Solving Quadratic Equations by Completing the Square

In diesem Video zeige ich dir eine Technik,

die sich "Quadrat-Vervollständigung" nennt.

Und das Schöne daran ist, dass sie für jede

quadratische Gleichung funktioniert und sie ist tatsächlich die Basis der

quadratischen Lösungsformel.

Und im nächsten Video oder dem danach werde ich die quadratische

Lösungsformel beweisen, in dem ich die Quadratvervollständigung nutze.

Aber davor müssen wir zuerst verstehen,
worum es hierbei überhaupt geht.

Aber davor müssen wir zuerst verstehen,
worum es hierbei überhaupt geht.

Und wir führen hier eigentlich nur weiter, was wir im letzten Video gemacht haben,

in dem wir quadratische Gleichungen mit

perfekten Quadraten gelöst haben.

Also sagen wir ich habe die quadratische Gleichung
"x² - 4x = 5"

"x² - 4x = 5"

Und ich lasse hier absichtlich viel Platz.

Im letzten Video haben wir gemerkt, dass diese Gleichungen

ziemlich schnell zu lösen sind,
wenn die linke Seite ein perfektes Quadrat ist.

ziemlich schnell zu lösen sind,
wenn die linke Seite ein perfektes Quadrat ist.

Und bei der Quadratvervollständigung geht es darum, die

quadratische Gleichung zu einem
perfekten Quadrat zu machen, sie zu verändern,

von beiden Seiten subtrahieren oder dazuaddieren, damit ein perfektes Quadrat entsteht.

von beiden Seiten subtrahieren oder dazuaddieren, damit ein perfektes Quadrat entsteht.

Und wie können wir das tun?

Nun, damit die linke Seite ein perfektes Quadrat wird,

muss hier eine Zahl stehen.

Hier muss eine Zahl stehen, die ich erhalte, wenn ich

meine Zahl quadriere, und dann, wenn ich meine Zahl mal zwei nehme,

muss ich -4 erhalten.

Versuch, das im Kopf zu behalten und ich denke, ich

erkläre das an einigen Beispielen.

Ich möchte x² - 4x plus irgendetwas gleich (x - a²) haben.

Ich möchte x² - 4x plus irgendetwas gleich (x - a²) haben.

Wir wissen noch nicht was a ist, aber wir wissen ein paar andere Sachen.

Wir wissen noch nicht was a ist, aber wir wissen ein paar andere Sachen.

Wenn ich etwas quadriere -- also das hier wird
x² - 2a + a²

x² - 2a + a²

Und wenn du dir das Muster hier anschaust, das muss--

Entschuldigung, x² - 2ax ;-- das hier muss 2ax heißen.

Und das hier muss a² sein.

Also diese Zahl, a, wird die Hälfte von -4 sein,

das heißt a ist -2.

Denn zwei mal a ist -4.

a ist -2, und wenn a = -2 ist, was ist a² ?

a² ist somit dann 4.

Das erscheint euch jetzt vielleicht kompliziert,

aber ich zeige dir das Grundprinzip:

du schaust dir einfach nur diesen Koeffizient hier an

und sagst "Okay, was ist die Hälfte davon?"

Und die Hälfte dieses Koeffizienten ist -2

Also können wir sagen: a ist gleich -2, das gleiche Prinzip dort--

und dann quadrierst du es.

Du quadrierst a und erhältst 4.

Also fügen wir hier plus vier hinzu.

Plus 4.

Nun, du solltest seit der ersten Gleichung an, die du je gemacht hast, wissen,

dass du niemals etwas nur auf einer Seite der Gleichung machen darfst.

dass du niemals etwas nur auf einer Seite der Gleichung machen darfst.

Du kannst nicht einfach 4 zu einer Seite der Gleichung hinzuaddieren.

Wenn x² - 4x gleich 5 war, dann wird es nicht mehr 5 sein, nachdem ich 4 hinzufüge.

Wenn x² - 4x gleich 5 war, dann wird es nicht mehr 5 sein, nachdem ich 4 hinzufüge.

Es wird gleich 5 + 4 sein.

Wir haben links 4 hinzugefügt, weil wir das zu einem perfekten Quadrat machen wollten.

Wir haben links 4 hinzugefügt weil wir das zu einem perfekten Quadrat machen wollten.

Aber wenn du etwas auf der linken Seite hinzufügst, musst du es auch

auf der rechten Seite hinzufügen.

Und nun haben wir ein Problem, das aussieht wie

die Probleme, die wir im letzten Video gelöst haben.

Was ergibt diese linke Seite?

Ich schreibe das Ganze nochmal um.

Wir haben nun:
x² - 4x + 4 = 9

Alles, was wir gemacht haben, war 4 zu beiden Seiten hinzuzufügen.

