用配方法求解二次方程

用配方法求解二次方程

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在这段视频中，我将向你们展示一种技巧

叫做配方法。

它的奇妙之处在于适用于任何二次方程，

它实际上是

二次方程的基。

在下个或者在那之后的视频，

我会用配方法来证明这个二次公式。

但在此之前，我们需要理解。

它到底是怎么回事。

这是建立在上一集视频基础上的，

我们用完全平方

求解了二次方程。

已知二次方程x² - 4x

等于5。

我在这里放这么大的空间是有原因的。

在上一集视频中，我们知道

如果左边是完全平方，

就可以很直接地求解出来。

你看，配方就是把二次方程变成完全平方，

对它进行工程处理，

两边加减

使它变成完全平方。

我们该怎么做呢?

为了使左边是完全平方的，

这里必须有某个数。

这里一定有某个数，

如果我有这个数的平方，

我用2乘以这个数，我得到-4。

记住这一点，

我想通过几个例子你就会明白。

我想要x² - 4x

加上某项等于x - a²。

我们还不知道a是多少，

但我们知道一些东西。

当我取平方时，这个等于

x² - 2a + a²。

如果你看这里的模式，它必须是 --

抱歉，x² - 2ax -- 这里必须是2ax。

这里应该是a的平方。

所以这个数，a是-4的一半，

a是-2，对吧

因为2乘以a等于-4。

a是-2，如果a是-2，a的平方是多少?

那么a的平方就是+4。

现在你们可能觉得这些很复杂，

但是我给你们展示的是基本原理。

你只需要看这里的系数，

好，系数的一半是多少?

系数的一半是-2。

所以我们可以说a等于-2，同样的，

然后平方。

对a平方，得到正4。

所以这里加上4。

加4。

从我们做过的第一个方程，

你应该知道

你不能只在方程的一边运算。

不能只在等式的一边加上4。

如果x² - 4x = 5，那么当我加4时，

它就不再等于5了。

这将会是5 + 4。

我们在左边加了4，

因为我们想让它是一个完全平方。

但是如果你在左边加上某项，

你必须在右边加上它。

现在，我们遇到了一个

和上个视频中一样的问题。

左边是什么？

我把整个式子重写一下。

我们现在得到x² - 4x + 4 = 9。

我们所做的就是方程两边同时加上4。

但是我们为了左边变成完全平方，

而加上了4。

这是什么?

什么数乘以它本身等于4？

而当我把它自身相加等于-2?

我们已经回答了这个问题。

它是-2。

我们得到(x - 2)(x - 2) = 9。

或者我们可以跳过这一步

写成(x - 2)² = 9。

然后两边同时开根号，

就得到x - 2 = ±3。

两边同时加上2，就得到x = 2 ± 3。

这告诉我们x可以等于2 + 3，也就是5。

或者x可以等于2 - 3，也就是-1。

我们完成了。

现在我想说明一下。

你可以完成这个方程而不用配方法。

我们可以从

x²- 4x = 5开始。

我们可以两边同时减去5，

得到x² - 4x - 5 = 0。

你可以这样想，

如果我有一个-5乘以1，那么它们的乘积是-5，

它们的和是-4。

所以我可以说这是

（x - 5)(x + 1) = 0。

然后我们说x等于5

或者x等于-1。

在这种情况下，

实际上可能有更快的解题方法。

但是配方法的奇妙之处

就在于它总是有效的。

它总是有效的，不管系数是多少，

不管问题有多复杂。

我来证明一下。

我们来做一个

传统上会很麻烦的问题，

如果我们试着做分解，特别是用分组

就像这样。

假设我们现在有

10x² - 30x - 8 = 0。

现在，从一开始，

我们可以两边除以2。

这确实简化了一点。

我们两边同时除以2。

如果把所有数都除以2，会得到什么?

我们得到5x² - 15x - 4 = 0。

但是同样的，现在系数前面有一个疯狂的5，

我们必须通过分组来解决它。

这是一个相当痛苦的过程。

但现在我们可以直接完成这个配方，

为了完成这个，

我现在要除以5得到1的系数。

你们会看到为什么

这和我们传统的做法不同。

如果我把这整个除以5，

我可以从一开始就除以10，

但我想先做这个，只是为了让你们知道

题目并没有告诉我们多少。

所有项都除以5。

如果每项都除以5，

就得到x² - 3x - 4/5 = 0。

你可能会问，

为什么我们要用分组来分解因素呢?

