Има още един тип задачи за разлагане на елементарни дроби,
на които може да попаднеш, така че
нека да разгледаме и него.
Това е ситуацията, в която имаш повтарящ се
множител в знаменателя.
Да видим, тук направих една задачка...
я да си видя маркера...
6x^2 – 19x + 15
Всичко това върху (x – 1) пo... и ето какво прави
задачата интересна за нас –
по (x – 2)^2.
Ще си кажеш: "О, това е различно!"
Защото какво имам тук?
Имам множител от първа степен, който се появява два пъти.
Няма логика, например,
да направя нещо като това:
А/(x – 1) + B/(x – 2) + C/(x – 2).
Ако имаме това, можем просто да съберем B и C,
защото имат еднакъв знаменател.
Можеш да си ги представиш като една променлива.
Тук не би имало две отделни променливи.
Това не би било логично като
разлагане на това до елементарни дроби.
Може би ти се иска да повдигнеш това на квадрат и да го разгледаш
като член от втора степен и да го решиш като предния ни пример.
Но тогава няма напълно да сме разложили задачата.
Така че отговорът тук – ще ти покажа как се прави
и ще те оставя да помислиш защо става по този начин –
е да разложим почти така, но вместо
да имаме C/(x – 2), ще имаме С/(x – 2)^2.
Ще опитам да ти покажа логиката
за това, защо се получава това.
Значи разлагането тук ще е А/( x – 1)
+ B/(x – 2) + C/(x – 2)^2.
И логиката тук е – нека за момента забравим
този член.
Ако съберем тези два члена тук, ще получим
рационална функция, която ще има
нещо по x плюс нещо.
И това ще съответства на това, което направихме във
втория клип за разлагане на елементарни дроби, където имаме
член от втора степен долу и като съберем тези две части
в числителя – нека изясня още повече това, което казвам.
Това е за да видиш логиката.
Ако съберем само тези две части тук, ще получим
нещо по x плюс нещо, всичко това
върху (x – 2)^2.
И това съответства на това, което имахме в предишния клип,
където казахме, че ако имаме член от втора степен в
знаменателя – което е и случаят тук, ако разложим това –
трябва да имаме член от първа степен в числителя.
Ще оставя това тук.
Има малко разлика и е хубаво да помислим
защо това върши работа.
Нека решим задачата.
Нека изтрия някои от нещата, които съм написал.
Трия всичко това.
Така.
Готови сме да решаваме тази задача.
След като това е разлагането, сега трябва
просто да намерим A, B и C.
Ако искам да събера тези три дроби, общият
знаменател е (x – 1) по (x – 2)^2.
Това е множител на това, така че най-малкото общо
кратно на това и това е просто това.
Значи тук имаме просто (x – 2)^2, ето защо
започнахме от тук.
Числителят ще бъде... Ще взема друг цвят.
Числителят ми ще бъде А.
С какво трябва да умножим А ?
А по (х – 2)^2, нали ?
Ако съкратим тези, ни остава само
А/(x – 1);
+ B(x – 1)(x – 2).
Нали ?
Ако съкратим (x – 1) и едно от тези (x – 2)
отдолу, ще ни остане само B/(x – 2)
плюс C(x – 1).
Ако това се съкрати с това, ни остава C/(х – 2)^2.
И всичко това ще е равно... това горе в син цвят...
на 6x^2 – 19x + 15,
всичко това върху (x – 1)
по (x – 2)^2.
И както правим във всяка задача,
знаменателите са еднакви, така че нека просто
изравним числителите и да опитаме да намерим А, B и C.
Ще препиша това.
Просто преписвам същото нещо.
А(x – 2)^2 + B(x – 1)(x – 2) +
C(x – 1) ще е равно на 6x^2 – 19х + 15.
Ето.
И сега трябва да ги намерим.
Може да процедираме като при предишните задачи.
Можем да вземем стойности на x, които ще съкратят нещо по добър за нас начин.
Ако искаме да намерим А, трябва да направим
така, че B и C да се съкратят.
Просто трябва да вземем x = 1.
Защотo, ако x е 1, това става 0
и C изчезва.
