1
00:00:00,440 --> 00:00:02,930
在这段视频中，我将向你们展示一种技巧

2
00:00:02,930 --> 00:00:09,310
叫做配方法。

3
00:00:09,310 --> 00:00:14,810
它的奇妙之处在于适用于任何二次方程，

4
00:00:14,810 --> 00:00:16,460
它实际上是

5
00:00:16,460 --> 00:00:18,750
二次方程的基。

6
00:00:18,750 --> 00:00:21,700
在下个或者在那之后的视频，

7
00:00:21,700 --> 00:00:25,630
我会用配方法来证明这个二次公式。

8
00:00:25,630 --> 00:00:28,450
但在此之前，我们需要理解。

9
00:00:28,450 --> 00:00:29,470
它到底是怎么回事。

10
00:00:29,470 --> 00:00:32,070
这是建立在上一集视频基础上的，

11
00:00:32,070 --> 00:00:33,880
我们用完全平方

12
00:00:33,880 --> 00:00:36,130
求解了二次方程。

13
00:00:36,130 --> 00:00:41,850
已知二次方程x² - 4x

14
00:00:41,850 --> 00:00:44,880
等于5。

15
00:00:44,880 --> 00:00:47,490
我在这里放这么大的空间是有原因的。

16
00:00:47,490 --> 00:00:49,680
在上一集视频中，我们知道

17
00:00:49,680 --> 00:00:52,850
如果左边是完全平方，

18
00:00:52,850 --> 00:00:56,500
就可以很直接地求解出来。

19
00:00:56,500 --> 00:01:00,660
你看，配方就是把二次方程变成完全平方，

20
00:01:00,660 --> 00:01:01,900
对它进行工程处理，

21
00:01:01,900 --> 00:01:03,721
两边加减

22
00:01:03,721 --> 00:01:05,970
使它变成完全平方。

23
00:01:05,970 --> 00:01:07,710
我们该怎么做呢?

24
00:01:07,710 --> 00:01:10,130
为了使左边是完全平方的，

25
00:01:10,130 --> 00:01:12,990
这里必须有某个数。

26
00:01:12,990 --> 00:01:15,840
这里一定有某个数，

27
00:01:15,840 --> 00:01:19,730
如果我有这个数的平方，

28
00:01:19,730 --> 00:01:22,890
我用2乘以这个数，我得到-4。

29
00:01:22,890 --> 00:01:24,750
记住这一点，

30
00:01:24,750 --> 00:01:26,910
我想通过几个例子你就会明白。

31
00:01:26,910 --> 00:01:31,600
我想要x² - 4x

32
00:01:31,600 --> 00:01:37,740
加上某项等于x - a²。

33
00:01:37,740 --> 00:01:41,010
我们还不知道a是多少，

34
00:01:41,010 --> 00:01:42,110
但我们知道一些东西。

35
00:01:42,110 --> 00:01:44,910
当我取平方时，这个等于

36
00:01:44,910 --> 00:01:49,330
x² - 2a + a²。

37
00:01:49,330 --> 00:01:53,640
如果你看这里的模式，它必须是 --

38
00:01:53,640 --> 00:01:59,880
抱歉，x² - 2ax -- 这里必须是2ax。

39
00:01:59,880 --> 00:02:03,530
这里应该是a的平方。

40
00:02:03,530 --> 00:02:07,690
所以这个数，a是-4的一半，

41
00:02:07,690 --> 00:02:10,370
a是-2，对吧

42
00:02:10,370 --> 00:02:13,570
因为2乘以a等于-4。

43
00:02:13,570 --> 00:02:18,330
a是-2，如果a是-2，a的平方是多少?

44
00:02:18,330 --> 00:02:21,550
那么a的平方就是+4。

45
00:02:21,550 --> 00:02:24,220
现在你们可能觉得这些很复杂，

46
00:02:24,220 --> 00:02:25,910
但是我给你们展示的是基本原理。

47
00:02:25,910 --> 00:02:29,080
你只需要看这里的系数，

48
00:02:29,080 --> 00:02:32,670
好，系数的一半是多少?