如果我们总是可以除以前面的系数，

我们就可以消去它。

如果我们除以正确的数，

我们总是可以把这个变成1或者- 1。

但是注意，通过这样做我们得到了这个疯狂的4/5。

用因式分解是非常难的。

你们可能会说，

哪两个数的乘积等于- 4/5?

这是一个分数，

什么时候我取它们的和，等于-3?

这是因式分解的一个难题。

用因式分解是很难的。

所以最好的方法就是用配方法。

我们想一下，

如何把它变成完全平方。

我喜欢做的是，你们会看到有几种方法，

我将展示两种方法，因为你们会看到

老师会用两种方法来做。我喜欢把4/5写在另一边。

让我们方程两边同时加上4/5。

你不需要这样做，但是

我喜欢把4/5移开。

如果方程两边同时加上4/5，

会得到什么?

方程的左边变成了x² - 3x，

不是4/5。

我要留一点空间。

这将会是等于4/5。

现在，就像上一个问题一样，

我们想把左边变成二项式的完全平方。

我们怎么做呢?

我们可以想，

什么数乘以2等于-3?

一个数乘以2等于- 3。

或者我们用-3除以2，

也就是- 3/2。

我们对- 3/2进行平方。

在这个例子中，我们说a是- 3/2。

如果对- 3/2平方，会得到什么?

我们得到9/4。

我只是取系数的一半，进行平方，

得到正的9/4。

这样做的目的就是

把左边变成完全平方。

现在，你对等式的一边做什么，

对另一边也要做同样的事情。

我们这里加9/4，这边也加一个9/4。

我们的方程变成什么了?

我们得到x²- 3x + 9/4等于，

我们看看能不能得到公分母。

4/5和16/20一样的。

分子分母同时乘以4。

+ 20。

9/4和分子乘以5

相当于45/20。

16加45等于多少?

你看，这有点麻烦，

但这就是有趣的地方，我猜，

需要进行配方。

16 + 45。

这是55，61。

所以这里等于61/20。

我重新写一下。

x² - 3x + 9/4等于61/20。

疯狂的数字。

这个，至少在左边，

是一个完全平方。

这就等于(x - 3/2)²。

这是设计好了的。

- 3/2乘以- 3/2等于9/4。

- 3/2 +(- 3/2)等于-3。

这个的平方等于61/20。

两边同时开方得到

x - 3/2等于正的或负的

根号下61/20。

现在，方程两边同时加上3/2

得到x等于正的3/2加减

根号下61/20。

这是一个很疯狂的数字，

很明显，你不能通过因式分解

得到这个数字。

如果你想求它们的实际值，

你可以用计算器。

我这些都清除掉。

3/2 -- 我们先做加法。

我们要做的是3除以2加上2的平方根。

我们要取这个黄色的平方根。

61的平方根除以20，等于3.24。

这个疯狂的3.2464，我写成3.246。

所以这大约等于3.246，

这是正的形式。

让我们来做减法。

所以我们可以输入，

如果你第二次做，然后输入，

我们想要那个黄色的输入，这就是为什么我按了第二个按钮。

我按回车键，它输入了我们刚刚输入的东西，

我们可以改变成负号

得到-0.246。

你得到了-0.246。

你其实可以验证这些

是否满足原始方程。

原始的方程在上面。

我来验证一下其中一个。

图形计算器上的第二个解

是你用的最后一个解。

如果你用的是一个可变的解，

就是这个数。

如果我有解的平方，

我用这个解表示-0.24。

解的平方减去3乘以解减去4/5,

4除以5，等于

这需要解释一下。

它不会存储整个数字，

它会达到一定的精度。

它存储一些数字的位数。

当它用这个存储的数字计算它时，

它得到1乘以10的-14次方。

也就是0.0000。

这是13个0和一个1。

这是一个小数，是13个0和一个1。

所以这几乎是0。

实际上，如果你在这里得到了确切的答案，

如果你在这里得到了无限的精度，

或者如果你保持这个根号形式，

你会得到它确实等于0。

这个配方法的概念，

希望这对你们有帮助。

现在我们要把它推广到

我们可以使用的二次方程中，

我们可以代入一些数来求解任何二次方程。