在这段视频中，我将向你们展示一种技巧
叫做配方法。
它的奇妙之处在于它适用于任何二次方程，
它实际上是
二次方程的基。
在下个或者在那之后的视频，
我会用配方法来证明这个二次公式。
但在此之前，我们需要理解。
它到底是怎么回事。
这是建立在上一集视频基础上的，
我们用完全平方
求解了二次方程。
已知二次方程x² - 4x
等于5。
我在这里放这么大的空间是有原因的。
在上一集视频中，我们知道
如果左边是完全平方，
就可以很直接地求解出来。
你看，配方就是把二次方程变成完全平方，
对它进行工程处理，
两边加减
使它变成完全平方。
我们该怎么做呢?
为了使左边是完全平方的，
这里必须有某个数。
这里一定有某个数，
如果我有这个数的平方，
我用2乘以这个数，我得到-4。
记住这一点，
我想通过几个例子你就会明白。
我想要x²- 4x
加上某项等于x - a²。
我们还不知道a是多少，
但我们知道一些东西。
当我平方时，这个等于
x²- 2a + a²。
如果你看这里的模式，它必须是 --
抱歉，x² - 2ax -- 这里必须是2ax。
这里应该是a的平方。
所以这个数，a是-4的一半，
a是-2，对吧
因为2乘以a等于-4。
a是-2，如果a是-2，a的平方是多少?
那么a的平方就是+4。
现在你们可能觉得这些很复杂，
但是我给你们展示的是基本原理。
你只需要看这里的系数，
好，系数的一半是多少?
系数的一半是-2。
所以我们可以说a等于-2，同样的，
然后平方。
对a平方，得到正4。
所以这里加上4。
加4。
从我们做过的第一个方程，
你应该知道
不能只在方程的一边运算。
不能只在等式的一边加上4。
如果x²- 4x = 5，那么当我加4时，
它就不再等于5了。
这将会是5 + 4。
我们在左边加了4，
因为我们想让它是一个完全平方。
但是如果你在左边加上某项，
你必须在右边加上它。
现在，我们遇到了一个
和上个视频中做的问题一样的问题。
左边是什么？
我把整个式子重写一下。
我们现在得到x² - 4x + 4 = 9。
我们所做的就是方程两边同时加上4。
但是我们为了左边变成完全平方，
而加上了4。
这是什么?
什么数乘以它本身等于4？
而当我把它自身相加等于-2?
我们已经回答了这个问题。
它是- 2。
我们得到(x - 2)(x - 2) = 9。
或者我们可以跳过这一步
写成(x - 2)² = 9。
然后两边同时开根号，
就得到x - 2 = ±3。
两边同时加上2，就得到x = 2 ± 3。
这告诉我们x可以等于2 + 3，也就是5。
或者x可以等于2 - 3，也就是-1。
我们完成了。
现在我想说明一下。
你可以完成这个方程而不用配方法。
我们可以从
x²- 4x = 5开始。
我们可以两边同时减去5，
得到x² - 4x - 5 = 0。
你可以这样想，
如果我有一个-5乘以1，那么它们的乘积是-5，
它们的和是-4。
所以我可以说这是
（x - 5)(x + 1) = 0。
然后我们说x等于5
或者x等于-1。
在这种情况下，
实际上可能有更快的解题方法。
但是配方法的奇妙之处
就在于它总是有效的。
它总是有效的，不管系数是多少，
不管问题有多复杂。
我来证明一下。
我们来做一个
传统上会很麻烦的问题，
如果我们试着做分解，特别是用分组
就像这样。
假设我们现在有
10x² - 30x - 8 = 0。
现在，从一开始，
我们可以两边除以2。
这确实简化了一点。
我们两边同时除以2。
如果把所有数都除以2，会得到什么?
我们得到5x² - 15x - 4 = 0。
但是同样的，现在系数前面有一个疯狂的5，
我们必须通过分组来解决它。
这是一个相当痛苦的过程。
但现在我们可以直接完成这个配方，
为了完成这个，
我现在要除以5得到1的系数。
你们会看到为什么
这和我们传统的做法不同。
如果我把这整个除以5，
我可以从一开始就除以10，
但我想先做这个，只是为了让你们知道
题目并没有告诉我们多少。
所有项都除以5。
如果每项都除以5，
就得到x² - 3x - 4/5 = 0。
你可能会问，
为什么我们要用分组来分解呢?