WEBVTT

00:00:00.620 --> 00:00:05.370
Има още един тип задачи 
за разлагане на елементарни дроби,

00:00:05.370 --> 00:00:06.960
на които може да попаднеш, така че

00:00:06.960 --> 00:00:08.100
нека да разгледаме и него.

00:00:08.100 --> 00:00:10.960
Това е ситуацията, в която 
имаш повтарящ се

00:00:10.960 --> 00:00:11.790
множител в знаменателя.

00:00:11.790 --> 00:00:15.060
Да видим, тук направих 
една задачка...

00:00:15.060 --> 00:00:18.320
я да си видя маркера...

00:00:18.320 --> 00:00:27.420
6x^2 – 19x + 15

00:00:27.460 --> 00:00:33.880
Всичко това върху (x – 1) пo...
и ето какво прави

00:00:33.880 --> 00:00:36.640
задачата интересна за нас –

00:00:36.640 --> 00:00:40.500
по (x – 2)^2.

00:00:40.500 --> 00:00:42.560
Ще си кажеш: 
"О, това е различно!"

00:00:42.560 --> 00:00:43.660
Защото какво имам тук?

00:00:43.660 --> 00:00:47.840
Имам множител от първа степен, 
който се появява два пъти.

00:00:47.840 --> 00:00:49.860
Няма логика, например,

00:00:49.860 --> 00:00:51.020
да направя нещо като това:

00:00:51.020 --> 00:00:59.240
А/(x – 1) + B/(x – 2) + C/(x – 2).

00:00:59.240 --> 00:01:01.610
Ако имаме това, 
можем просто да съберем B и C,

00:01:01.610 --> 00:01:03.670
защото имат еднакъв знаменател.

00:01:03.670 --> 00:01:05.690
Можеш да си ги представиш
като една променлива.

00:01:05.690 --> 00:01:07.670
Тук не би имало
две отделни променливи.

00:01:07.670 --> 00:01:09.940
Това не би било логично като

00:01:09.940 --> 00:01:11.160
разлагане на това
до елементарни дроби.

00:01:11.160 --> 00:01:14.820
Може би ти се иска да повдигнеш
това на квадрат и да го разгледаш

00:01:14.820 --> 00:01:17.420
като член от втора степен и да го решиш
като предния ни пример.

00:01:17.420 --> 00:01:20.540
Но тогава няма напълно 
да сме разложили задачата.

00:01:20.540 --> 00:01:22.900
Така че отговорът тук – 
ще ти покажа как се прави

00:01:22.900 --> 00:01:27.680
и ще те оставя да помислиш
защо става по този начин –

00:01:27.680 --> 00:01:30.700
е да разложим почти така, 
но вместо

00:01:30.700 --> 00:01:34.970
да имаме C/(x – 2), ще имаме 
С/(x – 2)^2.

00:01:35.005 --> 00:01:36.720
Ще опитам да ти покажа логиката

00:01:36.720 --> 00:01:38.150
за това, защо се получава това.

00:01:38.150 --> 00:01:43.490
Значи разлагането тук ще е 
А/( x – 1)

00:01:43.490 --> 00:01:53.430
+ B/(x – 2) + C/(x – 2)^2.

00:01:53.430 --> 00:01:55.890
И логиката тук е – 
нека за момента забравим

00:01:55.890 --> 00:01:57.270
този член.

00:01:57.270 --> 00:02:02.140
Ако съберем тези два члена тук, 
ще получим

00:02:02.140 --> 00:02:07.790
рационална функция, която ще има

00:02:07.790 --> 00:02:10.200
нещо по x плюс нещо.

00:02:10.200 --> 00:02:13.390
И това ще съответства на това, 
което направихме във

00:02:13.390 --> 00:02:16.960
втория клип за разлагане на 
елементарни дроби, където имаме

00:02:16.960 --> 00:02:20.360
член от втора степен долу 
и като съберем тези две части

00:02:20.360 --> 00:02:23.300
в числителя – нека изясня 
още повече това, което казвам.

00:02:23.300 --> 00:02:24.750
Това е за да видиш логиката.

00:02:24.750 --> 00:02:30.990
Ако съберем само тези
две части тук, ще получим

00:02:30.990 --> 00:02:34.680
нещо по x плюс нещо, всичко това

00:02:34.680 --> 00:02:38.710
върху (x – 2)^2.