49
00:02:32,670 --> 00:02:35,920
系数的一半是-2。

50
00:02:35,920 --> 00:02:40,230
所以我们可以说a等于-2，同样的，

51
00:02:40,230 --> 00:02:41,720
然后平方。

52
00:02:41,720 --> 00:02:44,100
对a平方，得到正4。

53
00:02:44,100 --> 00:02:46,540
所以这里加上4。

54
00:02:46,540 --> 00:02:47,630
加4。

55
00:02:47,630 --> 00:02:50,990
从我们做过的第一个方程，

56
00:02:50,990 --> 00:02:52,550
你应该知道

57
00:02:52,550 --> 00:02:55,900
你不能只在方程的一边运算。

58
00:02:55,900 --> 00:02:58,700
不能只在等式的一边加上4。

59
00:02:58,700 --> 00:03:02,710
如果x² - 4x = 5，那么当我加4时，

60
00:03:02,710 --> 00:03:04,720
它就不再等于5了。

61
00:03:04,720 --> 00:03:07,950
这将会是5 + 4。

62
00:03:07,950 --> 00:03:10,060
我们在左边加了4，

63
00:03:10,060 --> 00:03:12,435
因为我们想让它是一个完全平方。

64
00:03:12,435 --> 00:03:15,210
但是如果你在左边加上某项，

65
00:03:15,210 --> 00:03:17,320
你必须在右边加上它。

66
00:03:17,320 --> 00:03:20,630
现在，我们遇到了一个

67
00:03:20,630 --> 00:03:23,410
和上个视频中一样的问题。

68
00:03:23,410 --> 00:03:25,960
左边是什么？

69
00:03:25,960 --> 00:03:27,000
我把整个式子重写一下。

70
00:03:27,000 --> 00:03:33,020
我们现在得到x² - 4x + 4 = 9。

71
00:03:33,020 --> 00:03:35,380
我们所做的就是方程两边同时加上4。

72
00:03:35,380 --> 00:03:39,070
但是我们为了左边变成完全平方，

73
00:03:39,070 --> 00:03:41,080
而加上了4。

74
00:03:41,080 --> 00:03:41,760
这是什么?

75
00:03:41,760 --> 00:03:45,340
什么数乘以它本身等于4？

76
00:03:45,340 --> 00:03:47,770
而当我把它自身相加等于-2?

