WEBVTT

00:00:00.440 --> 00:00:02.930
在这段视频中，我将向你们展示一种技巧

00:00:02.930 --> 00:00:09.310
叫做配方法。

00:00:09.310 --> 00:00:14.810
它的奇妙之处在于适用于任何二次方程，

00:00:14.810 --> 00:00:16.460
它实际上是

00:00:16.460 --> 00:00:18.750
二次方程的基。

00:00:18.750 --> 00:00:21.700
在下个或者在那之后的视频，

00:00:21.700 --> 00:00:25.630
我会用配方法来证明这个二次公式。

00:00:25.630 --> 00:00:28.450
但在此之前，我们需要理解。

00:00:28.450 --> 00:00:29.470
它到底是怎么回事。

00:00:29.470 --> 00:00:32.070
这是建立在上一集视频基础上的，

00:00:32.070 --> 00:00:33.880
我们用完全平方

00:00:33.880 --> 00:00:36.130
求解了二次方程。

00:00:36.130 --> 00:00:41.850
已知二次方程x² - 4x

00:00:41.850 --> 00:00:44.880
等于5。

00:00:44.880 --> 00:00:47.490
我在这里放这么大的空间是有原因的。

00:00:47.490 --> 00:00:49.680
在上一集视频中，我们知道

00:00:49.680 --> 00:00:52.850
如果左边是完全平方，

00:00:52.850 --> 00:00:56.500
就可以很直接地求解出来。

00:00:56.500 --> 00:01:00.660
你看，配方就是把二次方程变成完全平方，

00:01:00.660 --> 00:01:01.900
对它进行工程处理，

00:01:01.900 --> 00:01:03.721
两边加减

00:01:03.721 --> 00:01:05.970
使它变成完全平方。

00:01:05.970 --> 00:01:07.710
我们该怎么做呢?

00:01:07.710 --> 00:01:10.130
为了使左边是完全平方的，

00:01:10.130 --> 00:01:12.990
这里必须有某个数。

00:01:12.990 --> 00:01:15.840
这里一定有某个数，

00:01:15.840 --> 00:01:19.730
如果我有这个数的平方，

00:01:19.730 --> 00:01:22.890
我用2乘以这个数，我得到-4。

00:01:22.890 --> 00:01:24.750
记住这一点，

00:01:24.750 --> 00:01:26.910
我想通过几个例子你就会明白。

00:01:26.910 --> 00:01:31.600
我想要x² - 4x

00:01:31.600 --> 00:01:37.740
加上某项等于x - a²。

00:01:37.740 --> 00:01:41.010
我们还不知道a是多少，

00:01:41.010 --> 00:01:42.110
但我们知道一些东西。

00:01:42.110 --> 00:01:44.910
当我取平方时，这个等于

00:01:44.910 --> 00:01:49.330
x² - 2a + a²。

00:01:49.330 --> 00:01:53.640
如果你看这里的模式，它必须是 --

00:01:53.640 --> 00:01:59.880
抱歉，x² - 2ax -- 这里必须是2ax。

00:01:59.880 --> 00:02:03.530
这里应该是a的平方。

00:02:03.530 --> 00:02:07.690
所以这个数，a是-4的一半，

00:02:07.690 --> 00:02:10.370
a是-2，对吧

00:02:10.370 --> 00:02:13.570
因为2乘以a等于-4。

00:02:13.570 --> 00:02:18.330
a是-2，如果a是-2，a的平方是多少?

00:02:18.330 --> 00:02:21.550
那么a的平方就是+4。

00:02:21.550 --> 00:02:24.220
现在你们可能觉得这些很复杂，

00:02:24.220 --> 00:02:25.910
但是我给你们展示的是基本原理。

00:02:25.910 --> 00:02:29.080
你只需要看这里的系数，

00:02:29.080 --> 00:02:32.670
好，系数的一半是多少?