Aber wir haben das absichtlich gemacht, damit diese linke Seite

zu einem perfekten Quadrat wurde.

Nun, was ergibt das?

Welche Zahl ergibt 4, wenn ich sie mit sich selbst mulitpliziere und

wenn ich sie mit sich selbst addiere erhalte ich -4?

Diese Frage haben wir ja schon beantwortet:

Es ist -2.

Also erhalten wir (x - 2) * (x - 2) = 9

Oder wir hätten diesen Schritt auch überspringen und stattdessen

(x - 2)² = 9 schreiben können.

und dann ziehst du die Wurzel auf beiden Seiten.

x - 2 = +/- 3

Plus 2 auf beiden Seiten und wir erhalten
x = 2 +/- 3

Das zeigt uns, dass x gleich 2 + 3 sein kann, was 5 ist.

Oder x kann gleich 2 - 3, also -1 sein.

Und damit sind wir fertig.

Nun hätten wir das auch ohne Quadratvervollständigung machen können.

Nun hätten wir das auch ohne Quadratvervollständigung machen können.

Wir hätten mit x² - 4x = 5 anfangen können.

Wir hätten mit x² - 4x = 5 anfangen können.

Dann hätten wir 5 von beiden Seiten abgezogen und

x² - 4x - 5 = 0 erhalten

Und du könntest dann sagen "hey, wenn ich eine -5 mal 1 habe,

dann ist ihr Produkt und ihre Summe -4."

dann ist ihr Produkt und ihre Summe -4."

Also könnte ich sagen, das ist
(x - 5)*(x+1) = 0

(x - 5)*(x+1) = 0

Und dann würden wir sagen
x = 5 oder x = -1

Und dann würden wir sagen
x = 5 oder x = -1

Und in diesem Fall wäre das wahrscheinlich sogar ein schnellerer Weg gewesen, das Problem zu lösen.

Und in diesem Fall wäre das wahrscheinlich sogar ein schnellerer Weg gewesen, das Problem zu lösen.

Aber das Tolle an der Quadratvervollständigung ist, dass sie immer funktionieren wird.

Aber das Tolle an der Quadratvervollständigung ist, dass sie immer funktionieren wird.

Sie wird immer funktionieren, egal welche Koeffizienten dort stehen oder

wie verrückt auch immer das Problem ist.

Und das möchte ich dir beweisen.

Lass uns eins machen, das konventionell ein sehr schweres Problem wäre,

wenn wir es nur mit Ausklammern

oder besonders mit Gruppierung oder Ähnlichem versuchen würden.

oder besonders mit Gruppierung oder Ähnlichem versuchen würden.

Sagen wir, wir haben
10x² - 30x - 8 = 0

Sagen wir, wir haben
10x² - 30x - 8 = 0

Nun, von Anfang an könnten wir jetzt sagen

"vielleicht könnten wir beide Seiten durch 2 teilen"

Und das vereinfacht es etwas.

Also teilen wir beide Seiten durch 2.

Also wenn du alles durch 2 teilst, was erhältst du?

Wir erhalten
5x² - 15x -4 = 0

Aber jetzt haben wir diese 5 hier
vor diesem Koeffizienten

und wir müssten es mit Gruppierung lösen, was ziemlich mühsam wäre.

und wir müssten es mit Gruppierung lösen, was ziemlich mühsam wäre.

Aber wir können nun direkt zur Quadratvervollständigung übergehen

und dazu werde ich nun durch 5 teilen, um eine 1 vor dem Koeffizienten zu erhalten.

und dazu werde ich nun durch 5 teilen, um eine 1 vor dem Koeffizienten zu erhalten.

Und du wirst sehen, warum das anders ist, als das was wir sonst immer gemacht haben.

Und du wirst sehen, warum das anders ist, als das, was wir sonst immer gemacht haben.

Wenn ich das Ganze durch 5 teile, hätte ich es auch von Anfang an durch 10 teilen können

Wenn ich das Ganze durch 5 teile, hätte ich es auch von Anfang an durch 10 teilen können

aber ich wollte das zuerst machen, um zu zeigen, dass es uns tatsächlich nicht viel gebracht hat.

aber ich wollte das zuerst machen um zu zeigen, dass es uns tatsächlich nicht viel gebracht hat.

Also teilen wir alles durch 5.

Damit erhalten wir
x² - 3x - 4/5 = 0

damit erhalten wir
x² - 3x - 4/5 = 0

Also könntest du sagen "warum haben wir das Ausklammern überhaupt durch

Gruppieren gemacht?"

Wenn wir immer durch den vordersten Koeffizienten teilen können,

können wir das doch weglassen.

Wir können das immer in eine 1 oder -1 wandeln, wenn wir

durch die richtige Zahl teilen.

