1
00:00:00,620 --> 00:00:05,370
Има още един тип задачи 
за разлагане на елементарни дроби,

2
00:00:05,370 --> 00:00:06,960
на които може да попаднеш, така че

3
00:00:06,960 --> 00:00:08,100
нека да разгледаме и него.

4
00:00:08,100 --> 00:00:10,960
Това е ситуацията, в която 
имаш повтарящ се

5
00:00:10,960 --> 00:00:11,790
множител в знаменателя.

6
00:00:11,790 --> 00:00:15,060
Да видим, тук направих 
една задачка...

7
00:00:15,060 --> 00:00:18,320
я да си видя маркера...

8
00:00:18,320 --> 00:00:27,420
6x^2 – 19x + 15

9
00:00:27,460 --> 00:00:33,880
Всичко това върху (x – 1) пo...
и ето какво прави

10
00:00:33,880 --> 00:00:36,640
задачата интересна за нас –

11
00:00:36,640 --> 00:00:40,500
по (x – 2)^2.

12
00:00:40,500 --> 00:00:42,560
Ще си кажеш: 
"О, това е различно!"

13
00:00:42,560 --> 00:00:43,660
Защото какво имам тук?

14
00:00:43,660 --> 00:00:47,840
Имам множител от първа степен, 
който се появява два пъти.

15
00:00:47,840 --> 00:00:49,860
Няма логика, например,

16
00:00:49,860 --> 00:00:51,020
да направя нещо като това:

17
00:00:51,020 --> 00:00:59,240
А/(x – 1) + B/(x – 2) + C/(x – 2).

18
00:00:59,240 --> 00:01:01,610
Ако имаме това, 
можем просто да съберем B и C,

19
00:01:01,610 --> 00:01:03,670
защото имат еднакъв знаменател.

20
00:01:03,670 --> 00:01:05,690
Можеш да си ги представиш
като една променлива.

21
00:01:05,690 --> 00:01:07,670
Тук не би имало
две отделни променливи.

22
00:01:07,670 --> 00:01:09,940
Това не би било логично като

23
00:01:09,940 --> 00:01:11,160
разлагане на това
до елементарни дроби.

24
00:01:11,160 --> 00:01:14,820
Може би ти се иска да повдигнеш
това на квадрат и да го разгледаш

25
00:01:14,820 --> 00:01:17,420
като член от втора степен и да го решиш
като предния ни пример.

26
00:01:17,420 --> 00:01:20,540
Но тогава няма напълно 
да сме разложили задачата.

27
00:01:20,540 --> 00:01:22,900
Така че отговорът тук – 
ще ти покажа как се прави

28
00:01:22,900 --> 00:01:27,680
и ще те оставя да помислиш
защо става по този начин –

29
00:01:27,680 --> 00:01:30,700
е да разложим почти така, 
но вместо

30
00:01:30,700 --> 00:01:34,970
да имаме C/(x – 2), ще имаме 
С/(x – 2)^2.

31
00:01:35,005 --> 00:01:36,720
Ще опитам да ти покажа логиката

32
00:01:36,720 --> 00:01:38,150
за това, защо се получава това.

33
00:01:38,150 --> 00:01:43,490
Значи разлагането тук ще е 
А/( x – 1)

34
00:01:43,490 --> 00:01:53,430
+ B/(x – 2) + C/(x – 2)^2.

35
00:01:53,430 --> 00:01:55,890
И логиката тук е – 
нека за момента забравим

36
00:01:55,890 --> 00:01:57,270
този член.

37
00:01:57,270 --> 00:02:02,140
Ако съберем тези два члена тук, 
ще получим

38
00:02:02,140 --> 00:02:07,790
рационална функция, която ще има

39
00:02:07,790 --> 00:02:10,200
нещо по x плюс нещо.

40
00:02:10,200 --> 00:02:13,390
И това ще съответства на това, 
което направихме във

41
00:02:13,390 --> 00:02:16,960
втория клип за разлагане на 
елементарни дроби, където имаме

42
00:02:16,960 --> 00:02:20,360
член от втора степен долу 
и като съберем тези две части

43
00:02:20,360 --> 00:02:23,300
в числителя – нека изясня 
още повече това, което казвам.

44
00:02:23,300 --> 00:02:24,750
Това е за да видиш логиката.

45
00:02:24,750 --> 00:02:30,990
Ако съберем само тези
две части тук, ще получим

46
00:02:30,990 --> 00:02:34,680
нещо по x плюс нещо, всичко това

47
00:02:34,680 --> 00:02:38,710
върху (x – 2)^2.

