady bok-bok-bok
te trójkąty są przystające.

45
00:02:13,719 --> 00:02:16,369
A skoro są przystające

46
00:02:16,469 --> 00:02:19,345
to ten wewnętrzny kąt przy punkcie G

47
00:02:19,445 --> 00:02:26,124
jest identyczny w każdym z tych 6 trójkątów.

48
00:02:26,224 --> 00:02:27,849
Nazwijmy go „x”.

49
00:02:27,949 --> 00:02:29,600
To jest x... to jest x...

50
00:02:29,700 --> 00:02:32,192
to jest x... to jest x... i to jest x.

51
00:02:32,294 --> 00:02:36,568
Ich suma to pełne koło, 360 stopni.

52
00:02:36,668 --> 00:02:38,224
I jest ich 6.

53
00:02:38,377 --> 00:02:41,796
6 x = 360 stopni

54
00:02:41,896 --> 00:02:45,055
Dzielimy obie strony przez 6 i otrzymujemy:

55
00:02:45,155 --> 00:02:48,792
x = 60 stopni

56
00:02:48,892 --> 00:02:51,073
Wszystkie kąty mają 60 stopni.

57
00:02:51,173 --> 00:02:52,368
Teraz coś ciekawego.

58
00:02:52,468 --> 00:02:53,802
Wiemy, że te trójkąty…

59
00:02:53,902 --> 00:02:58,012
na przykład trójkąt GBC,
ale dotyczy to każdego…

60
00:02:58,112 --> 00:02:59,899
Wyszło nam koło fortuny.

61
00:03:00,000 --> 00:03:04,708
Wiemy, że to trójkąt RÓWNORAMIENNY,
bo ten bok jest równy temu.

62
00:03:04,808 --> 00:03:09,236
Mając tę informację możemy
obliczyć pozostałe kąty

63
00:03:09,336 --> 00:03:14,658
ponieważ w trójkącie równoramiennym
kąty przy podstawie są równe.

64
00:03:14,788 --> 00:03:16,899
Ten jest równy temu.

65
00:03:17,000 --> 00:03:19,416
Nazwijmy je „y”.

66
00:03:19,516 --> 00:03:22,596
Zatem y + y, czyli 2y…

67
00:03:22,696 --> 00:03:24,725
dodać 60 stopni…

68
00:03:24,825 --> 00:03:28,571
musi się równać 180…

69
00:03:28,671 --> 00:03:31,732
bo tyle wynosi suma kątów każdego trójkąta.

70
00:03:31,864 --> 00:03:34,276
Odejmuję 60 od obu stron i zostaje

71
00:03:34,376 --> 00:03:36,513
2 y = 120

72
00:03:36,614 --> 00:03:40,598
Dzielę przez 2 i mamy
y = 60

73
00:03:40,698 --> 00:03:46,442
To ciekawe, bo wyszło na to,
że WSZYSTKIE kąty w tych trójkątach są równe.

74
00:03:46,542 --> 00:03:51,274
A kiedyś, przy okazji omawiania
trójkątów udowodniliśmy

75
00:03:51,374 --> 00:03:54,567
że jeśli w trójkącie wszystkie
kąty wynoszą 60 stopni

76
00:03:54,667 --> 00:03:57,412
to mamy do czynienia
z trójkątem równobocznym

77
00:03:57,512 --> 00:03:59,802
w którym wszystkie BOKI są równe.

78
00:03:59,903 --> 00:04:01,780
Skoro ten bok ma długość 2√3

79
00:04:01,880 --> 00:04:04,257
to także ten…

80
00:04:04,357 --> 00:04:06,212
i ten.

81
00:04:06,312 --> 00:04:08,993
Wszystkie zielone odcinki mają tę długość

82
00:04:09,093 --> 00:04:11,535
i, o czym już wcześniej wiedzieliśmy

83
00:04:11,635 --> 00:04:15,791
także wszystkie żółte odcinki
mają długość 2√3.

84
00:04:15,893 --> 00:04:20,494
Możemy wykorzystać tę informację

85
00:04:20,594 --> 00:04:21,899
do obliczenia…

86
00:04:22,000 --> 00:04:24,765
Właściwie nie trzeba tego liczyć,
co pokażę za chwilę…

87
00:04:24,865 --> 00:04:28,900
…do obliczenia pola jednego trójkąta,
które pomnożymy przez 6.

88
00:04:29,000 --> 00:04:33,900
Spróbujmy obliczyć pole tego trójkąta.

89
00:04:34,000 --> 00:04:36,962
Długość DC wynosi 2√3.

90
00:04:37,062 --> 00:04:39,168
Spuszczamy wysokość…

91
00:04:39,669 --> 00:04:42,472
W taki sposób…

92
00:04:42,754 --> 00:04:48,641
Wiemy jednocześnie, że jest to
trójkąt równoboczny.

93
00:04:49,619 --> 00:04:52,204
Te trójkąty są zatem symetryczne.

