WEBVTT 00:00:00.456 --> 00:00:06.243 Figura ABCDEF to sześciokąt foremny. 00:00:06.343 --> 00:00:08.820 Sześciokąt to figura o 6 bokach. 00:00:08.920 --> 00:00:11.899 Można je policzyć, więc nie musicie wierzyć na słowo. 00:00:12.000 --> 00:00:13.686 Przymiotnik „foremny” oznacza 00:00:13.786 --> 00:00:16.834 że wszystkie boki mają tę samą długość 00:00:16.934 --> 00:00:20.529 i wszystkie kąty są przystające, czyli identyczne. 00:00:20.660 --> 00:00:23.284 Znamy też długość jednego z boków 00:00:23.384 --> 00:00:26.570 a więc wszystkich, bo to sześciokąt foremny. 00:00:26.670 --> 00:00:28.525 Jest równa dwa pierwiastki z trzech (2√3). 00:00:28.690 --> 00:00:31.045 Ten bok ma długość 2√3… 00:00:31.145 --> 00:00:32.509 ten taką samą… 00:00:32.609 --> 00:00:33.763 i tak dalej. 00:00:33.863 --> 00:00:36.322 Wszystkie boki są równe. 00:00:36.424 --> 00:00:38.996 Mamy obliczyć pole tego sześciokąta. 00:00:39.096 --> 00:00:42.146 Sześciokąta ABCDEF. 00:00:42.342 --> 00:00:46.717 Najlepszy sposób to podzielić go na trójkąty. 00:00:46.817 --> 00:00:49.547 Ta metoda działa w przypadku każdego wielokąta 00:00:49.647 --> 00:00:52.377 ale z figurami foremnymi jest wyjątkowo łatwa. 00:00:52.575 --> 00:00:55.203 Zwłaszcza z sześciokątem foremnym. 00:00:55.303 --> 00:00:57.117 Zaznaczmy ten punkt. 00:00:57.217 --> 00:00:59.208 Niech to będzie punkt G. 00:00:59.309 --> 00:01:01.599 To jakby środek sześciokąta. 00:01:01.699 --> 00:01:08.725 Nie jest środkiem, bo musiałby być równo odległy od wszystkiego, a to niemożliwe. 00:01:08.825 --> 00:01:11.354 Wystarczy, że jest równo odległy od wierzchołków. 00:01:11.454 --> 00:01:12.527 Odcinek GD… 00:01:12.627 --> 00:01:13.843 jest taki sam jak GC… 00:01:13.944 --> 00:01:14.952 taki sam jak GB… 00:01:15.052 --> 00:01:16.060 taki sam jak GA… 00:01:16.160 --> 00:01:17.776 taki sam jak GF… 00:01:17.876 --> 00:01:19.371 i taki sam jak GE. 00:01:19.471 --> 00:01:21.773 Narysuję te odcinki. 00:01:22.034 --> 00:01:23.573 To jest GE… 00:01:24.033 --> 00:01:25.423 to jest GD… 00:01:25.923 --> 00:01:28.680 GC… Wszystkie mają równą długość. 00:01:29.225 --> 00:01:34.657 Dlatego nazwałem punkt G środkiem tego wielokąta. 00:01:34.757 --> 00:01:36.851 Ten odcinek jest równy temu… 00:01:36.951 --> 00:01:40.900 temu… temu… temu… i temu. 00:01:41.196 --> 00:01:47.299 Wiemy też, że gdybyśmy okrążyli ten środek w ten sposób 00:01:47.399 --> 00:01:50.146 pokonalibyśmy 360 stopni. 00:01:50.247 --> 00:01:56.456 Oraz że wszystkie te trójkąty są przystające. 00:01:56.556 --> 00:01:58.815 Można to udowodnić. 00:01:58.915 --> 00:02:04.505 Dwa boki każdego z nich mają równą długość bo punkt G jest geometrycznym środkiem. 00:02:04.607 --> 00:02:08.483 Trzeci bok również ma równą długość 2√3. 00:02:08.583 --> 00:02:13.241 Zatem na mocy zasady bok-bok-bok te trójkąty są przystające. 00:02:13.719 --> 00:02:16.369 A skoro są przystające 00:02:16.469 --> 00:02:19.345 to ten wewnętrzny kąt przy punkcie G 00:02:19.445 --> 00:02:26.124 jest identyczny w każdym z tych 6 trójkątów. 