0:00:00.620,0:00:05.370
Има още един тип задачи [br]за разлагане на елементарни дроби,

0:00:05.370,0:00:06.960
на които може да попаднеш, така че

0:00:06.960,0:00:08.100
нека да разгледаме и него.

0:00:08.100,0:00:10.960
Това е ситуацията, в която [br]имаш повтарящ се

0:00:10.960,0:00:11.790
множител в знаменателя.

0:00:11.790,0:00:15.060
Да видим, тук направих [br]една задачка...

0:00:15.060,0:00:18.320
я да си видя маркера...

0:00:18.320,0:00:27.420
6x^2 – 19x + 15

0:00:27.460,0:00:33.880
Всичко това върху (x – 1) пo...[br]и ето какво прави

0:00:33.880,0:00:36.640
задачата интересна за нас –

0:00:36.640,0:00:40.500
по (x – 2)^2.

0:00:40.500,0:00:42.560
Ще си кажеш: [br]"О, това е различно!"

0:00:42.560,0:00:43.660
Защото какво имам тук?

0:00:43.660,0:00:47.840
Имам множител от първа степен, [br]който се появява два пъти.

0:00:47.840,0:00:49.860
Няма логика, например,

0:00:49.860,0:00:51.020
да направя нещо като това:

0:00:51.020,0:00:59.240
А/(x – 1) + B/(x – 2) + C/(x – 2).

0:00:59.240,0:01:01.610
Ако имаме това, [br]можем просто да съберем B и C,

0:01:01.610,0:01:03.670
защото имат еднакъв знаменател.

0:01:03.670,0:01:05.690
Можеш да си ги представиш[br]като една променлива.

0:01:05.690,0:01:07.670
Тук не би имало[br]две отделни променливи.

0:01:07.670,0:01:09.940
Това не би било логично като

0:01:09.940,0:01:11.160
разлагане на това[br]до елементарни дроби.

0:01:11.160,0:01:14.820
Може би ти се иска да повдигнеш[br]това на квадрат и да го разгледаш

0:01:14.820,0:01:17.420
като член от втора степен и да го решиш[br]като предния ни пример.

0:01:17.420,0:01:20.540
Но тогава няма напълно [br]да сме разложили задачата.

0:01:20.540,0:01:22.900
Така че отговорът тук – [br]ще ти покажа как се прави

0:01:22.900,0:01:27.680
и ще те оставя да помислиш[br]защо става по този начин –

0:01:27.680,0:01:30.700
е да разложим почти така, [br]но вместо

0:01:30.700,0:01:34.970
да имаме C/(x – 2), ще имаме [br]С/(x – 2)^2.

0:01:35.005,0:01:36.720
Ще опитам да ти покажа логиката

0:01:36.720,0:01:38.150
за това, защо се получава това.

0:01:38.150,0:01:43.490
Значи разлагането тук ще е [br]А/( x – 1)

0:01:43.490,0:01:53.430
+ B/(x – 2) + C/(x – 2)^2.

0:01:53.430,0:01:55.890
И логиката тук е – [br]нека за момента забравим

0:01:55.890,0:01:57.270
този член.

0:01:57.270,0:02:02.140
Ако съберем тези два члена тук, [br]ще получим

0:02:02.140,0:02:07.790
рационална функция, която ще има

0:02:07.790,0:02:10.200
нещо по x плюс нещо.

0:02:10.200,0:02:13.390
И това ще съответства на това, [br]което направихме във

0:02:13.390,0:02:16.960
втория клип за разлагане на [br]елементарни дроби, където имаме

0:02:16.960,0:02:20.360
член от втора степен долу [br]и като съберем тези две части

0:02:20.360,0:02:23.300
в числителя – нека изясня [br]още повече това, което казвам.

0:02:23.300,0:02:24.750
Това е за да видиш логиката.

0:02:24.750,0:02:30.990
Ако съберем само тези[br]две части тук, ще получим

0:02:30.990,0:02:34.680
нещо по x плюс нещо, всичко това

0:02:34.680,0:02:38.710
върху (x – 2)^2.

