在这段视频中，我将向你们展示一种技巧
叫做配方法。
它的奇妙之处在于适用于任何二次方程，
它实际上是
二次方程的基。
在下个或者在那之后的视频，
我会用配方法来证明这个二次公式。
但在此之前，我们需要理解。
它到底是怎么回事。
这是建立在上一集视频基础上的，
我们用完全平方
求解了二次方程。
已知二次方程x² - 4x
等于5。
我在这里放这么大的空间是有原因的。
在上一集视频中，我们知道
如果左边是完全平方，
就可以很直接地求解出来。
你看，配方就是把二次方程变成完全平方，
对它进行工程处理，
两边加减
使它变成完全平方。
我们该怎么做呢?
为了使左边是完全平方的，
这里必须有某个数。
这里一定有某个数，
如果我有这个数的平方，
我用2乘以这个数，我得到-4。
记住这一点，
我想通过几个例子你就会明白。
我想要x² - 4x
加上某项等于x - a²。
我们还不知道a是多少，
但我们知道一些东西。
当我取平方时，这个等于
x² - 2a + a²。
如果你看这里的模式，它必须是 --
抱歉，x² - 2ax -- 这里必须是2ax。
这里应该是a的平方。
所以这个数，a是-4的一半，
a是-2，对吧
因为2乘以a等于-4。
a是-2，如果a是-2，a的平方是多少?
那么a的平方就是+4。
现在你们可能觉得这些很复杂，
但是我给你们展示的是基本原理。
你只需要看这里的系数，
好，系数的一半是多少?
系数的一半是-2。
所以我们可以说a等于-2，同样的，
然后平方。
对a平方，得到正4。
所以这里加上4。
加4。
从我们做过的第一个方程，
你应该知道
你不能只在方程的一边运算。
不能只在等式的一边加上4。
如果x² - 4x = 5，那么当我加4时，
它就不再等于5了。
这将会是5 + 4。
我们在左边加了4，
因为我们想让它是一个完全平方。
但是如果你在左边加上某项，
你必须在右边加上它。
现在，我们遇到了一个
和上个视频中一样的问题。
左边是什么？
我把整个式子重写一下。
我们现在得到x² - 4x + 4 = 9。
我们所做的就是方程两边同时加上4。
但是我们为了左边变成完全平方，
而加上了4。
这是什么?
什么数乘以它本身等于4？
而当我把它自身相加等于-2?
我们已经回答了这个问题。
它是-2。
我们得到(x - 2)(x - 2) = 9。
或者我们可以跳过这一步
写成(x - 2)² = 9。
然后两边同时开根号，
就得到x - 2 = ±3。
两边同时加上2，就得到x = 2 ± 3。
这告诉我们x可以等于2 + 3，也就是5。
或者x可以等于2 - 3，也就是-1。
我们完成了。
现在我想说明一下。
你可以完成这个方程而不用配方法。
我们可以从
x²- 4x = 5开始。
我们可以两边同时减去5，
得到x² - 4x - 5 = 0。
你可以这样想，
如果我有一个-5乘以1，那么它们的乘积是-5，
它们的和是-4。
所以我可以说这是
（x - 5)(x + 1) = 0。
然后我们说x等于5
或者x等于-1。
在这种情况下，
实际上可能有更快的解题方法。
但是配方法的奇妙之处
就在于它总是有效的。
它总是有效的，不管系数是多少，
不管问题有多复杂。
我来证明一下。
我们来做一个
传统上会很麻烦的问题，
如果我们试着做分解，特别是用分组
就像这样。
假设我们现在有
10x² - 30x - 8 = 0。
现在，从一开始，
我们可以两边除以2。
这确实简化了一点。
我们两边同时除以2。
如果把所有数都除以2，会得到什么?
我们得到5x² - 15x - 4 = 0。
但是同样的，现在系数前面有一个疯狂的5，
我们必须通过分组来解决它。
这是一个相当痛苦的过程。
但现在我们可以直接完成这个配方，
为了完成这个，
我现在要除以5得到1的系数。
你们会看到为什么
这和我们传统的做法不同。
如果我把这整个除以5，
我可以从一开始就除以10，
但我想先做这个，只是为了让你们知道
题目并没有告诉我们多少。
所有项都除以5。
如果每项都除以5，
就得到x² - 3x - 4/5 = 0。
你可能会问，
为什么我们要用分组来分解因素呢?