77
00:03:47,770 --> 00:03:49,000
我们已经回答了这个问题。

78
00:03:49,000 --> 00:03:50,040
它是-2。

79
00:03:50,040 --> 00:03:55,310
我们得到(x - 2)(x - 2) = 9。

80
00:03:55,310 --> 00:03:59,350
或者我们可以跳过这一步

81
00:03:59,350 --> 00:04:02,990
写成(x - 2)² = 9。

82
00:04:02,990 --> 00:04:07,280
然后两边同时开根号，

83
00:04:07,280 --> 00:04:10,840
就得到x - 2 = ±3。

84
00:04:10,840 --> 00:04:16,870
两边同时加上2，就得到x = 2 ± 3。

85
00:04:16,870 --> 00:04:22,440
这告诉我们x可以等于2 + 3，也就是5。

86
00:04:22,440 --> 00:04:28,960
或者x可以等于2 - 3，也就是-1。

87
00:04:28,960 --> 00:04:30,650
我们完成了。

88
00:04:30,650 --> 00:04:31,840
现在我想说明一下。

89
00:04:31,840 --> 00:04:34,300
你可以完成这个方程而不用配方法。

90
00:04:34,300 --> 00:04:36,440
我们可以从

91
00:04:36,440 --> 00:04:39,850
x²- 4x = 5开始。

92
00:04:39,850 --> 00:04:42,970
我们可以两边同时减去5，

93
00:04:42,970 --> 00:04:47,160
得到x² - 4x - 5 = 0。

94
00:04:47,160 --> 00:04:48,540
你可以这样想，

95
00:04:48,540 --> 00:04:56,190
如果我有一个-5乘以1，那么它们的乘积是-5，

96
00:04:56,190 --> 00:04:57,000
它们的和是-4。

97
00:04:57,000 --> 00:04:58,280
所以我可以说这是

98
00:04:58,280 --> 00:05:02,480
（x - 5)(x + 1) = 0。

99
00:05:02,480 --> 00:05:05,360
然后我们说x等于5

100
00:05:05,360 --> 00:05:07,700
或者x等于-1。

101
00:05:07,700 --> 00:05:10,350
在这种情况下，

102
00:05:10,350 --> 00:05:13,450
实际上可能有更快的解题方法。

103
00:05:13,450 --> 00:05:16,140
但是配方法的奇妙之处

104
00:05:16,140 --> 00:05:17,770
就在于它总是有效的。

105
00:05:17,770 --> 00:05:21,580
它总是有效的，不管系数是多少，

106
00:05:21,580 --> 00:05:23,385
不管问题有多复杂。

107
00:05:23,385 --> 00:05:25,400
我来证明一下。

108
00:05:25,400 --> 00:05:27,380
我们来做一个

109
00:05:27,380 --> 00:05:31,140
传统上会很麻烦的问题，

110
00:05:31,140 --> 00:05:35,590
如果我们试着做分解，特别是用分组

111
00:05:35,590 --> 00:05:37,020
就像这样。

112
00:05:37,020 --> 00:05:38,720
假设我们现在有

113
00:05:38,720 --> 00:05:47,530
10x² - 30x - 8 = 0。

114
00:05:47,530 --> 00:05:50,060
现在，从一开始，

115
00:05:50,060 --> 00:05:53,280
我们可以两边除以2。

116
00:05:53,280 --> 00:05:54,800
这确实简化了一点。

117
00:05:54,800 --> 00:05:56,450
我们两边同时除以2。

118
00:05:56,450 --> 00:06:02,150
如果把所有数都除以2，会得到什么?

119
00:06:02,150 --> 00:06:11,990
我们得到5x² - 15x - 4 = 0。

120
00:06:11,990 --> 00:06:14,540
但是同样的，现在系数前面有一个疯狂的5，

121
00:06:14,540 --> 00:06:16,810
我们必须通过分组来解决它。

122
00:06:16,810 --> 00:06:20,410
这是一个相当痛苦的过程。

123
00:06:20,410 --> 00:06:23,410
但现在我们可以直接完成这个配方，

124
00:06:23,410 --> 00:06:24,510
为了完成这个，

125
00:06:24,510 --> 00:06:28,870
我现在要除以5得到1的系数。

126
00:06:28,870 --> 00:06:31,390
你们会看到为什么

127
00:06:31,390 --> 00:06:33,010
这和我们传统的做法不同。

128
00:06:33,010 --> 00:06:35,730
如果我把这整个除以5，

129
00:06:35,730 --> 00:06:38,050
我可以从一开始就除以10，

130
00:06:38,050 --> 00:06:40,030
但我想先做这个，只是为了让你们知道

131
00:06:40,030 --> 00:06:41,800
题目并没有告诉我们多少。

132
00:06:41,800 --> 00:06:43,660
所有项都除以5。

133
00:06:43,660 --> 00:06:49,763
如果每项都除以5，

134
00:06:49,763 --> 00:06:58,720
就得到x² - 3x - 4/5 = 0。

135
00:06:58,720 --> 00:06:59,930
你可能会问，

136
00:06:59,930 --> 00:07:02,630
为什么我们要用分组来分解因素呢?

137
00:07:02,630 --> 00:07:05,230
如果我们总是可以除以前面的系数，

138
00:07:05,230 --> 00:07:07,220
我们就可以消去它。

139
00:07:07,220 --> 00:07:09,240
如果我们除以正确的数，

140
00:07:09,240 --> 00:07:10,910
我们总是可以把这个变成1或者- 1。

141
00:07:10,910 --> 00:07:14,410
但是注意，通过这样做我们得到了这个疯狂的4/5。

142
00:07:14,410 --> 00:07:17,630
用因式分解是非常难的。

143
00:07:17,630 --> 00:07:19,500
你们可能会说，

144
00:07:19,500 --> 00:07:22,100
哪两个数的乘积等于- 4/5?

145
00:07:22,100 --> 00:07:23,660
这是一个分数，

146
00:07:23,660 --> 00:07:26,140
什么时候我取它们的和，等于-3?

147
00:07:26,140 --> 00:07:29,310
这是因式分解的一个难题。

148
00:07:29,310 --> 00:07:36,860
用因式分解是很难的。

149
00:07:36,860 --> 00:07:42,080
所以最好的方法就是用配方法。

150
00:07:42,080 --> 00:07:43,650
我们想一下，

151
00:07:43,650 --> 00:07:45,950
如何把它变成完全平方。

152
00:07:45,950 --> 00:07:48,080
我喜欢做的是，你们会看到有几种方法，

153
00:07:48,080 --> 00:07:49,770
我将展示两种方法，因为你们会看到

154
00:07:49,770 --> 00:07:53,880
老师会用两种方法来做。我喜欢把4/5写在另一边。

155
00:07:53,880 --> 00:07:56,900
让我们方程两边同时加上4/5。

156
00:07:56,900 --> 00:07:58,910
你不需要这样做，但是

157
00:07:58,910 --> 00:08:01,160
我喜欢把4/5移开。

158
00:08:01,160 --> 00:08:04,010
如果方程两边同时加上4/5，

159
00:08:04,010 --> 00:08:05,250
会得到什么?