00:02:32.670 --> 00:02:35.920
系数的一半是-2。

00:02:35.920 --> 00:02:40.230
所以我们可以说a等于-2，同样的，

00:02:40.230 --> 00:02:41.720
然后平方。

00:02:41.720 --> 00:02:44.100
对a平方，得到正4。

00:02:44.100 --> 00:02:46.540
所以这里加上4。

00:02:46.540 --> 00:02:47.630
加4。

00:02:47.630 --> 00:02:50.990
从我们做过的第一个方程，

00:02:50.990 --> 00:02:52.550
你应该知道

00:02:52.550 --> 00:02:55.900
你不能只在方程的一边运算。

00:02:55.900 --> 00:02:58.700
不能只在等式的一边加上4。

00:02:58.700 --> 00:03:02.710
如果x² - 4x = 5，那么当我加4时，

00:03:02.710 --> 00:03:04.720
它就不再等于5了。

00:03:04.720 --> 00:03:07.950
这将会是5 + 4。

00:03:07.950 --> 00:03:10.060
我们在左边加了4，

00:03:10.060 --> 00:03:12.435
因为我们想让它是一个完全平方。

00:03:12.435 --> 00:03:15.210
但是如果你在左边加上某项，

00:03:15.210 --> 00:03:17.320
你必须在右边加上它。

00:03:17.320 --> 00:03:20.630
现在，我们遇到了一个

00:03:20.630 --> 00:03:23.410
和上个视频中一样的问题。

00:03:23.410 --> 00:03:25.960
左边是什么？

00:03:25.960 --> 00:03:27.000
我把整个式子重写一下。

00:03:27.000 --> 00:03:33.020
我们现在得到x² - 4x + 4 = 9。

00:03:33.020 --> 00:03:35.380
我们所做的就是方程两边同时加上4。

00:03:35.380 --> 00:03:39.070
但是我们为了左边变成完全平方，

00:03:39.070 --> 00:03:41.080
而加上了4。

00:03:41.080 --> 00:03:41.760
这是什么?

00:03:41.760 --> 00:03:45.340
什么数乘以它本身等于4？

00:03:45.340 --> 00:03:47.770
而当我把它自身相加等于-2?