94
00:04:52,304 --> 00:04:54,008
Tu są kąty proste…

95
00:04:54,181 --> 00:04:56,898
a tu jest 60 stopni.

96
00:04:57,000 --> 00:05:00,525
Jeśli potraktujemy te trójkąty osobno

97
00:05:00,625 --> 00:05:02,459
kąty sumują się do 180.

98
00:05:02,559 --> 00:05:04,153
Więc tu musi być 30…

99
00:05:04,305 --> 00:05:05,898
i tu też.

100
00:05:06,000 --> 00:05:11,366
Mają takie same kąty i jeden wspólny bok,
więc są przystające.

101
00:05:11,466 --> 00:05:16,980
Chcemy obliczyć pole tego dużego trójkąta.

102
00:05:17,080 --> 00:05:22,085
Zrobimy to obliczając pole tego
mniejszego trójkąta i mnożąc je przez dwa.

103
00:05:22,185 --> 00:05:25,792
Albo od razu przez 12,
aby otrzymać pole sześciokąta.

104
00:05:25,892 --> 00:05:27,964
Jak obliczyć to pole?

105
00:05:28,116 --> 00:05:31,158
Podstawa będzie równa połowie boku.

106
00:05:31,418 --> 00:05:33,187
Ten odcinek…

107
00:05:33,287 --> 00:05:34,898
Opiszmy ten punkt jako H…

108
00:05:35,000 --> 00:05:37,545
DH = √3

109
00:05:37,827 --> 00:05:41,899
I mamy do czynienia z kątami:
30 60 90.

110
00:05:41,999 --> 00:05:43,411
Przerysuję go tutaj.

111
00:05:43,585 --> 00:05:46,154
Tu jest kąt 30 stopni…

112
00:05:46,254 --> 00:05:47,604
tu 60 stopni…

113
00:05:47,704 --> 00:05:48,898
a tu 90 stopni.

114
00:05:49,000 --> 00:05:52,210
Ten odcinek ma długość √3.

115
00:05:52,427 --> 00:05:56,185
Wiemy również, że ten ma długość 2√3.

116
00:05:56,285 --> 00:05:57,706
Ale to nam niepotrzebne.

117
00:05:57,806 --> 00:06:00,183
Musimy wyliczyć tę wysokość

118
00:06:00,283 --> 00:06:03,798
a wiadomo, że w trójkącie 30-60-90

119
00:06:03,898 --> 00:06:10,899
dłuższa przyprostokątna ma długość
√3 razy długość krótszej przyprostokątnej.

120
00:06:11,045 --> 00:06:17,715
Więc to będzie √3 * √3.

121
00:06:17,815 --> 00:06:21,908
A to się równa po prostu 3.

122
00:06:22,038 --> 00:06:26,514
Zatem ta wysokość ma długość 3.

123
00:06:26,731 --> 00:06:29,664
Obliczmy pole tego trójkąta.

124
00:06:29,764 --> 00:06:32,228
Czyli tego.

125
00:06:32,328 --> 00:06:34,357
1/2 * podstawa * wysokość

126
00:06:34,457 --> 00:06:40,056
Pole tego wycinka to 1/2
razy ta podstawa…

127
00:06:40,157 --> 00:06:46,314
Właściwie to zostawmy ten trójkąt
i policzmy ten większy – GDC.

128
00:06:46,414 --> 00:06:50,824
Wymażę to, bo znamy już
jego podstawę i wysokość.

129
00:06:51,172 --> 00:06:56,994
Pole trójkąta GDC…

130
00:06:57,320 --> 00:07:02,317
Teraz interesuje mnie całe to pole.

131
00:07:02,417 --> 00:07:06,054
…jest równe 1/2 * podstawa * wysokość

132
00:07:06,923 --> 00:07:08,713
Co jest podstawą?

133
00:07:08,813 --> 00:07:11,624
Jeden z boków sześciokąta.

134
00:07:11,724 --> 00:07:14,187
Cały ten odcinek równy 2√3.

135
00:07:14,288 --> 00:07:17,090
1/2 * 2√3 *…

136
00:07:17,190 --> 00:07:21,900
I teraz wysokość, którą wyliczyliśmy tutaj.

137
00:07:22,000 --> 00:07:25,216
Wysokość jest równa 3, więc razy 3.

138
00:07:25,541 --> 00:07:27,258
1/2 i 2 się znoszą…

139
00:07:27,358 --> 00:07:29,800
i zostają 3√3.

140
00:07:29,900 --> 00:07:33,393
To pole jednego z takich trójkątów.

141
00:07:33,493 --> 00:07:38,446
Aby obliczyć pole całego sześciokąta,
musimy pomnożyć je przez 6

142
00:07:38,546 --> 00:07:40,422
bo trójkątów jest 6.

143
00:07:40,662 --> 00:07:45,789
Pole całości jest więc równe:
6 * 3√3

144
00:07:45,889 --> 00:07:48,663
czyli 18√3.

145
00:07:48,763 --> 00:07:49,763
I koniec.