0:00:00.456,0:00:06.243 Figura ABCDEF to sześciokąt foremny. 0:00:06.343,0:00:08.820 Sześciokąt to figura o 6 bokach. 0:00:08.920,0:00:11.899 Można je policzyć, więc nie musicie wierzyć na słowo. 0:00:12.000,0:00:13.686 Przymiotnik „foremny” oznacza 0:00:13.786,0:00:16.834 że wszystkie boki mają tę samą długość 0:00:16.934,0:00:20.529 i wszystkie kąty są przystające, czyli identyczne. 0:00:20.660,0:00:23.284 Znamy też długość jednego z boków 0:00:23.384,0:00:26.570 a więc wszystkich, bo to sześciokąt foremny. 0:00:26.670,0:00:28.525 Jest równa dwa pierwiastki z trzech (2√3). 0:00:28.690,0:00:31.045 Ten bok ma długość 2√3… 0:00:31.145,0:00:32.509 ten taką samą… 0:00:32.609,0:00:33.763 i tak dalej. 0:00:33.863,0:00:36.322 Wszystkie boki są równe. 0:00:36.424,0:00:38.996 Mamy obliczyć pole tego sześciokąta. 0:00:39.096,0:00:42.146 Sześciokąta ABCDEF. 0:00:42.342,0:00:46.717 Najlepszy sposób to podzielić go na trójkąty. 0:00:46.817,0:00:49.547 Ta metoda działa w przypadku każdego wielokąta 0:00:49.647,0:00:52.377 ale z figurami foremnymi jest wyjątkowo łatwa. 0:00:52.575,0:00:55.203 Zwłaszcza z sześciokątem foremnym. 0:00:55.303,0:00:57.117 Zaznaczmy ten punkt. 0:00:57.217,0:00:59.208 Niech to będzie punkt G. 0:00:59.309,0:01:01.599 To jakby środek sześciokąta. 0:01:01.699,0:01:08.725 Nie jest środkiem, bo musiałby być równo[br]odległy od wszystkiego, a to niemożliwe. 0:01:08.825,0:01:11.354 Wystarczy, że jest równo[br]odległy od wierzchołków. 0:01:11.454,0:01:12.527 Odcinek GD… 0:01:12.627,0:01:13.843 jest taki sam jak GC… 0:01:13.944,0:01:14.952 taki sam jak GB… 0:01:15.052,0:01:16.060 taki sam jak GA… 0:01:16.160,0:01:17.776 taki sam jak GF… 0:01:17.876,0:01:19.371 i taki sam jak GE. 0:01:19.471,0:01:21.773 Narysuję te odcinki. 0:01:22.034,0:01:23.573 To jest GE… 0:01:24.033,0:01:25.423 to jest GD… 0:01:25.923,0:01:28.680 GC…[br]Wszystkie mają równą długość. 0:01:29.225,0:01:34.657 Dlatego nazwałem punkt G[br]środkiem tego wielokąta. 0:01:34.757,0:01:36.851 Ten odcinek jest równy temu… 0:01:36.951,0:01:40.900 temu… temu… temu… i temu. 0:01:41.196,0:01:47.299 Wiemy też, że gdybyśmy okrążyli[br]ten środek w ten sposób 0:01:47.399,0:01:50.146 pokonalibyśmy 360 stopni. 0:01:50.247,0:01:56.456 Oraz że wszystkie te trójkąty są przystające. 0:01:56.556,0:01:58.815 Można to udowodnić. 0:01:58.915,0:02:04.505 Dwa boki każdego z nich mają równą długość[br]bo punkt G jest geometrycznym środkiem. 0:02:04.607,0:02:08.483 Trzeci bok również ma równą długość 2√3. 0:02:08.583,0:02:13.241 Zatem na mocy zasady bok-bok-bok[br]te trójkąty są przystające. 0:02:13.719,0:02:16.369 A skoro są przystające 0:02:16.469,0:02:19.345 to ten wewnętrzny kąt przy punkcie G 0:02:19.445,0:02:26.124 jest identyczny w każdym z tych 6 trójkątów. 