00:03:47.770 --> 00:03:49.000
我们已经回答了这个问题。

00:03:49.000 --> 00:03:50.040
它是-2。

00:03:50.040 --> 00:03:55.310
我们得到(x - 2)(x - 2) = 9。

00:03:55.310 --> 00:03:59.350
或者我们可以跳过这一步

00:03:59.350 --> 00:04:02.990
写成(x - 2)² = 9。

00:04:02.990 --> 00:04:07.280
然后两边同时开根号，

00:04:07.280 --> 00:04:10.840
就得到x - 2 = ±3。

00:04:10.840 --> 00:04:16.870
两边同时加上2，就得到x = 2 ± 3。

00:04:16.870 --> 00:04:22.440
这告诉我们x可以等于2 + 3，也就是5。

00:04:22.440 --> 00:04:28.960
或者x可以等于2 - 3，也就是-1。

00:04:28.960 --> 00:04:30.650
我们完成了。

00:04:30.650 --> 00:04:31.840
现在我想说明一下。

00:04:31.840 --> 00:04:34.300
你可以完成这个方程而不用配方法。

00:04:34.300 --> 00:04:36.440
我们可以从

00:04:36.440 --> 00:04:39.850
x²- 4x = 5开始。

00:04:39.850 --> 00:04:42.970
我们可以两边同时减去5，

00:04:42.970 --> 00:04:47.160
得到x² - 4x - 5 = 0。

00:04:47.160 --> 00:04:48.540
你可以这样想，

00:04:48.540 --> 00:04:56.190
如果我有一个-5乘以1，那么它们的乘积是-5，

00:04:56.190 --> 00:04:57.000
它们的和是-4。

00:04:57.000 --> 00:04:58.280
所以我可以说这是

00:04:58.280 --> 00:05:02.480
（x - 5)(x + 1) = 0。

00:05:02.480 --> 00:05:05.360
然后我们说x等于5

00:05:05.360 --> 00:05:07.700
或者x等于-1。

00:05:07.700 --> 00:05:10.350
在这种情况下，

00:05:10.350 --> 00:05:13.450
实际上可能有更快的解题方法。

00:05:13.450 --> 00:05:16.140
但是配方法的奇妙之处

00:05:16.140 --> 00:05:17.770
就在于它总是有效的。

00:05:17.770 --> 00:05:21.580
它总是有效的，不管系数是多少，

00:05:21.580 --> 00:05:23.385
不管问题有多复杂。

00:05:23.385 --> 00:05:25.400
我来证明一下。

00:05:25.400 --> 00:05:27.380
我们来做一个

00:05:27.380 --> 00:05:31.140
传统上会很麻烦的问题，

00:05:31.140 --> 00:05:35.590
如果我们试着做分解，特别是用分组

00:05:35.590 --> 00:05:37.020
就像这样。

00:05:37.020 --> 00:05:38.720
假设我们现在有

00:05:38.720 --> 00:05:47.530
10x² - 30x - 8 = 0。

00:05:47.530 --> 00:05:50.060
现在，从一开始，

00:05:50.060 --> 00:05:53.280
我们可以两边除以2。

00:05:53.280 --> 00:05:54.800
这确实简化了一点。

00:05:54.800 --> 00:05:56.450
我们两边同时除以2。

00:05:56.450 --> 00:06:02.150
如果把所有数都除以2，会得到什么?

00:06:02.150 --> 00:06:11.990
我们得到5x² - 15x - 4 = 0。

00:06:11.990 --> 00:06:14.540
但是同样的，现在系数前面有一个疯狂的5，

00:06:14.540 --> 00:06:16.810
我们必须通过分组来解决它。

00:06:16.810 --> 00:06:20.410
这是一个相当痛苦的过程。

00:06:20.410 --> 00:06:23.410
但现在我们可以直接完成这个配方，

00:06:23.410 --> 00:06:24.510
为了完成这个，

00:06:24.510 --> 00:06:28.870
我现在要除以5得到1的系数。

00:06:28.870 --> 00:06:31.390
你们会看到为什么

00:06:31.390 --> 00:06:33.010
这和我们传统的做法不同。

00:06:33.010 --> 00:06:35.730
如果我把这整个除以5，

00:06:35.730 --> 00:06:38.050
我可以从一开始就除以10，

00:06:38.050 --> 00:06:40.030
但我想先做这个，只是为了让你们知道

00:06:40.030 --> 00:06:41.800
题目并没有告诉我们多少。

00:06:41.800 --> 00:06:43.660
所有项都除以5。

00:06:43.660 --> 00:06:49.763
如果每项都除以5，

00:06:49.763 --> 00:06:58.720
就得到x² - 3x - 4/5 = 0。

00:06:58.720 --> 00:06:59.930
你可能会问，

00:06:59.930 --> 00:07:02.630
为什么我们要用分组来分解因素呢?

00:07:02.630 --> 00:07:05.230
如果我们总是可以除以前面的系数，

00:07:05.230 --> 00:07:07.220
我们就可以消去它。

00:07:07.220 --> 00:07:09.240
如果我们除以正确的数，

00:07:09.240 --> 00:07:10.910
我们总是可以把这个变成1或者- 1。

00:07:10.910 --> 00:07:14.410
但是注意，通过这样做我们得到了这个疯狂的4/5。

00:07:14.410 --> 00:07:17.630
用因式分解是非常难的。

00:07:17.630 --> 00:07:19.500
你们可能会说，

00:07:19.500 --> 00:07:22.100
哪两个数的乘积等于- 4/5?

00:07:22.100 --> 00:07:23.660
这是一个分数，

00:07:23.660 --> 00:07:26.140
什么时候我取它们的和，等于-3?

00:07:26.140 --> 00:07:29.310
这是因式分解的一个难题。

00:07:29.310 --> 00:07:36.860
用因式分解是很难的。

00:07:36.860 --> 00:07:42.080
所以最好的方法就是用配方法。

00:07:42.080 --> 00:07:43.650
我们想一下，

00:07:43.650 --> 00:07:45.950
如何把它变成完全平方。

00:07:45.950 --> 00:07:48.080
我喜欢做的是，你们会看到有几种方法，

00:07:48.080 --> 00:07:49.770
我将展示两种方法，因为你们会看到

00:07:49.770 --> 00:07:53.880
老师会用两种方法来做。我喜欢把4/5写在另一边。

00:07:53.880 --> 00:07:56.900
让我们方程两边同时加上4/5。

00:07:56.900 --> 00:07:58.910
你不需要这样做，但是

00:07:58.910 --> 00:08:01.160
我喜欢把4/5移开。

00:08:01.160 --> 00:08:04.010
如果方程两边同时加上4/5，

00:08:04.010 --> 00:08:05.250
会得到什么?