如果我们总是可以除以前面的系数，
我们就可以消去它。
如果我们除以正确的数，
我们总是可以把这个变成1或者- 1。
但是注意，通过这样做我们得到了这个疯狂的4/5。
用因式分解是非常难的。
你们可能会说，
哪两个数的乘积等于- 4/5?
这是一个分数，
什么时候我取它们的和，等于-3?
这是因式分解的一个难题。
用因式分解是很难的。
所以最好的方法就是用配方法。
我们想一下，
如何把它变成完全平方。
我喜欢做的是，你们会看到有几种方法，
我将展示两种方法，因为你们会看到
老师会用两种方法来做。我喜欢把4/5写在另一边。
让我们方程两边同时加上4/5。
你不需要这样做，但是
我喜欢把4/5移开。
如果方程两边同时加上4/5，
会得到什么?
方程的左边变成了x² - 3x，
不是4/5。
我要留一点空间。
这将会是等于4/5。
现在，就像上一个问题一样，
我们想把左边变成二项式的完全平方。
我们怎么做呢?
我们可以想，
什么数乘以2等于-3?
一个数乘以2等于- 3。
或者我们用-3除以2，
也就是- 3/2。
我们对- 3/2进行平方。
在这个例子中，我们说a是- 3/2。
如果对- 3/2平方，会得到什么?
我们得到9/4。
我只是取系数的一半，进行平方，
得到正的9/4。
这样做的目的就是
把左边变成完全平方。
现在，你对等式的一边做什么，
对另一边也要做同样的事情。
我们这里加9/4，这边也加一个9/4。
我们的方程变成什么了?
我们得到x²- 3x + 9/4等于，
我们看看能不能得到公分母。
4/5和16/20一样的。
分子分母同时乘以4。
+ 20。
9/4和分子乘以5
相当于45/20。
16加45等于多少?
你看，这有点麻烦，
但这就是有趣的地方，我猜，
需要进行配方。
16 + 45。
这是55，61。
所以这里等于61/20。
我重新写一下。
x² - 3x + 9/4等于61/20。
疯狂的数字。
这个，至少在左边，
是一个完全平方。
这就等于(x - 3/2)²。
这是设计好了的。
- 3/2乘以- 3/2等于9/4。
- 3/2 +(- 3/2)等于-3。
这个的平方等于61/20。
两边同时开方得到
x - 3/2等于正的或负的
根号下61/20。
现在，方程两边同时加上3/2
得到x等于正的3/2加减
根号下61/20。
这是一个很疯狂的数字，
很明显，你不能通过因式分解
得到这个数字。
如果你想求它们的实际值，
你可以用计算器。
我这些都清除掉。
3/2 -- 我们先做加法。
我们要做的是3除以2加上2的平方根。
我们要取这个黄色的平方根。
61的平方根除以20，等于3.24。
这个疯狂的3.2464，我写成3.246。
所以这大约等于3.246，
这是正的形式。
让我们来做减法。
所以我们可以输入，
如果你第二次做，然后输入，
我们想要那个黄色的输入，这就是为什么我按了第二个按钮。
我按回车键，它输入了我们刚刚输入的东西，
我们可以改变成负号
得到-0.246。
你得到了-0.246。
你其实可以验证这些
是否满足原始方程。
原始的方程在上面。
我来验证一下其中一个。
图形计算器上的第二个解
是你用的最后一个解。
如果你用的是一个可变的解，
就是这个数。
如果我有解的平方，
我用这个解表示-0.24。
解的平方减去3乘以解减去4/5,
4除以5，等于
这需要解释一下。
它不会存储整个数字，
它会达到一定的精度。
它存储一些数字的位数。
当它用这个存储的数字计算它时，
它得到1乘以10的-14次方。
也就是0.0000。
这是13个0和一个1。
这是一个小数，是13个0和一个1。
所以这几乎是0。
实际上，如果你在这里得到了确切的答案，
如果你在这里得到了无限的精度，
或者如果你保持这个根号形式，
你会得到它确实等于0。
这个配方法的概念，
希望这对你们有帮助。
现在我们要把它推广到
我们可以使用的二次方程中，
我们可以代入一些数来求解任何二次方程。