48
00:02:38,710 --> 00:02:42,110
И това съответства на това, 
което имахме в предишния клип,

49
00:02:42,110 --> 00:02:44,030
където казахме, че ако имаме
член от втора степен в

50
00:02:44,030 --> 00:02:46,610
знаменателя – което е и случаят тук,
ако разложим това –

51
00:02:46,610 --> 00:02:48,930
трябва да имаме 
член от първа степен в числителя.

52
00:02:48,930 --> 00:02:49,830
Ще оставя това тук.

53
00:02:49,830 --> 00:02:52,570
Има малко разлика 
и е хубаво да помислим

54
00:02:52,570 --> 00:02:54,570
защо това върши работа.

55
00:02:54,570 --> 00:02:57,500
Нека решим задачата.

56
00:02:57,500 --> 00:03:02,890
Нека изтрия някои от нещата, 
които съм написал.

57
00:03:02,890 --> 00:03:06,860
Трия всичко това.

58
00:03:06,860 --> 00:03:07,980
Така.

59
00:03:07,980 --> 00:03:09,590
Готови сме да решаваме тази задача.

60
00:03:09,590 --> 00:03:11,640
След като това е разлагането,
сега трябва

61
00:03:11,640 --> 00:03:14,630
просто да намерим A, B и C.

62
00:03:14,630 --> 00:03:17,820
Ако искам да събера 
тези три дроби, общият

63
00:03:17,820 --> 00:03:29,920
знаменател е 
(x – 1) по (x – 2)^2.

64
00:03:29,950 --> 00:03:33,860
Това е множител на това, 
така че най-малкото общо

65
00:03:33,860 --> 00:03:35,290
кратно на това и това 
е просто това.

66
00:03:35,290 --> 00:03:37,320
Значи тук имаме просто 
(x – 2)^2, ето защо

67
00:03:37,320 --> 00:03:39,200
започнахме от тук.

68
00:03:39,200 --> 00:03:43,810
Числителят ще бъде...
Ще взема друг цвят.

69
00:03:43,810 --> 00:03:45,646
Числителят ми ще бъде А.

70
00:03:45,646 --> 00:03:47,460
С какво трябва да умножим А ?

71
00:03:47,460 --> 00:03:50,860
А по (х – 2)^2, нали ?

72
00:03:50,860 --> 00:03:52,330
Ако съкратим тези, ни остава само

73
00:03:52,330 --> 00:03:54,730
А/(x – 1);

74
00:03:54,730 --> 00:04:02,270
+ B(x – 1)(x – 2).

75
00:04:02,400 --> 00:04:02,620
Нали ?

76
00:04:02,620 --> 00:04:06,520
Ако съкратим (x – 1)
и едно от тези (x – 2)

77
00:04:06,520 --> 00:04:09,890
отдолу, ще ни остане само B/(x – 2)

78
00:04:09,890 --> 00:04:14,650
плюс C(x – 1).

79
00:04:14,650 --> 00:04:19,810
Ако това се съкрати с това, 
ни остава C/(х – 2)^2.

80
00:04:19,850 --> 00:04:25,490
И всичко това ще е равно...
това горе в син цвят...

81
00:04:25,490 --> 00:04:32,900
на 6x^2 – 19x + 15,

82
00:04:32,900 --> 00:04:36,440
всичко това върху (x – 1)

83
00:04:36,440 --> 00:04:39,390
по (x – 2)^2.

84
00:04:39,390 --> 00:04:41,370
И както правим във всяка задача,

85
00:04:41,370 --> 00:04:44,060
знаменателите са еднакви,
така че нека просто

86
00:04:44,060 --> 00:04:48,480
изравним числителите и да опитаме 
да намерим А, B и C.

87
00:04:48,480 --> 00:04:50,450
Ще препиша това.

88
00:04:50,450 --> 00:04:52,070
Просто преписвам същото нещо.

89
00:04:52,070 --> 00:05:01,560
А(x – 2)^2 + B(x – 1)(x – 2) +

90
00:05:01,560 --> 00:05:11,240
C(x – 1) ще е равно на 6x^2 – 19х + 15.

91
00:05:11,260 --> 00:05:12,140
Ето.

92
00:05:12,140 --> 00:05:13,530
И сега трябва да ги намерим.

93
00:05:13,530 --> 00:05:15,730
Може да процедираме 
като при предишните задачи.

94
00:05:15,730 --> 00:05:19,610
Можем да вземем стойности на x, които 
ще съкратят нещо по добър за нас начин.

95
00:05:19,610 --> 00:05:21,660
Ако искаме да намерим А, 
трябва да направим

96
00:05:21,660 --> 00:05:23,380
така, че B и C да се съкратят.