160
00:08:05,250 --> 00:08:08,350
方程的左边变成了x² - 3x，

161
00:08:08,350 --> 00:08:11,800
不是4/5。

162
00:08:11,800 --> 00:08:13,660
我要留一点空间。

163
00:08:13,660 --> 00:08:17,790
这将会是等于4/5。

164
00:08:17,790 --> 00:08:19,990
现在，就像上一个问题一样，

165
00:08:19,990 --> 00:08:23,350
我们想把左边变成二项式的完全平方。

166
00:08:23,350 --> 00:08:24,740
我们怎么做呢?

167
00:08:24,740 --> 00:08:25,730
我们可以想，

168
00:08:25,730 --> 00:08:30,110
什么数乘以2等于-3?

169
00:08:30,110 --> 00:08:32,309
一个数乘以2等于- 3。

170
00:08:32,309 --> 00:08:35,330
或者我们用-3除以2，

171
00:08:35,330 --> 00:08:37,370
也就是- 3/2。

172
00:08:37,370 --> 00:08:39,554
我们对- 3/2进行平方。

173
00:08:39,554 --> 00:08:44,840
在这个例子中，我们说a是- 3/2。

174
00:08:44,840 --> 00:08:48,380
如果对- 3/2平方，会得到什么?

175
00:08:48,380 --> 00:08:54,100
我们得到9/4。

176
00:08:54,100 --> 00:08:56,810
我只是取系数的一半，进行平方，

177
00:08:56,810 --> 00:08:58,010
得到正的9/4。

178
00:08:58,010 --> 00:09:00,720
这样做的目的就是

179
00:09:00,720 --> 00:09:02,920
把左边变成完全平方。

180
00:09:02,920 --> 00:09:05,530
现在，你对等式的一边做什么，

181
00:09:05,530 --> 00:09:06,600
对另一边也要做同样的事情。

182
00:09:06,600 --> 00:09:11,030
我们这里加9/4，这边也加一个9/4。

183
00:09:11,030 --> 00:09:13,850
我们的方程变成什么了?

184
00:09:13,850 --> 00:09:22,530
我们得到x²- 3x + 9/4等于，

185
00:09:22,530 --> 00:09:24,460
我们看看能不能得到公分母。

186
00:09:24,460 --> 00:09:29,120
4/5和16/20一样的。

187
00:09:29,120 --> 00:09:31,880
分子分母同时乘以4。

188
00:09:31,880 --> 00:09:33,820
+ 20。

189
00:09:33,820 --> 00:09:36,960
9/4和分子乘以5

190
00:09:36,960 --> 00:09:42,150
相当于45/20。

191
00:09:42,150 --> 00:09:44,970
16加45等于多少?