00:02:26.224 --> 00:02:27.849 Nazwijmy go „x”. 00:02:27.949 --> 00:02:29.600 To jest x... to jest x... 00:02:29.700 --> 00:02:32.192 to jest x... to jest x... i to jest x. 00:02:32.294 --> 00:02:36.568 Ich suma to pełne koło, 360 stopni. 00:02:36.668 --> 00:02:38.224 I jest ich 6. 00:02:38.377 --> 00:02:41.796 6 x = 360 stopni 00:02:41.896 --> 00:02:45.055 Dzielimy obie strony przez 6 i otrzymujemy: 00:02:45.155 --> 00:02:48.792 x = 60 stopni 00:02:48.892 --> 00:02:51.073 Wszystkie kąty mają 60 stopni. 00:02:51.173 --> 00:02:52.368 Teraz coś ciekawego. 00:02:52.468 --> 00:02:53.802 Wiemy, że te trójkąty… 00:02:53.902 --> 00:02:58.012 na przykład trójkąt GBC, ale dotyczy to każdego… 00:02:58.112 --> 00:02:59.899 Wyszło nam koło fortuny. 00:03:00.000 --> 00:03:04.708 Wiemy, że to trójkąt RÓWNORAMIENNY, bo ten bok jest równy temu. 00:03:04.808 --> 00:03:09.236 Mając tę informację możemy obliczyć pozostałe kąty 00:03:09.336 --> 00:03:14.658 ponieważ w trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe. 00:03:14.788 --> 00:03:16.899 Ten jest równy temu. 00:03:17.000 --> 00:03:19.416 Nazwijmy je „y”. 00:03:19.516 --> 00:03:22.596 Zatem y + y, czyli 2y… 00:03:22.696 --> 00:03:24.725 dodać 60 stopni… 00:03:24.825 --> 00:03:28.571 musi się równać 180… 00:03:28.671 --> 00:03:31.732 bo tyle wynosi suma kątów każdego trójkąta. 00:03:31.864 --> 00:03:34.276 Odejmuję 60 od obu stron i zostaje 00:03:34.376 --> 00:03:36.513 2 y = 120 00:03:36.614 --> 00:03:40.598 Dzielę przez 2 i mamy y = 60 00:03:40.698 --> 00:03:46.442 To ciekawe, bo wyszło na to, że WSZYSTKIE kąty w tych trójkątach są równe. 00:03:46.542 --> 00:03:51.274 A kiedyś, przy okazji omawiania trójkątów udowodniliśmy 00:03:51.374 --> 00:03:54.567 że jeśli w trójkącie wszystkie kąty wynoszą 60 stopni 00:03:54.667 --> 00:03:57.412 to mamy do czynienia z trójkątem równobocznym 00:03:57.512 --> 00:03:59.802 w którym wszystkie BOKI są równe. 00:03:59.903 --> 00:04:01.780 Skoro ten bok ma długość 2√3 00:04:01.880 --> 00:04:04.257 to także ten… 00:04:04.357 --> 00:04:06.212 i ten. 00:04:06.312 --> 00:04:08.993 Wszystkie zielone odcinki mają tę długość 00:04:09.093 --> 00:04:11.535 i, o czym już wcześniej wiedzieliśmy 00:04:11.635 --> 00:04:15.791 także wszystkie żółte odcinki mają długość 2√3. 00:04:15.893 --> 00:04:20.494 Możemy wykorzystać tę informację 00:04:20.594 --> 00:04:21.899 do obliczenia… 00:04:22.000 --> 00:04:24.765 Właściwie nie trzeba tego liczyć, co pokażę za chwilę… 00:04:24.865 --> 00:04:28.900 …do obliczenia pola jednego trójkąta, które pomnożymy przez 6. 00:04:29.000 --> 00:04:33.900 Spróbujmy obliczyć pole tego trójkąta. 00:04:34.000 --> 00:04:36.962 Długość DC wynosi 2√3. 00:04:37.062 --> 00:04:39.168 Spuszczamy wysokość… 00:04:39.669 --> 00:04:42.472 W taki sposób… 00:04:42.754 --> 00:04:48.641 Wiemy jednocześnie, że jest to trójkąt równoboczny. 00:04:49.619 --> 00:04:52.204 Te trójkąty są zatem symetryczne. 00:04:52.304 --> 00:04:54.008 Tu są kąty proste… 00:04:54.181 --> 00:04:56.898 a tu jest 60 stopni. 