00:02:38.710 --> 00:02:42.110
И това съответства на това, 
което имахме в предишния клип,

00:02:42.110 --> 00:02:44.030
където казахме, че ако имаме
член от втора степен в

00:02:44.030 --> 00:02:46.610
знаменателя – което е и случаят тук,
ако разложим това –

00:02:46.610 --> 00:02:48.930
трябва да имаме 
член от първа степен в числителя.

00:02:48.930 --> 00:02:49.830
Ще оставя това тук.

00:02:49.830 --> 00:02:52.570
Има малко разлика 
и е хубаво да помислим

00:02:52.570 --> 00:02:54.570
защо това върши работа.

00:02:54.570 --> 00:02:57.500
Нека решим задачата.

00:02:57.500 --> 00:03:02.890
Нека изтрия някои от нещата, 
които съм написал.

00:03:02.890 --> 00:03:06.860
Трия всичко това.

00:03:06.860 --> 00:03:07.980
Така.

00:03:07.980 --> 00:03:09.590
Готови сме да решаваме тази задача.

00:03:09.590 --> 00:03:11.640
След като това е разлагането,
сега трябва

00:03:11.640 --> 00:03:14.630
просто да намерим A, B и C.

00:03:14.630 --> 00:03:17.820
Ако искам да събера 
тези три дроби, общият

00:03:17.820 --> 00:03:29.920
знаменател е 
(x – 1) по (x – 2)^2.

00:03:29.950 --> 00:03:33.860
Това е множител на това, 
така че най-малкото общо

00:03:33.860 --> 00:03:35.290
кратно на това и това 
е просто това.

00:03:35.290 --> 00:03:37.320
Значи тук имаме просто 
(x – 2)^2, ето защо

00:03:37.320 --> 00:03:39.200
започнахме от тук.

00:03:39.200 --> 00:03:43.810
Числителят ще бъде...
Ще взема друг цвят.

00:03:43.810 --> 00:03:45.646
Числителят ми ще бъде А.

00:03:45.646 --> 00:03:47.460
С какво трябва да умножим А ?

00:03:47.460 --> 00:03:50.860
А по (х – 2)^2, нали ?

00:03:50.860 --> 00:03:52.330
Ако съкратим тези, ни остава само

00:03:52.330 --> 00:03:54.730
А/(x – 1);

00:03:54.730 --> 00:04:02.270
+ B(x – 1)(x – 2).

00:04:02.400 --> 00:04:02.620
Нали ?

00:04:02.620 --> 00:04:06.520
Ако съкратим (x – 1)
и едно от тези (x – 2)

00:04:06.520 --> 00:04:09.890
отдолу, ще ни остане само B/(x – 2)

00:04:09.890 --> 00:04:14.650
плюс C(x – 1).

00:04:14.650 --> 00:04:19.810
Ако това се съкрати с това, 
ни остава C/(х – 2)^2.

00:04:19.850 --> 00:04:25.490
И всичко това ще е равно...
това горе в син цвят...

00:04:25.490 --> 00:04:32.900
на 6x^2 – 19x + 15,

00:04:32.900 --> 00:04:36.440
всичко това върху (x – 1)

00:04:36.440 --> 00:04:39.390
по (x – 2)^2.

00:04:39.390 --> 00:04:41.370
И както правим във всяка задача,

00:04:41.370 --> 00:04:44.060
знаменателите са еднакви,
така че нека просто

00:04:44.060 --> 00:04:48.480
изравним числителите и да опитаме 
да намерим А, B и C.

00:04:48.480 --> 00:04:50.450
Ще препиша това.

00:04:50.450 --> 00:04:52.070
Просто преписвам същото нещо.

00:04:52.070 --> 00:05:01.560
А(x – 2)^2 + B(x – 1)(x – 2) +

00:05:01.560 --> 00:05:11.240
C(x – 1) ще е равно на 6x^2 – 19х + 15.

00:05:11.260 --> 00:05:12.140
Ето.

00:05:12.140 --> 00:05:13.530
И сега трябва да ги намерим.

00:05:13.530 --> 00:05:15.730
Може да процедираме 
като при предишните задачи.

00:05:15.730 --> 00:05:19.610
Можем да вземем стойности на x, които 
ще съкратят нещо по добър за нас начин.

00:05:19.610 --> 00:05:21.660
Ако искаме да намерим А, 
трябва да направим

00:05:21.660 --> 00:05:23.380
така, че B и C да се съкратят.