192
00:09:44,970 --> 00:09:47,020
你看，这有点麻烦，

193
00:09:47,020 --> 00:09:48,930
但这就是有趣的地方，我猜，

194
00:09:48,930 --> 00:09:50,380
需要进行配方。

195
00:09:50,380 --> 00:09:53,420
16 + 45。

196
00:09:53,420 --> 00:09:55,780
这是55，61。

197
00:09:55,780 --> 00:09:59,750
所以这里等于61/20。

198
00:09:59,750 --> 00:10:02,680
我重新写一下。

199
00:10:02,680 --> 00:10:09,480
x² - 3x + 9/4等于61/20。

200
00:10:09,480 --> 00:10:11,030
疯狂的数字。

201
00:10:11,030 --> 00:10:13,630
这个，至少在左边，

202
00:10:13,630 --> 00:10:15,970
是一个完全平方。

203
00:10:15,970 --> 00:10:21,610
这就等于(x - 3/2)²。

204
00:10:21,610 --> 00:10:24,200
这是设计好了的。

205
00:10:24,200 --> 00:10:27,590
- 3/2乘以- 3/2等于9/4。

206
00:10:27,590 --> 00:10:32,790
- 3/2 +(- 3/2)等于-3。

207
00:10:32,790 --> 00:10:37,960
这个的平方等于61/20。

208
00:10:37,960 --> 00:10:42,020
两边同时开方得到

209
00:10:42,020 --> 00:10:47,820
x - 3/2等于正的或负的

210
00:10:47,820 --> 00:10:53,320
根号下61/20。

211
00:10:53,320 --> 00:10:57,640
现在，方程两边同时加上3/2

212
00:10:57,640 --> 00:11:03,600
得到x等于正的3/2加减

213
00:11:03,600 --> 00:11:07,300
根号下61/20。

214
00:11:07,300 --> 00:11:09,290
这是一个很疯狂的数字，

215
00:11:09,290 --> 00:11:11,430
很明显，你不能通过因式分解

216
00:11:11,430 --> 00:11:15,250
得到这个数字。

217
00:11:15,250 --> 00:11:17,260
如果你想求它们的实际值，

218
00:11:17,260 --> 00:11:18,510
你可以用计算器。

219
00:11:20,620 --> 00:11:22,510
我这些都清除掉。

220
00:11:25,950 --> 00:11:28,760
3/2 -- 我们先做加法。

221
00:11:28,760 --> 00:11:33,710
我们要做的是3除以2加上2的平方根。

222
00:11:33,710 --> 00:11:35,050
我们要取这个黄色的平方根。

223
00:11:35,050 --> 00:11:46,480
61的平方根除以20，等于3.24。

224
00:11:46,480 --> 00:11:52,760
这个疯狂的3.2464，我写成3.246。

225
00:11:52,760 --> 00:12:01,440
所以这大约等于3.246，

226
00:12:01,440 --> 00:12:03,110
这是正的形式。

227
00:12:03,110 --> 00:12:06,710
让我们来做减法。

228
00:12:06,710 --> 00:12:09,180
所以我们可以输入，

229
00:12:09,180 --> 00:12:11,535
如果你第二次做，然后输入，

230
00:12:11,535 --> 00:12:13,365
我们想要那个黄色的输入，这就是为什么我按了第二个按钮。

231
00:12:13,365 --> 00:12:16,130
我按回车键，它输入了我们刚刚输入的东西，

232
00:12:16,130 --> 00:12:23,400
我们可以改变成负号

233
00:12:23,400 --> 00:12:27,970
得到-0.246。

234
00:12:27,970 --> 00:12:33,800
你得到了-0.246。

235
00:12:33,800 --> 00:12:38,200
你其实可以验证这些

236
00:12:38,200 --> 00:12:39,360
是否满足原始方程。

237
00:12:39,360 --> 00:12:42,050
原始的方程在上面。

238
00:12:42,050 --> 00:12:43,840
我来验证一下其中一个。

239
00:12:47,400 --> 00:12:50,130
图形计算器上的第二个解

240
00:12:50,130 --> 00:12:51,760
是你用的最后一个解。

241
00:12:51,760 --> 00:12:54,160
如果你用的是一个可变的解，

242
00:12:54,160 --> 00:12:55,160
就是这个数。

243
00:12:55,160 --> 00:13:00,090
如果我有解的平方，

244
00:13:00,090 --> 00:13:02,380
我用这个解表示-0.24。

245
00:13:02,380 --> 00:13:11,975
解的平方减去3乘以解减去4/5,

246
00:13:11,975 --> 00:13:16,030
4除以5，等于

247
00:13:16,030 --> 00:13:18,490
这需要解释一下。

248
00:13:18,490 --> 00:13:21,860
它不会存储整个数字，

249
00:13:21,860 --> 00:13:22,880
它会达到一定的精度。

250
00:13:22,880 --> 00:13:24,910
它存储一些数字的位数。

251
00:13:24,910 --> 00:13:28,930
当它用这个存储的数字计算它时，

252
00:13:28,930 --> 00:13:32,240
它得到1乘以10的-14次方。

253
00:13:32,240 --> 00:13:34,980
也就是0.0000。

254
00:13:34,980 --> 00:13:37,100
这是13个0和一个1。

255
00:13:37,100 --> 00:13:38,870
这是一个小数，是13个0和一个1。

256
00:13:38,870 --> 00:13:41,060
所以这几乎是0。

257
00:13:41,060 --> 00:13:43,550
实际上，如果你在这里得到了确切的答案，

258
00:13:43,550 --> 00:13:46,480
如果你在这里得到了无限的精度，

259
00:13:46,480 --> 00:13:49,050
或者如果你保持这个根号形式，

260
00:13:49,050 --> 00:13:52,390
你会得到它确实等于0。

261
00:13:52,390 --> 00:13:55,300
这个配方法的概念，

262
00:13:55,300 --> 00:13:56,160
希望这对你们有帮助。

263
00:13:56,160 --> 00:13:58,670
现在我们要把它推广到

264
00:13:58,670 --> 00:14:01,510
我们可以使用的二次方程中，

265
00:14:01,510 --> 00:14:06,000
我们可以代入一些数来求解任何二次方程。