97
00:05:23,380 --> 00:05:25,270
Просто трябва да вземем x = 1.

98
00:05:25,270 --> 00:05:26,910
Защотo, ако x е 1, това става 0

99
00:05:26,910 --> 00:05:28,840
и C изчезва.

100
00:05:28,840 --> 00:05:31,230
Това става 0, така че целият 
този член изчезва

101
00:05:31,230 --> 00:05:32,360
и ни остава само това и това.

102
00:05:32,360 --> 00:05:33,450
Нека направим това.

103
00:05:33,450 --> 00:05:39,420
Когато x е равно на 1, 
получаваме... ще взема

104
00:05:39,420 --> 00:05:47,560
друг цвят – А по, 1 минус 2 е минус 1, 
на квадрат е просто 1

105
00:05:47,560 --> 00:05:48,430
Значи е А по 1.

106
00:05:48,430 --> 00:05:49,920
Значи можем просто да оставим А тук.

107
00:05:49,920 --> 00:05:52,400
Това става 0, защото този член тук

108
00:05:52,400 --> 00:05:54,030
ще е 0, ако x е 1.

109
00:05:54,030 --> 00:05:56,540
Това става 0, защото този член 
ще бъде 0,

110
00:05:56,540 --> 00:05:57,710
ако x е равно на 1.

111
00:05:57,710 --> 00:06:05,260
Значи А е равно на 6 по 1, 
значи 6, минус 19 по 1,

112
00:06:05,260 --> 00:06:09,200
минус 19, плюс 15.

113
00:06:09,200 --> 00:06:09,850
И колко е това ?

114
00:06:09,850 --> 00:06:16,210
Минус 19 плюс 15, това е минус 4, 
плюс 6, това е равно на 2.

115
00:06:16,210 --> 00:06:17,390
Ето.

116
00:06:17,390 --> 00:06:20,890
Сега нека да опитаме да намерим...
да видим, какво да направим ?

117
00:06:20,890 --> 00:06:23,830
Ако направим x = 2, А ще изчезне.

118
00:06:23,830 --> 00:06:26,760
Целият този член ще изчезне,
защото това ще е 0.

119
00:06:26,760 --> 00:06:29,220
Можем да използваме това, 
за да намерим C.

120
00:06:29,220 --> 00:06:36,560
Ако кажем, че x = 2, 
получаваме, че

121
00:06:36,560 --> 00:06:38,270
този член ще е 0, 
защото това е 0.

122
00:06:38,270 --> 00:06:41,930
Целият този израз е 0, 
защото x – 2 е 0.

123
00:06:41,930 --> 00:06:45,660
И ни остава само
C по 2 минус 1, значи

124
00:06:45,660 --> 00:06:51,040
това е само 1, значи
C е равно на 6 по 4, нали ?

125
00:06:51,040 --> 00:06:52,180
2 на квадрат.

126
00:06:52,180 --> 00:07:00,910
Значи е 24, минус 38,
19 по 2, плюс 15.

127
00:07:00,910 --> 00:07:07,340
Да видим, 24 плюс 15 е 39, минус 38,
това е равно на 1.

128
00:07:07,340 --> 00:07:09,250
Достигаме финалната линия.

129
00:07:09,250 --> 00:07:13,050
Сега за B... няма ясен начин 
да анулираме другите стойности,

130
00:07:13,050 --> 00:07:14,790
без да анулираме B.

131
00:07:14,790 --> 00:07:16,570
Но вече намерихме 
всичко друго, значи просто

132
00:07:16,570 --> 00:07:19,790
можем да вземем 
произволна стойност за x, която да

133
00:07:19,790 --> 00:07:21,200
направи нещата лесни за пресмятане.

134
00:07:21,200 --> 00:07:24,870
Ако просто вземем x = 0, 
това винаги е добър

135
00:07:24,870 --> 00:07:27,760
начин да изясним 
заплетени задачи по алгебра.

136
00:07:27,760 --> 00:07:29,980
x е равно на 0, не на 3.

137
00:07:29,980 --> 00:07:31,760
x e 0.

138
00:07:31,760 --> 00:07:33,630
Нека взема друг цвят.

139
00:07:33,630 --> 00:07:35,690
Ако x е равно на 0, какво се получава?

140
00:07:35,690 --> 00:07:39,260
Имаме А, но А ни е 2, нали?

141
00:07:39,260 --> 00:07:46,050
2 по 0 минус 2 на квадрат, 
значи 2 по 4.

142
00:07:46,050 --> 00:07:50,690
плюс B, което търсим, 
всичко друго сме намерили,

143
00:07:50,690 --> 00:07:54,200
B по минус 1, нали ?