0:02:26.224,0:02:27.849 Nazwijmy go „x”. 0:02:27.949,0:02:29.600 To jest x... to jest x... 0:02:29.700,0:02:32.192 to jest x... to jest x... i to jest x. 0:02:32.294,0:02:36.568 Ich suma to pełne koło, 360 stopni. 0:02:36.668,0:02:38.224 I jest ich 6. 0:02:38.377,0:02:41.796 6 x = 360 stopni 0:02:41.896,0:02:45.055 Dzielimy obie strony przez 6 i otrzymujemy: 0:02:45.155,0:02:48.792 x = 60 stopni 0:02:48.892,0:02:51.073 Wszystkie kąty mają 60 stopni. 0:02:51.173,0:02:52.368 Teraz coś ciekawego. 0:02:52.468,0:02:53.802 Wiemy, że te trójkąty… 0:02:53.902,0:02:58.012 na przykład trójkąt GBC,[br]ale dotyczy to każdego… 0:02:58.112,0:02:59.899 Wyszło nam koło fortuny. 0:03:00.000,0:03:04.708 Wiemy, że to trójkąt RÓWNORAMIENNY,[br]bo ten bok jest równy temu. 0:03:04.808,0:03:09.236 Mając tę informację możemy[br]obliczyć pozostałe kąty 0:03:09.336,0:03:14.658 ponieważ w trójkącie równoramiennym[br]kąty przy podstawie są równe. 0:03:14.788,0:03:16.899 Ten jest równy temu. 0:03:17.000,0:03:19.416 Nazwijmy je „y”. 0:03:19.516,0:03:22.596 Zatem y + y, czyli 2y… 0:03:22.696,0:03:24.725 dodać 60 stopni… 0:03:24.825,0:03:28.571 musi się równać 180… 0:03:28.671,0:03:31.732 bo tyle wynosi suma kątów każdego trójkąta. 0:03:31.864,0:03:34.276 Odejmuję 60 od obu stron i zostaje 0:03:34.376,0:03:36.513 2 y = 120 0:03:36.614,0:03:40.598 Dzielę przez 2 i mamy[br]y = 60 0:03:40.698,0:03:46.442 To ciekawe, bo wyszło na to,[br]że WSZYSTKIE kąty w tych trójkątach są równe. 0:03:46.542,0:03:51.274 A kiedyś, przy okazji omawiania[br]trójkątów udowodniliśmy 0:03:51.374,0:03:54.567 że jeśli w trójkącie wszystkie[br]kąty wynoszą 60 stopni 0:03:54.667,0:03:57.412 to mamy do czynienia[br]z trójkątem równobocznym 0:03:57.512,0:03:59.802 w którym wszystkie BOKI są równe. 0:03:59.903,0:04:01.780 Skoro ten bok ma długość 2√3 0:04:01.880,0:04:04.257 to także ten… 0:04:04.357,0:04:06.212 i ten. 0:04:06.312,0:04:08.993 Wszystkie zielone odcinki mają tę długość 0:04:09.093,0:04:11.535 i, o czym już wcześniej wiedzieliśmy 0:04:11.635,0:04:15.791 także wszystkie żółte odcinki[br]mają długość 2√3. 0:04:15.893,0:04:20.494 Możemy wykorzystać tę informację 0:04:20.594,0:04:21.899 do obliczenia… 0:04:22.000,0:04:24.765 Właściwie nie trzeba tego liczyć,[br]co pokażę za chwilę… 0:04:24.865,0:04:28.900 …do obliczenia pola jednego trójkąta,[br]które pomnożymy przez 6. 0:04:29.000,0:04:33.900 Spróbujmy obliczyć pole tego trójkąta. 0:04:34.000,0:04:36.962 Długość DC wynosi 2√3. 0:04:37.062,0:04:39.168 Spuszczamy wysokość… 0:04:39.669,0:04:42.472 W taki sposób… 0:04:42.754,0:04:48.641 Wiemy jednocześnie, że jest to[br]trójkąt równoboczny. 0:04:49.619,0:04:52.204 Te trójkąty są zatem symetryczne. 0:04:52.304,0:04:54.008 Tu są kąty proste… 0:04:54.181,0:04:56.898 a tu jest 60 stopni. 