0:02:38.710,0:02:42.110
И това съответства на това, [br]което имахме в предишния клип,

0:02:42.110,0:02:44.030
където казахме, че ако имаме[br]член от втора степен в

0:02:44.030,0:02:46.610
знаменателя – което е и случаят тук,[br]ако разложим това –

0:02:46.610,0:02:48.930
трябва да имаме [br]член от първа степен в числителя.

0:02:48.930,0:02:49.830
Ще оставя това тук.

0:02:49.830,0:02:52.570
Има малко разлика [br]и е хубаво да помислим

0:02:52.570,0:02:54.570
защо това върши работа.

0:02:54.570,0:02:57.500
Нека решим задачата.

0:02:57.500,0:03:02.890
Нека изтрия някои от нещата, [br]които съм написал.

0:03:02.890,0:03:06.860
Трия всичко това.

0:03:06.860,0:03:07.980
Така.

0:03:07.980,0:03:09.590
Готови сме да решаваме тази задача.

0:03:09.590,0:03:11.640
След като това е разлагането,[br]сега трябва

0:03:11.640,0:03:14.630
просто да намерим A, B и C.

0:03:14.630,0:03:17.820
Ако искам да събера [br]тези три дроби, общият

0:03:17.820,0:03:29.920
знаменател е [br](x – 1) по (x – 2)^2.

0:03:29.950,0:03:33.860
Това е множител на това, [br]така че най-малкото общо

0:03:33.860,0:03:35.290
кратно на това и това [br]е просто това.

0:03:35.290,0:03:37.320
Значи тук имаме просто [br](x – 2)^2, ето защо

0:03:37.320,0:03:39.200
започнахме от тук.

0:03:39.200,0:03:43.810
Числителят ще бъде...[br]Ще взема друг цвят.

0:03:43.810,0:03:45.646
Числителят ми ще бъде А.

0:03:45.646,0:03:47.460
С какво трябва да умножим А ?

0:03:47.460,0:03:50.860
А по (х – 2)^2, нали ?

0:03:50.860,0:03:52.330
Ако съкратим тези, ни остава само

0:03:52.330,0:03:54.730
А/(x – 1);

0:03:54.730,0:04:02.270
+ B(x – 1)(x – 2).

0:04:02.400,0:04:02.620
Нали ?

0:04:02.620,0:04:06.520
Ако съкратим (x – 1)[br]и едно от тези (x – 2)

0:04:06.520,0:04:09.890
отдолу, ще ни остане само B/(x – 2)

0:04:09.890,0:04:14.650
плюс C(x – 1).

0:04:14.650,0:04:19.810
Ако това се съкрати с това, [br]ни остава C/(х – 2)^2.

0:04:19.850,0:04:25.490
И всичко това ще е равно...[br]това горе в син цвят...

0:04:25.490,0:04:32.900
на 6x^2 – 19x + 15,

0:04:32.900,0:04:36.440
всичко това върху (x – 1)

0:04:36.440,0:04:39.390
по (x – 2)^2.

0:04:39.390,0:04:41.370
И както правим във всяка задача,

0:04:41.370,0:04:44.060
знаменателите са еднакви,[br]така че нека просто

0:04:44.060,0:04:48.480
изравним числителите и да опитаме [br]да намерим А, B и C.

0:04:48.480,0:04:50.450
Ще препиша това.

0:04:50.450,0:04:52.070
Просто преписвам същото нещо.

0:04:52.070,0:05:01.560
А(x – 2)^2 + B(x – 1)(x – 2) +

0:05:01.560,0:05:11.240
C(x – 1) ще е равно на 6x^2 – 19х + 15.

0:05:11.260,0:05:12.140
Ето.

0:05:12.140,0:05:13.530
И сега трябва да ги намерим.

0:05:13.530,0:05:15.730
Може да процедираме [br]като при предишните задачи.

0:05:15.730,0:05:19.610
Можем да вземем стойности на x, които [br]ще съкратят нещо по добър за нас начин.

0:05:19.610,0:05:21.660
Ако искаме да намерим А, [br]трябва да направим

0:05:21.660,0:05:23.380
така, че B и C да се съкратят.