144
00:07:54,200 --> 00:07:56,140
0 минус 1 е минус 1.

145
00:07:56,140 --> 00:08:03,620
По минус 2, плюс C по –1 
е равно на...

146
00:08:03,620 --> 00:08:08,660
ако x е 0, тогава това е 0, 
това е 0, е равно на 15.

147
00:08:08,660 --> 00:08:10,190
Сега просто намираме B.

148
00:08:10,190 --> 00:08:16,240
Получаваме 8 плюс 2B, нали така?

149
00:08:16,240 --> 00:08:20,280
Минус 1 по минус 2 е плюс 2.

150
00:08:20,280 --> 00:08:21,770
О, и тук не трябваше да пишем C,

151
00:08:21,770 --> 00:08:22,560
знаем колко е C.

152
00:08:22,560 --> 00:08:23,580
C e 1.

153
00:08:23,580 --> 00:08:24,960
Значи тук имаме просто 1

154
00:08:24,960 --> 00:08:30,260
Значи, 1 по минус 1 е минус 1, 
е равно на 15.

155
00:08:30,260 --> 00:08:36,990
И имаме 2B е равно на...
да видим, 16 е

156
00:08:36,990 --> 00:08:41,760
равно на 8, B е равно на 4, 
делим двете страни на 2.

157
00:08:41,760 --> 00:08:43,080
И сме готови.

158
00:08:43,080 --> 00:08:50,540
Значи разлагането на елементарна дроб е...

159
00:08:50,540 --> 00:08:54,490
А, което вече намерихме, че е 2.

160
00:08:54,490 --> 00:09:03,440
Значи е равно на 2/(x –1) 
+ B, което е 4, значи плюс

161
00:09:03,440 --> 00:09:12,820
4/(x – 2), + C, което е 1, 
значи 1/(x – 2)^2.

162
00:09:12,820 --> 00:09:15,780
И това, което направихме 
с повтарящия се множител, е

163
00:09:15,780 --> 00:09:17,690
правилно, ако сме достигнали 
член от по-висока степен.

164
00:09:17,690 --> 00:09:22,970
Значи, ако имахме нещо, 
нещо, нещо (някакъв многочлен)

165
00:09:22,970 --> 00:09:27,770
и всичко това беше върху x минус...
някакво число, например а,

166
00:09:27,770 --> 00:09:31,420
x минус а на 10-та степен.

167
00:09:31,420 --> 00:09:35,000
Да, нека е 10-та степен.

168
00:09:35,000 --> 00:09:40,300
Ако искаме да разложим 
на елементарни дроби,

169
00:09:40,300 --> 00:09:45,630
ще бъде А върху (B – а) –
това е различно а.

170
00:09:45,630 --> 00:09:46,930
Просто ти показвам това...

171
00:09:46,930 --> 00:09:52,190
Плюс B по (x – а)^2 плюс, 
и т.н. и т.н.

172
00:09:52,220 --> 00:09:56,270
Ще имаш 10 члена, плюс – 
не знам коя е 10-тата буква от

173
00:09:56,270 --> 00:09:59,150
латинската азбука – може би H или I.

174
00:09:59,150 --> 00:10:00,510
Може би J.

175
00:10:00,510 --> 00:10:05,160
J върху (x – а) на 10-та.

176
00:10:05,160 --> 00:10:07,550
Принципно можеш да използваш
това свойство, въпреки че много

177
00:10:07,550 --> 00:10:09,960
рядко ще видиш нещо такова, защото би

178
00:10:09,960 --> 00:10:11,950
ти отнело цяла безкрайност да го решиш.

179
00:10:11,950 --> 00:10:14,440
Най-заплетената задача, която може
да видиш на изпит, е с 3 променливи,

180
00:10:14,440 --> 00:10:18,290
вероятно е нещо като тази 
от предишния пример, или

181
00:10:18,290 --> 00:10:21,120
пък тази, която ти показах току-що.

182
00:10:21,120 --> 00:10:22,950
За по-заплетени задачи, вероятно

183
00:10:22,950 --> 00:10:23,720
бихме използвали компютър.

184
00:10:23,720 --> 00:10:25,270
Но пак трябва да знаеш
как се прави, защото, ако

185
00:10:25,270 --> 00:10:27,530
решаваш с компютър 
истинска задача, много

186
00:10:27,530 --> 00:10:30,490
по-сложна от тази, 
трябва да знаеш как да я решиш.

187
00:10:30,490 --> 00:10:34,170
Както и да е, надявам се 
това да е било полезно.

188
00:10:34,170 --> 00:10:34,460
-