0:04:57.000,0:05:00.525 Jeśli potraktujemy te trójkąty osobno 0:05:00.625,0:05:02.459 kąty sumują się do 180. 0:05:02.559,0:05:04.153 Więc tu musi być 30… 0:05:04.305,0:05:05.898 i tu też. 0:05:06.000,0:05:11.366 Mają takie same kąty i jeden wspólny bok,[br]więc są przystające. 0:05:11.466,0:05:16.980 Chcemy obliczyć pole tego dużego trójkąta. 0:05:17.080,0:05:22.085 Zrobimy to obliczając pole tego[br]mniejszego trójkąta i mnożąc je przez dwa. 0:05:22.185,0:05:25.792 Albo od razu przez 12,[br]aby otrzymać pole sześciokąta. 0:05:25.892,0:05:27.964 Jak obliczyć to pole? 0:05:28.116,0:05:31.158 Podstawa będzie równa połowie boku. 0:05:31.418,0:05:33.187 Ten odcinek… 0:05:33.287,0:05:34.898 Opiszmy ten punkt jako H… 0:05:35.000,0:05:37.545 DH = √3 0:05:37.827,0:05:41.899 I mamy do czynienia z kątami:[br]30 60 90. 0:05:41.999,0:05:43.411 Przerysuję go tutaj. 0:05:43.585,0:05:46.154 Tu jest kąt 30 stopni… 0:05:46.254,0:05:47.604 tu 60 stopni… 0:05:47.704,0:05:48.898 a tu 90 stopni. 0:05:49.000,0:05:52.210 Ten odcinek ma długość √3. 0:05:52.427,0:05:56.185 Wiemy również, że ten ma długość 2√3. 0:05:56.285,0:05:57.706 Ale to nam niepotrzebne. 0:05:57.806,0:06:00.183 Musimy wyliczyć tę wysokość 0:06:00.283,0:06:03.798 a wiadomo, że w trójkącie 30-60-90 0:06:03.898,0:06:10.899 dłuższa przyprostokątna ma długość[br]√3 razy długość krótszej przyprostokątnej. 0:06:11.045,0:06:17.715 Więc to będzie √3 * √3. 0:06:17.815,0:06:21.908 A to się równa po prostu 3. 0:06:22.038,0:06:26.514 Zatem ta wysokość ma długość 3. 0:06:26.731,0:06:29.664 Obliczmy pole tego trójkąta. 0:06:29.764,0:06:32.228 Czyli tego. 0:06:32.328,0:06:34.357 1/2 * podstawa * wysokość 0:06:34.457,0:06:40.056 Pole tego wycinka to 1/2[br]razy ta podstawa… 0:06:40.157,0:06:46.314 Właściwie to zostawmy ten trójkąt[br]i policzmy ten większy – GDC. 0:06:46.414,0:06:50.824 Wymażę to, bo znamy już[br]jego podstawę i wysokość. 0:06:51.172,0:06:56.994 Pole trójkąta GDC… 0:06:57.320,0:07:02.317 Teraz interesuje mnie całe to pole. 0:07:02.417,0:07:06.054 …jest równe 1/2 * podstawa * wysokość 0:07:06.923,0:07:08.713 Co jest podstawą? 0:07:08.813,0:07:11.624 Jeden z boków sześciokąta. 0:07:11.724,0:07:14.187 Cały ten odcinek równy 2√3. 0:07:14.288,0:07:17.090 1/2 * 2√3 *… 0:07:17.190,0:07:21.900 I teraz wysokość, którą wyliczyliśmy tutaj. 0:07:22.000,0:07:25.216 Wysokość jest równa 3, więc razy 3. 0:07:25.541,0:07:27.258 1/2 i 2 się znoszą… 0:07:27.358,0:07:29.800 i zostają 3√3. 0:07:29.900,0:07:33.393 To pole jednego z takich trójkątów. 0:07:33.493,0:07:38.446 Aby obliczyć pole całego sześciokąta,[br]musimy pomnożyć je przez 6 0:07:38.546,0:07:40.422 bo trójkątów jest 6. 0:07:40.662,0:07:45.789 Pole całości jest więc równe:[br]6 * 3√3 0:07:45.889,0:07:48.663 czyli 18√3. 0:07:48.763,0:07:49.763 I koniec.