00:05:23.380 --> 00:05:25.270
Просто трябва да вземем x = 1.

00:05:25.270 --> 00:05:26.910
Защотo, ако x е 1, това става 0

00:05:26.910 --> 00:05:28.840
и C изчезва.

00:05:28.840 --> 00:05:31.230
Това става 0, така че целият 
този член изчезва

00:05:31.230 --> 00:05:32.360
и ни остава само това и това.

00:05:32.360 --> 00:05:33.450
Нека направим това.

00:05:33.450 --> 00:05:39.420
Когато x е равно на 1, 
получаваме... ще взема

00:05:39.420 --> 00:05:47.560
друг цвят – А по, 1 минус 2 е минус 1, 
на квадрат е просто 1

00:05:47.560 --> 00:05:48.430
Значи е А по 1.

00:05:48.430 --> 00:05:49.920
Значи можем просто да оставим А тук.

00:05:49.920 --> 00:05:52.400
Това става 0, защото този член тук

00:05:52.400 --> 00:05:54.030
ще е 0, ако x е 1.

00:05:54.030 --> 00:05:56.540
Това става 0, защото този член 
ще бъде 0,

00:05:56.540 --> 00:05:57.710
ако x е равно на 1.

00:05:57.710 --> 00:06:05.260
Значи А е равно на 6 по 1, 
значи 6, минус 19 по 1,

00:06:05.260 --> 00:06:09.200
минус 19, плюс 15.

00:06:09.200 --> 00:06:09.850
И колко е това ?

00:06:09.850 --> 00:06:16.210
Минус 19 плюс 15, това е минус 4, 
плюс 6, това е равно на 2.

00:06:16.210 --> 00:06:17.390
Ето.

00:06:17.390 --> 00:06:20.890
Сега нека да опитаме да намерим...
да видим, какво да направим ?

00:06:20.890 --> 00:06:23.830
Ако направим x = 2, А ще изчезне.

00:06:23.830 --> 00:06:26.760
Целият този член ще изчезне,
защото това ще е 0.

00:06:26.760 --> 00:06:29.220
Можем да използваме това, 
за да намерим C.

00:06:29.220 --> 00:06:36.560
Ако кажем, че x = 2, 
получаваме, че

00:06:36.560 --> 00:06:38.270
този член ще е 0, 
защото това е 0.

00:06:38.270 --> 00:06:41.930
Целият този израз е 0, 
защото x – 2 е 0.

00:06:41.930 --> 00:06:45.660
И ни остава само
C по 2 минус 1, значи

00:06:45.660 --> 00:06:51.040
това е само 1, значи
C е равно на 6 по 4, нали ?

00:06:51.040 --> 00:06:52.180
2 на квадрат.

00:06:52.180 --> 00:07:00.910
Значи е 24, минус 38,
19 по 2, плюс 15.

00:07:00.910 --> 00:07:07.340
Да видим, 24 плюс 15 е 39, минус 38,
това е равно на 1.

00:07:07.340 --> 00:07:09.250
Достигаме финалната линия.

00:07:09.250 --> 00:07:13.050
Сега за B... няма ясен начин 
да анулираме другите стойности,

00:07:13.050 --> 00:07:14.790
без да анулираме B.

00:07:14.790 --> 00:07:16.570
Но вече намерихме 
всичко друго, значи просто

00:07:16.570 --> 00:07:19.790
можем да вземем 
произволна стойност за x, която да

00:07:19.790 --> 00:07:21.200
направи нещата лесни за пресмятане.

00:07:21.200 --> 00:07:24.870
Ако просто вземем x = 0, 
това винаги е добър

00:07:24.870 --> 00:07:27.760
начин да изясним 
заплетени задачи по алгебра.

00:07:27.760 --> 00:07:29.980
x е равно на 0, не на 3.

00:07:29.980 --> 00:07:31.760
x e 0.

00:07:31.760 --> 00:07:33.630
Нека взема друг цвят.

00:07:33.630 --> 00:07:35.690
Ако x е равно на 0, какво се получава?

00:07:35.690 --> 00:07:39.260
Имаме А, но А ни е 2, нали?

00:07:39.260 --> 00:07:46.050
2 по 0 минус 2 на квадрат, 
значи 2 по 4.

00:07:46.050 --> 00:07:50.690
плюс B, което търсим, 
всичко друго сме намерили,

00:07:50.690 --> 00:07:54.200
B по минус 1, нали ?