Това става 0, така че целият този член изчезва
и ни остава само това и това.
Нека направим това.
Когато x е равно на 1, получаваме... ще взема
друг цвят – А по, 1 минус 2 е минус 1, на квадрат е просто 1
Значи е А по 1.
Значи можем просто да оставим А тук.
Това става 0, защото този член тук
ще е 0, ако x е 1.
Това става 0, защото този член ще бъде 0,
ако x е равно на 1.
Значи А е равно на 6 по 1, значи 6, минус 19 по 1,
минус 19, плюс 15.
И колко е това ?
Минус 19 плюс 15, това е минус 4, плюс 6, това е равно на 2.
Ето.
Сега нека да опитаме да намерим... да видим, какво да направим ?
Ако направим x = 2, А ще изчезне.
Целият този член ще изчезне, защото това ще е 0.
Можем да използваме това, за да намерим C.
Ако кажем, че x = 2, получаваме, че
този член ще е 0, защото това е 0.
Целият този израз е 0, защото x – 2 е 0.
И ни остава само C по 2 минус 1, значи
това е само 1, значи C е равно на 6 по 4, нали ?
2 на квадрат.
Значи е 24, минус 38, 19 по 2, плюс 15.
Да видим, 24 плюс 15 е 39, минус 38, това е равно на 1.
Достигаме финалната линия.
Сега за B... няма ясен начин да анулираме другите стойности,
без да анулираме B.
Но вече намерихме всичко друго, значи просто
можем да вземем произволна стойност за x, която да
направи нещата лесни за пресмятане.
Ако просто вземем x = 0, това винаги е добър
начин да изясним заплетени задачи по алгебра.
x е равно на 0, не на 3.
x e 0.
Нека взема друг цвят.
Ако x е равно на 0, какво се получава?
Имаме А, но А ни е 2, нали?
2 по 0 минус 2 на квадрат, значи 2 по 4.
плюс B, което търсим, всичко друго сме намерили,
B по минус 1, нали ?
0 минус 1 е минус 1.
По минус 2, плюс C по –1 е равно на...
ако x е 0, тогава това е 0, това е 0, е равно на 15.
Сега просто намираме B.
Получаваме 8 плюс 2B, нали така?
Минус 1 по минус 2 е плюс 2.
О, и тук не трябваше да пишем C,
знаем колко е C.
C e 1.
Значи тук имаме просто 1
Значи, 1 по минус 1 е минус 1, е равно на 15.
И имаме 2B е равно на... да видим, 16 е
равно на 8, B е равно на 4, делим двете страни на 2.
И сме готови.
Значи разлагането на елементарна дроб е...
А, което вече намерихме, че е 2.
Значи е равно на 2/(x –1) + B, което е 4, значи плюс
4/(x – 2), + C, което е 1, значи 1/(x – 2)^2.
И това, което направихме с повтарящия се множител, е
правилно, ако сме достигнали член от по-висока степен.
Значи, ако имахме нещо, нещо, нещо (някакъв многочлен)
и всичко това беше върху x минус... някакво число, например а,
x минус а на 10-та степен.
Да, нека е 10-та степен.
Ако искаме да разложим на елементарни дроби,
ще бъде А върху (B – а) – това е различно а.
Просто ти показвам това...
Плюс B по (x – а)^2 плюс, и т.н. и т.н.
Ще имаш 10 члена, плюс – не знам коя е 10-тата буква от
латинската азбука – може би H или I.
Може би J.
J върху (x – а) на 10-та.
Принципно можеш да използваш това свойство, въпреки че много
рядко ще видиш нещо такова, защото би
ти отнело цяла безкрайност да го решиш.
Най-заплетената задача, която може да видиш на изпит, е с 3 променливи,
вероятно е нещо като тази от предишния пример, или
пък тази, която ти показах току-що.
За по-заплетени задачи, вероятно
бихме използвали компютър.
Но пак трябва да знаеш как се прави, защото, ако
решаваш с компютър истинска задача, много
по-сложна от тази, трябва да знаеш как да я решиш.
Както и да е, надявам се това да е било полезно.
-