用配方法求解二次方程

在这段视频中，我将向你们展示一种技巧

叫做配方法。

它的奇妙之处在于它适用于任何二次方程，

它实际上是

二次方程的基。

在下个或者在那之后的视频，

我会用配方法来证明这个二次公式。

但在此之前，我们需要理解。

它到底是怎么回事。

这是建立在上一集视频基础上的，

我们用完全平方

求解了二次方程。

已知二次方程x² - 4x

等于5。

我在这里放这么大的空间是有原因的。

在上一集视频中，我们知道

如果左边是完全平方，

就可以很直接地求解出来。

你看，配方就是把二次方程变成完全平方，

对它进行工程处理，

两边加减

使它变成完全平方。

我们该怎么做呢?

为了使左边是完全平方的，

这里必须有某个数。

这里一定有某个数，

如果我有这个数的平方，

我用2乘以这个数，我得到-4。

记住这一点，

我想通过几个例子你就会明白。

我想要x²- 4x

加上某项等于x - a²。

我们还不知道a是多少，

但我们知道一些东西。

当我平方时，这个等于

x²- 2a + a²。

如果你看这里的模式，它必须是 --

抱歉，x² - 2ax -- 这里必须是2ax。

这里应该是a的平方。

所以这个数，a是-4的一半，

a是-2，对吧

因为2乘以a等于-4。

a是-2，如果a是-2，a的平方是多少?

那么a的平方就是+4。

现在你们可能觉得这些很复杂，

但是我给你们展示的是基本原理。

你只需要看这里的系数，

好，系数的一半是多少?

系数的一半是-2。

所以我们可以说a等于-2，同样的，

然后平方。

对a平方，得到正4。

所以这里加上4。

加4。

从我们做过的第一个方程，

你应该知道

不能只在方程的一边运算。

不能只在等式的一边加上4。

如果x²- 4x = 5，那么当我加4时，

它就不再等于5了。

这将会是5 + 4。

我们在左边加了4，

因为我们想让它是一个完全平方。

但是如果你在左边加上某项，

你必须在右边加上它。

现在，我们遇到了一个

和上个视频中做的问题一样的问题。

左边是什么？

我把整个式子重写一下。

我们现在得到x² - 4x + 4 = 9。

我们所做的就是方程两边同时加上4。

但是我们为了左边变成完全平方，

而加上了4。

这是什么?

什么数乘以它本身等于4？

而当我把它自身相加等于-2?

我们已经回答了这个问题。

它是- 2。

我们得到(x - 2)(x - 2) = 9。

或者我们可以跳过这一步

写成(x - 2)² = 9。

然后两边同时开根号，

就得到x - 2 = ±3。

两边同时加上2，就得到x = 2 ± 3。

这告诉我们x可以等于2 + 3，也就是5。

或者x可以等于2 - 3，也就是-1。

我们完成了。

现在我想说明一下。

你可以完成这个方程而不用配方法。

我们可以从

x²- 4x = 5开始。

我们可以两边同时减去5，

得到x² - 4x - 5 = 0。

你可以这样想，

如果我有一个-5乘以1，那么它们的乘积是-5，

它们的和是-4。

所以我可以说这是

（x - 5)(x + 1) = 0。

然后我们说x等于5

或者x等于-1。

在这种情况下，

实际上可能有更快的解题方法。

但是配方法的奇妙之处

就在于它总是有效的。

它总是有效的，不管系数是多少，

不管问题有多复杂。

我来证明一下。

我们来做一个

传统上会很麻烦的问题，

如果我们试着做分解，特别是用分组

就像这样。

假设我们现在有

10x² - 30x - 8 = 0。

现在，从一开始，

我们可以两边除以2。

这确实简化了一点。

我们两边同时除以2。

如果把所有数都除以2，会得到什么?

我们得到5x² - 15x - 4 = 0。

但是同样的，现在系数前面有一个疯狂的5，

我们必须通过分组来解决它。

这是一个相当痛苦的过程。

但现在我们可以直接完成这个配方，

为了完成这个，

我现在要除以5得到1的系数。

你们会看到为什么

这和我们传统的做法不同。

如果我把这整个除以5，

我可以从一开始就除以10，

但我想先做这个，只是为了让你们知道

题目并没有告诉我们多少。

所有项都除以5。

如果每项都除以5，

就得到x² - 3x - 4/5 = 0。

你可能会问，

为什么我们要用分组来分解呢?