00:04:57.000 --> 00:05:00.525 Jeśli potraktujemy te trójkąty osobno 00:05:00.625 --> 00:05:02.459 kąty sumują się do 180. 00:05:02.559 --> 00:05:04.153 Więc tu musi być 30… 00:05:04.305 --> 00:05:05.898 i tu też. 00:05:06.000 --> 00:05:11.366 Mają takie same kąty i jeden wspólny bok, więc są przystające. 00:05:11.466 --> 00:05:16.980 Chcemy obliczyć pole tego dużego trójkąta. 00:05:17.080 --> 00:05:22.085 Zrobimy to obliczając pole tego mniejszego trójkąta i mnożąc je przez dwa. 00:05:22.185 --> 00:05:25.792 Albo od razu przez 12, aby otrzymać pole sześciokąta. 00:05:25.892 --> 00:05:27.964 Jak obliczyć to pole? 00:05:28.116 --> 00:05:31.158 Podstawa będzie równa połowie boku. 00:05:31.418 --> 00:05:33.187 Ten odcinek… 00:05:33.287 --> 00:05:34.898 Opiszmy ten punkt jako H… 00:05:35.000 --> 00:05:37.545 DH = √3 00:05:37.827 --> 00:05:41.899 I mamy do czynienia z kątami: 30 60 90. 00:05:41.999 --> 00:05:43.411 Przerysuję go tutaj. 00:05:43.585 --> 00:05:46.154 Tu jest kąt 30 stopni… 00:05:46.254 --> 00:05:47.604 tu 60 stopni… 00:05:47.704 --> 00:05:48.898 a tu 90 stopni. 00:05:49.000 --> 00:05:52.210 Ten odcinek ma długość √3. 00:05:52.427 --> 00:05:56.185 Wiemy również, że ten ma długość 2√3. 00:05:56.285 --> 00:05:57.706 Ale to nam niepotrzebne. 00:05:57.806 --> 00:06:00.183 Musimy wyliczyć tę wysokość 00:06:00.283 --> 00:06:03.798 a wiadomo, że w trójkącie 30-60-90 00:06:03.898 --> 00:06:10.899 dłuższa przyprostokątna ma długość √3 razy długość krótszej przyprostokątnej. 00:06:11.045 --> 00:06:17.715 Więc to będzie √3 * √3. 00:06:17.815 --> 00:06:21.908 A to się równa po prostu 3. 00:06:22.038 --> 00:06:26.514 Zatem ta wysokość ma długość 3. 00:06:26.731 --> 00:06:29.664 Obliczmy pole tego trójkąta. 00:06:29.764 --> 00:06:32.228 Czyli tego. 00:06:32.328 --> 00:06:34.357 1/2 * podstawa * wysokość 00:06:34.457 --> 00:06:40.056 Pole tego wycinka to 1/2 razy ta podstawa… 00:06:40.157 --> 00:06:46.314 Właściwie to zostawmy ten trójkąt i policzmy ten większy – GDC. 00:06:46.414 --> 00:06:50.824 Wymażę to, bo znamy już jego podstawę i wysokość. 00:06:51.172 --> 00:06:56.994 Pole trójkąta GDC… 00:06:57.320 --> 00:07:02.317 Teraz interesuje mnie całe to pole. 00:07:02.417 --> 00:07:06.054 …jest równe 1/2 * podstawa * wysokość 00:07:06.923 --> 00:07:08.713 Co jest podstawą? 00:07:08.813 --> 00:07:11.624 Jeden z boków sześciokąta. 00:07:11.724 --> 00:07:14.187 Cały ten odcinek równy 2√3. 00:07:14.288 --> 00:07:17.090 1/2 * 2√3 *… 00:07:17.190 --> 00:07:21.900 I teraz wysokość, którą wyliczyliśmy tutaj. 00:07:22.000 --> 00:07:25.216 Wysokość jest równa 3, więc razy 3. 00:07:25.541 --> 00:07:27.258 1/2 i 2 się znoszą… 00:07:27.358 --> 00:07:29.800 i zostają 3√3. 00:07:29.900 --> 00:07:33.393 To pole jednego z takich trójkątów. 00:07:33.493 --> 00:07:38.446 Aby obliczyć pole całego sześciokąta, musimy pomnożyć je przez 6 00:07:38.546 --> 00:07:40.422 bo trójkątów jest 6. 00:07:40.662 --> 00:07:45.789 Pole całości jest więc równe: 6 * 3√3 00:07:45.889 --> 00:07:48.663 czyli 18√3. 00:07:48.763 --> 00:07:49.763 I koniec.