0:05:23.380,0:05:25.270
Просто трябва да вземем x = 1.

0:05:25.270,0:05:26.910
Защотo, ако x е 1, това става 0

0:05:26.910,0:05:28.840
и C изчезва.

0:05:28.840,0:05:31.230
Това става 0, така че целият [br]този член изчезва

0:05:31.230,0:05:32.360
и ни остава само това и това.

0:05:32.360,0:05:33.450
Нека направим това.

0:05:33.450,0:05:39.420
Когато x е равно на 1, [br]получаваме... ще взема

0:05:39.420,0:05:47.560
друг цвят – А по, 1 минус 2 е минус 1, [br]на квадрат е просто 1

0:05:47.560,0:05:48.430
Значи е А по 1.

0:05:48.430,0:05:49.920
Значи можем просто да оставим А тук.

0:05:49.920,0:05:52.400
Това става 0, защото този член тук

0:05:52.400,0:05:54.030
ще е 0, ако x е 1.

0:05:54.030,0:05:56.540
Това става 0, защото този член [br]ще бъде 0,

0:05:56.540,0:05:57.710
ако x е равно на 1.

0:05:57.710,0:06:05.260
Значи А е равно на 6 по 1, [br]значи 6, минус 19 по 1,

0:06:05.260,0:06:09.200
минус 19, плюс 15.

0:06:09.200,0:06:09.850
И колко е това ?

0:06:09.850,0:06:16.210
Минус 19 плюс 15, това е минус 4, [br]плюс 6, това е равно на 2.

0:06:16.210,0:06:17.390
Ето.

0:06:17.390,0:06:20.890
Сега нека да опитаме да намерим...[br]да видим, какво да направим ?

0:06:20.890,0:06:23.830
Ако направим x = 2, А ще изчезне.

0:06:23.830,0:06:26.760
Целият този член ще изчезне,[br]защото това ще е 0.

0:06:26.760,0:06:29.220
Можем да използваме това, [br]за да намерим C.

0:06:29.220,0:06:36.560
Ако кажем, че x = 2, [br]получаваме, че

0:06:36.560,0:06:38.270
този член ще е 0, [br]защото това е 0.

0:06:38.270,0:06:41.930
Целият този израз е 0, [br]защото x – 2 е 0.

0:06:41.930,0:06:45.660
И ни остава само[br]C по 2 минус 1, значи

0:06:45.660,0:06:51.040
това е само 1, значи[br]C е равно на 6 по 4, нали ?

0:06:51.040,0:06:52.180
2 на квадрат.

0:06:52.180,0:07:00.910
Значи е 24, минус 38,[br]19 по 2, плюс 15.

0:07:00.910,0:07:07.340
Да видим, 24 плюс 15 е 39, минус 38,[br]това е равно на 1.

0:07:07.340,0:07:09.250
Достигаме финалната линия.

0:07:09.250,0:07:13.050
Сега за B... няма ясен начин [br]да анулираме другите стойности,

0:07:13.050,0:07:14.790
без да анулираме B.

0:07:14.790,0:07:16.570
Но вече намерихме [br]всичко друго, значи просто

0:07:16.570,0:07:19.790
можем да вземем [br]произволна стойност за x, която да

0:07:19.790,0:07:21.200
направи нещата лесни за пресмятане.

0:07:21.200,0:07:24.870
Ако просто вземем x = 0, [br]това винаги е добър

0:07:24.870,0:07:27.760
начин да изясним [br]заплетени задачи по алгебра.

0:07:27.760,0:07:29.980
x е равно на 0, не на 3.

0:07:29.980,0:07:31.760
x e 0.

0:07:31.760,0:07:33.630
Нека взема друг цвят.

0:07:33.630,0:07:35.690
Ако x е равно на 0, какво се получава?

0:07:35.690,0:07:39.260
Имаме А, но А ни е 2, нали?

0:07:39.260,0:07:46.050
2 по 0 минус 2 на квадрат, [br]значи 2 по 4.

0:07:46.050,0:07:50.690
плюс B, което търсим, [br]всичко друго сме намерили,

0:07:50.690,0:07:54.200
B по минус 1, нали ?

