-
Има още един тип задачи
за разлагане на елементарни дроби,
-
на които може да попаднеш, така че
-
нека да разгледаме и него.
-
Това е ситуацията, в която
имаш повтарящ се
-
множител в знаменателя.
-
Да видим, тук направих
една задачка...
-
я да си видя маркера...
-
6x^2 – 19x + 15
-
Всичко това върху (x – 1) пo...
и ето какво прави
-
задачата интересна за нас –
-
по (x – 2)^2.
-
Ще си кажеш:
"О, това е различно!"
-
Защото какво имам тук?
-
Имам множител от първа степен,
който се появява два пъти.
-
Няма логика, например,
-
да направя нещо като това:
-
А/(x – 1) + B/(x – 2) + C/(x – 2).
-
Ако имаме това,
можем просто да съберем B и C,
-
защото имат еднакъв знаменател.
-
Можеш да си ги представиш
като една променлива.
-
Тук не би имало
две отделни променливи.
-
Това не би било логично като
-
разлагане на това
до елементарни дроби.
-
Може би ти се иска да повдигнеш
това на квадрат и да го разгледаш
-
като член от втора степен и да го решиш
като предния ни пример.
-
Но тогава няма напълно
да сме разложили задачата.
-
Така че отговорът тук –
ще ти покажа как се прави
-
и ще те оставя да помислиш
защо става по този начин –
-
е да разложим почти така,
но вместо
-
да имаме C/(x – 2), ще имаме
С/(x – 2)^2.
-
Ще опитам да ти покажа логиката
-
за това, защо се получава това.
-
Значи разлагането тук ще е
А/( x – 1)
-
+ B/(x – 2) + C/(x – 2)^2.
-
И логиката тук е –
нека за момента забравим
-
този член.
-
Ако съберем тези два члена тук,
ще получим
-
рационална функция, която ще има
-
нещо по x плюс нещо.
-
И това ще съответства на това,
което направихме във
-
втория клип за разлагане на
елементарни дроби, където имаме
-
член от втора степен долу
и като съберем тези две части
-
в числителя – нека изясня
още повече това, което казвам.
-
Това е за да видиш логиката.
-
Ако съберем само тези
две части тук, ще получим
-
нещо по x плюс нещо, всичко това
-
върху (x – 2)^2.
-
И това съответства на това,
което имахме в предишния клип,
-
където казахме, че ако имаме
член от втора степен в
-
знаменателя – което е и случаят тук,
ако разложим това –
-
трябва да имаме
член от първа степен в числителя.
-
Ще оставя това тук.
-
Има малко разлика
и е хубаво да помислим
-
защо това върши работа.
-
Нека решим задачата.
-
Нека изтрия някои от нещата,
които съм написал.
-
Трия всичко това.
-
Така.
-
Готови сме да решаваме тази задача.
-
След като това е разлагането,
сега трябва
-
просто да намерим A, B и C.
-
Ако искам да събера
тези три дроби, общият
-
знаменател е
(x – 1) по (x – 2)^2.
-
Това е множител на това,
така че най-малкото общо
-
кратно на това и това
е просто това.
-
Значи тук имаме просто
(x – 2)^2, ето защо
-
започнахме от тук.
-
Числителят ще бъде...
Ще взема друг цвят.
-
Числителят ми ще бъде А.
-
С какво трябва да умножим А ?
-
А по (х – 2)^2, нали ?
-
Ако съкратим тези, ни остава само
-
А/(x – 1);
-
+ B(x – 1)(x – 2).
-
Нали ?
-
Ако съкратим (x – 1)
и едно от тези (x – 2)
-
отдолу, ще ни остане само B/(x – 2)
-
плюс C(x – 1).
-
Ако това се съкрати с това,
ни остава C/(х – 2)^2.
-
И всичко това ще е равно...
това горе в син цвят...
-
на 6x^2 – 19x + 15,
-
всичко това върху (x – 1)
-
по (x – 2)^2.
-
И както правим във всяка задача,
-
знаменателите са еднакви,
така че нека просто
-
изравним числителите и да опитаме
да намерим А, B и C.
-
Ще препиша това.
-
Просто преписвам същото нещо.
-
А(x – 2)^2 + B(x – 1)(x – 2) +
-
C(x – 1) ще е равно на 6x^2 – 19х + 15.
-
Ето.
-
И сега трябва да ги намерим.
-
Може да процедираме
като при предишните задачи.
-
Можем да вземем стойности на x, които
ще съкратят нещо по добър за нас начин.
-
Ако искаме да намерим А,
трябва да направим
-
така, че B и C да се съкратят.
-
Просто трябва да вземем x = 1.