00:08:05.250 --> 00:08:08.350
方程的左边变成了x² - 3x，

00:08:08.350 --> 00:08:11.800
不是4/5。

00:08:11.800 --> 00:08:13.660
我要留一点空间。

00:08:13.660 --> 00:08:17.790
这将会是等于4/5。

00:08:17.790 --> 00:08:19.990
现在，就像上一个问题一样，

00:08:19.990 --> 00:08:23.350
我们想把左边变成二项式的完全平方。

00:08:23.350 --> 00:08:24.740
我们怎么做呢?

00:08:24.740 --> 00:08:25.730
我们可以想，

00:08:25.730 --> 00:08:30.110
什么数乘以2等于-3?

00:08:30.110 --> 00:08:32.309
一个数乘以2等于- 3。

00:08:32.309 --> 00:08:35.330
或者我们用-3除以2，

00:08:35.330 --> 00:08:37.370
也就是- 3/2。

00:08:37.370 --> 00:08:39.554
我们对- 3/2进行平方。

00:08:39.554 --> 00:08:44.840
在这个例子中，我们说a是- 3/2。

00:08:44.840 --> 00:08:48.380
如果对- 3/2平方，会得到什么?

00:08:48.380 --> 00:08:54.100
我们得到9/4。

00:08:54.100 --> 00:08:56.810
我只是取系数的一半，进行平方，

00:08:56.810 --> 00:08:58.010
得到正的9/4。

00:08:58.010 --> 00:09:00.720
这样做的目的就是

00:09:00.720 --> 00:09:02.920
把左边变成完全平方。

00:09:02.920 --> 00:09:05.530
现在，你对等式的一边做什么，

00:09:05.530 --> 00:09:06.600
对另一边也要做同样的事情。

00:09:06.600 --> 00:09:11.030
我们这里加9/4，这边也加一个9/4。

00:09:11.030 --> 00:09:13.850
我们的方程变成什么了?

00:09:13.850 --> 00:09:22.530
我们得到x²- 3x + 9/4等于，

00:09:22.530 --> 00:09:24.460
我们看看能不能得到公分母。

00:09:24.460 --> 00:09:29.120
4/5和16/20一样的。

00:09:29.120 --> 00:09:31.880
分子分母同时乘以4。

00:09:31.880 --> 00:09:33.820
+ 20。

00:09:33.820 --> 00:09:36.960
9/4和分子乘以5

00:09:36.960 --> 00:09:42.150
相当于45/20。

00:09:42.150 --> 00:09:44.970
16加45等于多少?