0:07:54.200,0:07:56.140
0 минус 1 е минус 1.

0:07:56.140,0:08:03.620
По минус 2, плюс C по –1 [br]е равно на...

0:08:03.620,0:08:08.660
ако x е 0, тогава това е 0, [br]това е 0, е равно на 15.

0:08:08.660,0:08:10.190
Сега просто намираме B.

0:08:10.190,0:08:16.240
Получаваме 8 плюс 2B, нали така?

0:08:16.240,0:08:20.280
Минус 1 по минус 2 е плюс 2.

0:08:20.280,0:08:21.770
О, и тук не трябваше да пишем C,

0:08:21.770,0:08:22.560
знаем колко е C.

0:08:22.560,0:08:23.580
C e 1.

0:08:23.580,0:08:24.960
Значи тук имаме просто 1

0:08:24.960,0:08:30.260
Значи, 1 по минус 1 е минус 1, [br]е равно на 15.

0:08:30.260,0:08:36.990
И имаме 2B е равно на...[br]да видим, 16 е

0:08:36.990,0:08:41.760
равно на 8, B е равно на 4, [br]делим двете страни на 2.

0:08:41.760,0:08:43.080
И сме готови.

0:08:43.080,0:08:50.540
Значи разлагането на елементарна дроб е...

0:08:50.540,0:08:54.490
А, което вече намерихме, че е 2.

0:08:54.490,0:09:03.440
Значи е равно на 2/(x –1) [br]+ B, което е 4, значи плюс

0:09:03.440,0:09:12.820
4/(x – 2), + C, което е 1, [br]значи 1/(x – 2)^2.

0:09:12.820,0:09:15.780
И това, което направихме [br]с повтарящия се множител, е

0:09:15.780,0:09:17.690
правилно, ако сме достигнали [br]член от по-висока степен.

0:09:17.690,0:09:22.970
Значи, ако имахме нещо, [br]нещо, нещо (някакъв многочлен)

0:09:22.970,0:09:27.770
и всичко това беше върху x минус...[br]някакво число, например а,

0:09:27.770,0:09:31.420
x минус а на 10-та степен.

0:09:31.420,0:09:35.000
Да, нека е 10-та степен.

0:09:35.000,0:09:40.300
Ако искаме да разложим [br]на елементарни дроби,

0:09:40.300,0:09:45.630
ще бъде А върху (B – а) –[br]това е различно а.

0:09:45.630,0:09:46.930
Просто ти показвам това...

0:09:46.930,0:09:52.190
Плюс B по (x – а)^2 плюс, [br]и т.н. и т.н.

0:09:52.220,0:09:56.270
Ще имаш 10 члена, плюс – [br]не знам коя е 10-тата буква от

0:09:56.270,0:09:59.150
латинската азбука – може би H или I.

0:09:59.150,0:10:00.510
Може би J.

0:10:00.510,0:10:05.160
J върху (x – а) на 10-та.

0:10:05.160,0:10:07.550
Принципно можеш да използваш[br]това свойство, въпреки че много

0:10:07.550,0:10:09.960
рядко ще видиш нещо такова, защото би

0:10:09.960,0:10:11.950
ти отнело цяла безкрайност да го решиш.

0:10:11.950,0:10:14.440
Най-заплетената задача, която може[br]да видиш на изпит, е с 3 променливи,

0:10:14.440,0:10:18.290
вероятно е нещо като тази [br]от предишния пример, или

0:10:18.290,0:10:21.120
пък тази, която ти показах току-що.

0:10:21.120,0:10:22.950
За по-заплетени задачи, вероятно

0:10:22.950,0:10:23.720
бихме използвали компютър.

0:10:23.720,0:10:25.270
Но пак трябва да знаеш[br]как се прави, защото, ако

0:10:25.270,0:10:27.530
решаваш с компютър [br]истинска задача, много

0:10:27.530,0:10:30.490
по-сложна от тази, [br]трябва да знаеш как да я решиш.

0:10:30.490,0:10:34.170
Както и да е, надявам се [br]това да е било полезно.

0:10:34.170,0:10:34.460
-