-
Защотo, ако x е 1, това става 0
-
и C изчезва.
-
Това става 0, така че целият
този член изчезва
-
и ни остава само това и това.
-
Нека направим това.
-
Когато x е равно на 1,
получаваме... ще взема
-
друг цвят – А по, 1 минус 2 е минус 1,
на квадрат е просто 1
-
Значи е А по 1.
-
Значи можем просто да оставим А тук.
-
Това става 0, защото този член тук
-
ще е 0, ако x е 1.
-
Това става 0, защото този член
ще бъде 0,
-
ако x е равно на 1.
-
Значи А е равно на 6 по 1,
значи 6, минус 19 по 1,
-
минус 19, плюс 15.
-
И колко е това ?
-
Минус 19 плюс 15, това е минус 4,
плюс 6, това е равно на 2.
-
Ето.
-
Сега нека да опитаме да намерим...
да видим, какво да направим ?
-
Ако направим x = 2, А ще изчезне.
-
Целият този член ще изчезне,
защото това ще е 0.
-
Можем да използваме това,
за да намерим C.
-
Ако кажем, че x = 2,
получаваме, че
-
този член ще е 0,
защото това е 0.
-
Целият този израз е 0,
защото x – 2 е 0.
-
И ни остава само
C по 2 минус 1, значи
-
това е само 1, значи
C е равно на 6 по 4, нали ?
-
2 на квадрат.
-
Значи е 24, минус 38,
19 по 2, плюс 15.
-
Да видим, 24 плюс 15 е 39, минус 38,
това е равно на 1.
-
Достигаме финалната линия.
-
Сега за B... няма ясен начин
да анулираме другите стойности,
-
без да анулираме B.
-
Но вече намерихме
всичко друго, значи просто
-
можем да вземем
произволна стойност за x, която да
-
направи нещата лесни за пресмятане.
-
Ако просто вземем x = 0,
това винаги е добър
-
начин да изясним
заплетени задачи по алгебра.
-
x е равно на 0, не на 3.
-
x e 0.
-
Нека взема друг цвят.
-
Ако x е равно на 0, какво се получава?
-
Имаме А, но А ни е 2, нали?
-
2 по 0 минус 2 на квадрат,
значи 2 по 4.
-
плюс B, което търсим,
всичко друго сме намерили,
-
B по минус 1, нали ?
-
0 минус 1 е минус 1.
-
По минус 2, плюс C по –1
е равно на...
-
ако x е 0, тогава това е 0,
това е 0, е равно на 15.
-
Сега просто намираме B.
-
Получаваме 8 плюс 2B, нали така?
-
Минус 1 по минус 2 е плюс 2.
-
О, и тук не трябваше да пишем C,
-
знаем колко е C.
-
C e 1.
-
Значи тук имаме просто 1
-
Значи, 1 по минус 1 е минус 1,
е равно на 15.
-
И имаме 2B е равно на...
да видим, 16 е
-
равно на 8, B е равно на 4,
делим двете страни на 2.
-
И сме готови.
-
Значи разлагането на елементарна дроб е...
-
А, което вече намерихме, че е 2.
-
Значи е равно на 2/(x –1)
+ B, което е 4, значи плюс
-
4/(x – 2), + C, което е 1,
значи 1/(x – 2)^2.
-
И това, което направихме
с повтарящия се множител, е
-
правилно, ако сме достигнали
член от по-висока степен.
-
Значи, ако имахме нещо,
нещо, нещо (някакъв многочлен)
-
и всичко това беше върху x минус...
някакво число, например а,
-
x минус а на 10-та степен.
-
Да, нека е 10-та степен.
-
Ако искаме да разложим
на елементарни дроби,
-
ще бъде А върху (B – а) –
това е различно а.
-
Просто ти показвам това...
-
Плюс B по (x – а)^2 плюс,
и т.н. и т.н.
-
Ще имаш 10 члена, плюс –
не знам коя е 10-тата буква от
-
латинската азбука – може би H или I.
-
Може би J.
-
J върху (x – а) на 10-та.
-
Принципно можеш да използваш
това свойство, въпреки че много
-
рядко ще видиш нещо такова, защото би
-
ти отнело цяла безкрайност да го решиш.
-
Най-заплетената задача, която може
да видиш на изпит, е с 3 променливи,
-
вероятно е нещо като тази
от предишния пример, или
-
пък тази, която ти показах току-що.
-
За по-заплетени задачи, вероятно
-
бихме използвали компютър.
-
Но пак трябва да знаеш
как се прави, защото, ако
-
решаваш с компютър
истинска задача, много
-
по-сложна от тази,
трябва да знаеш как да я решиш.
-
Както и да е, надявам се
това да е било полезно.
-
-