00:07:54.200 --> 00:07:56.140
0 минус 1 е минус 1.

00:07:56.140 --> 00:08:03.620
По минус 2, плюс C по –1 
е равно на...

00:08:03.620 --> 00:08:08.660
ако x е 0, тогава това е 0, 
това е 0, е равно на 15.

00:08:08.660 --> 00:08:10.190
Сега просто намираме B.

00:08:10.190 --> 00:08:16.240
Получаваме 8 плюс 2B, нали така?

00:08:16.240 --> 00:08:20.280
Минус 1 по минус 2 е плюс 2.

00:08:20.280 --> 00:08:21.770
О, и тук не трябваше да пишем C,

00:08:21.770 --> 00:08:22.560
знаем колко е C.

00:08:22.560 --> 00:08:23.580
C e 1.

00:08:23.580 --> 00:08:24.960
Значи тук имаме просто 1

00:08:24.960 --> 00:08:30.260
Значи, 1 по минус 1 е минус 1, 
е равно на 15.

00:08:30.260 --> 00:08:36.990
И имаме 2B е равно на...
да видим, 16 е

00:08:36.990 --> 00:08:41.760
равно на 8, B е равно на 4, 
делим двете страни на 2.

00:08:41.760 --> 00:08:43.080
И сме готови.

00:08:43.080 --> 00:08:50.540
Значи разлагането на елементарна дроб е...

00:08:50.540 --> 00:08:54.490
А, което вече намерихме, че е 2.

00:08:54.490 --> 00:09:03.440
Значи е равно на 2/(x –1) 
+ B, което е 4, значи плюс

00:09:03.440 --> 00:09:12.820
4/(x – 2), + C, което е 1, 
значи 1/(x – 2)^2.

00:09:12.820 --> 00:09:15.780
И това, което направихме 
с повтарящия се множител, е

00:09:15.780 --> 00:09:17.690
правилно, ако сме достигнали 
член от по-висока степен.

00:09:17.690 --> 00:09:22.970
Значи, ако имахме нещо, 
нещо, нещо (някакъв многочлен)

00:09:22.970 --> 00:09:27.770
и всичко това беше върху x минус...
някакво число, например а,

00:09:27.770 --> 00:09:31.420
x минус а на 10-та степен.

00:09:31.420 --> 00:09:35.000
Да, нека е 10-та степен.

00:09:35.000 --> 00:09:40.300
Ако искаме да разложим 
на елементарни дроби,

00:09:40.300 --> 00:09:45.630
ще бъде А върху (B – а) –
това е различно а.

00:09:45.630 --> 00:09:46.930
Просто ти показвам това...

00:09:46.930 --> 00:09:52.190
Плюс B по (x – а)^2 плюс, 
и т.н. и т.н.

00:09:52.220 --> 00:09:56.270
Ще имаш 10 члена, плюс – 
не знам коя е 10-тата буква от

00:09:56.270 --> 00:09:59.150
латинската азбука – може би H или I.

00:09:59.150 --> 00:10:00.510
Може би J.

00:10:00.510 --> 00:10:05.160
J върху (x – а) на 10-та.

00:10:05.160 --> 00:10:07.550
Принципно можеш да използваш
това свойство, въпреки че много

00:10:07.550 --> 00:10:09.960
рядко ще видиш нещо такова, защото би

00:10:09.960 --> 00:10:11.950
ти отнело цяла безкрайност да го решиш.

00:10:11.950 --> 00:10:14.440
Най-заплетената задача, която може
да видиш на изпит, е с 3 променливи,

00:10:14.440 --> 00:10:18.290
вероятно е нещо като тази 
от предишния пример, или

00:10:18.290 --> 00:10:21.120
пък тази, която ти показах току-що.

00:10:21.120 --> 00:10:22.950
За по-заплетени задачи, вероятно

00:10:22.950 --> 00:10:23.720
бихме използвали компютър.

00:10:23.720 --> 00:10:25.270
Но пак трябва да знаеш
как се прави, защото, ако

00:10:25.270 --> 00:10:27.530
решаваш с компютър 
истинска задача, много

00:10:27.530 --> 00:10:30.490
по-сложна от тази, 
трябва да знаеш как да я решиш.

00:10:30.490 --> 00:10:34.170
Както и да е, надявам се 
това да е било полезно.

00:10:34.170 --> 00:10:34.460
-