00:09:44.970 --> 00:09:47.020
你看，这有点麻烦，

00:09:47.020 --> 00:09:48.930
但这就是有趣的地方，我猜，

00:09:48.930 --> 00:09:50.380
需要进行配方。

00:09:50.380 --> 00:09:53.420
16 + 45。

00:09:53.420 --> 00:09:55.780
这是55，61。

00:09:55.780 --> 00:09:59.750
所以这里等于61/20。

00:09:59.750 --> 00:10:02.680
我重新写一下。

00:10:02.680 --> 00:10:09.480
x² - 3x + 9/4等于61/20。

00:10:09.480 --> 00:10:11.030
疯狂的数字。

00:10:11.030 --> 00:10:13.630
这个，至少在左边，

00:10:13.630 --> 00:10:15.970
是一个完全平方。

00:10:15.970 --> 00:10:21.610
这就等于(x - 3/2)²。

00:10:21.610 --> 00:10:24.200
这是设计好了的。

00:10:24.200 --> 00:10:27.590
- 3/2乘以- 3/2等于9/4。

00:10:27.590 --> 00:10:32.790
- 3/2 +(- 3/2)等于-3。

00:10:32.790 --> 00:10:37.960
这个的平方等于61/20。

00:10:37.960 --> 00:10:42.020
两边同时开方得到

00:10:42.020 --> 00:10:47.820
x - 3/2等于正的或负的

00:10:47.820 --> 00:10:53.320
根号下61/20。

00:10:53.320 --> 00:10:57.640
现在，方程两边同时加上3/2

00:10:57.640 --> 00:11:03.600
得到x等于正的3/2加减

00:11:03.600 --> 00:11:07.300
根号下61/20。

00:11:07.300 --> 00:11:09.290
这是一个很疯狂的数字，

00:11:09.290 --> 00:11:11.430
很明显，你不能通过因式分解

00:11:11.430 --> 00:11:15.250
得到这个数字。

00:11:15.250 --> 00:11:17.260
如果你想求它们的实际值，

00:11:17.260 --> 00:11:18.510
你可以用计算器。

00:11:20.620 --> 00:11:22.510
我这些都清除掉。

00:11:25.950 --> 00:11:28.760
3/2 -- 我们先做加法。

00:11:28.760 --> 00:11:33.710
我们要做的是3除以2加上2的平方根。

00:11:33.710 --> 00:11:35.050
我们要取这个黄色的平方根。

00:11:35.050 --> 00:11:46.480
61的平方根除以20，等于3.24。

00:11:46.480 --> 00:11:52.760
这个疯狂的3.2464，我写成3.246。

00:11:52.760 --> 00:12:01.440
所以这大约等于3.246，

00:12:01.440 --> 00:12:03.110
这是正的形式。

00:12:03.110 --> 00:12:06.710
让我们来做减法。

00:12:06.710 --> 00:12:09.180
所以我们可以输入，

00:12:09.180 --> 00:12:11.535
如果你第二次做，然后输入，

00:12:11.535 --> 00:12:13.365
我们想要那个黄色的输入，这就是为什么我按了第二个按钮。

00:12:13.365 --> 00:12:16.130
我按回车键，它输入了我们刚刚输入的东西，

00:12:16.130 --> 00:12:23.400
我们可以改变成负号

00:12:23.400 --> 00:12:27.970
得到-0.246。

00:12:27.970 --> 00:12:33.800
你得到了-0.246。

00:12:33.800 --> 00:12:38.200
你其实可以验证这些

00:12:38.200 --> 00:12:39.360
是否满足原始方程。

00:12:39.360 --> 00:12:42.050
原始的方程在上面。

00:12:42.050 --> 00:12:43.840
我来验证一下其中一个。

00:12:47.400 --> 00:12:50.130
图形计算器上的第二个解

00:12:50.130 --> 00:12:51.760
是你用的最后一个解。

00:12:51.760 --> 00:12:54.160
如果你用的是一个可变的解，

00:12:54.160 --> 00:12:55.160
就是这个数。

00:12:55.160 --> 00:13:00.090
如果我有解的平方，

00:13:00.090 --> 00:13:02.380
我用这个解表示-0.24。

00:13:02.380 --> 00:13:11.975
解的平方减去3乘以解减去4/5,

00:13:11.975 --> 00:13:16.030
4除以5，等于

00:13:16.030 --> 00:13:18.490
这需要解释一下。

00:13:18.490 --> 00:13:21.860
它不会存储整个数字，

00:13:21.860 --> 00:13:22.880
它会达到一定的精度。

00:13:22.880 --> 00:13:24.910
它存储一些数字的位数。

00:13:24.910 --> 00:13:28.930
当它用这个存储的数字计算它时，

00:13:28.930 --> 00:13:32.240
它得到1乘以10的-14次方。

00:13:32.240 --> 00:13:34.980
也就是0.0000。

00:13:34.980 --> 00:13:37.100
这是13个0和一个1。

00:13:37.100 --> 00:13:38.870
这是一个小数，是13个0和一个1。

00:13:38.870 --> 00:13:41.060
所以这几乎是0。

00:13:41.060 --> 00:13:43.550
实际上，如果你在这里得到了确切的答案，

00:13:43.550 --> 00:13:46.480
如果你在这里得到了无限的精度，

00:13:46.480 --> 00:13:49.050
或者如果你保持这个根号形式，

00:13:49.050 --> 00:13:52.390
你会得到它确实等于0。

00:13:52.390 --> 00:13:55.300
这个配方法的概念，

00:13:55.300 --> 00:13:56.160
希望这对你们有帮助。

00:13:56.160 --> 00:13:58.670
现在我们要把它推广到

00:13:58.670 --> 00:14:01.510
我们可以使用的二次方程中，

00:14:01.510 --> 00:14:06.000
我们可以代入一些数来求解任何二次方程。