Aber schau, dadurch haben wir hier diese unpraktischen 4/5 hier.

Also ist das ziemlich schwer, nur durch Ausklammern zu lösen.

Du müsstest dich fragen "Das Produkt welcher zwei Zahlen ist gleich -4/5?"

Du müsstest dich fragen "Das Produkt welcher zwei Zahlen ist gleich -4/5?"

Es ist ein Bruch und wenn ich die Summe nehme ergeben sie -3.

Es ist ein Bruch und wenn ich die Summe nehme ergeben sie -3.

Das ist ziemlich schwer auf diese Weise.

Das ist mit Ausklammern ziemlich schwer.

Also ist es das beste, hier eine Quadratvervollständigung zu nutzen.

Lass uns darüber nachdenken, wie wir das in ein perfektes Quadrat verwandeln.

Lass uns darüber nachdenken, wie wir das in ein perfektes Quadrat verwandeln.

Ich mag es-- und du wirst das auf mehrere Arten sehen

und ich zeige dir beide Arten, weil Lehrer es auf beide Arten machen können.

Ich möchte die 4/5 auf der anderen Seite haben.

Also fügen wir 4/5 auf beiden Seiten hinzu.

Das musst du nicht machen, aber ich möchte die 4/5 aus dem Weg haben.

Das musst du nicht machen, aber ich möchte die 4/5 aus dem Weg haben.

Und was erhalten wir, wenn wir auf beiden Seiten 4/5 hinzufügen?

Und was erhalten wir, wenn wir auf beiden Seiten 4/5 hinzufügen?

Die linke Seite wird x² - 3x,
keine 4/5 hier

Die linke Seite wird x² - 3x,
keine 4/5 hier

ich lasse hier etwas Platz.

Und das hier wird 4/5 sein.

Und nun, wie im letzten Problem, müssen wir die linke Seite

in das perfekte Quadrat eines Binoms sein.

Wie tun wir das?

Wir fragen uns, welche Zahl mal 2 gleich -3 ist.

Wir fragen uns, welche Zahl mal 2 gleich -3 ist.

Also irgendeine Zahl mal 2 ist -3.

oder wir nehmen grundsätzlich -3 und teilen es durch 2,

und das ergibt -3/2.

Und dann quadrieren wir -3/2

In diesem Beispiel sagen wir also: a ist -3/2

und was erhalten wir, wenn wir -3/2 quadrieren?

wir erhalten 9/4.

Ich habe einfach die Hälfte dieses Koeffizienten genommen, sie quadriert

und 9/4 erhalten.

Der ganze Zweck davon liegt darin, die linke Seite

in ein perfektes Quadrat zu wandeln.

Nun müssen wir alles, was wir auf einer Seite tun auch auf der anderen tun.

Nun müssen wir alles, was wir auf einer Seite tun, auch auf der anderen tun.

Wir haben also 9/4 hier hinzugefügt, also müssen wir das auch hier tun.

Und wie sieht unsere Gleichung jetzt aus?

Wir erhalten 3x + 9/4 = --mal sehen,

ob wir einen gemeinsamen Nenner finden.

4/5 ist das Gleiche wie 16/20.

Einfach Zähler und Nenner mit 4 multipliziert.

9/4 ist, wenn du Zähler und Nenner mit 5 multiplizierst

das Gleiche wie 45/20

Nun, was ist 16 + 45?

Du siehst das wird etwas schwierig, aber

ich denke, darin liegt manchmal der Spaß

an der Quadratvervollständigung.

16 plus 45.

das ist 61.

Also ist das gleich 16/20.

Ich schreib das ordentlich auf.

x² - 3x + 9/4 = 61/20

Verrückte Zahl.

Nun, zumindest ist links ein perfektes Quadrat.

Nun, zumindes ist links ein perfektes Quadrat.

Das ist das Gleiche wie
(x - 3/2)².

Und das ist Absicht.

-3/2 * -3/2 ist 9/4.

-3/2 + -3/2 ist gleich -3.

Also ist das quadriert 61/20.

Wir können die Wurzel von beiden Seiten ziehen und erhalten

x - 3/2 = +/- die Quadratwurzel von 61/20.

x - 3/2 = +/- die Quadratwurzel von 61/20.

Und nun können wir 3/2 zu beiden Seiten hinzufügen

und du erhältst x = 3/2 +/- Wurzel aus 61/21.

und du erhältst x = 3/2 +/- Wurzel aus 61/21.

Und das ist eine verrückte Zahl und es ist hoffentlich offensichtlich,

dass du nicht in der Lage gewesen wärst-- zumindest ich wäre nicht in der Lage

gewesen, diese Zahl nur
durch Ausklammern zu erhalten.

Und wenn du den tatsächlichen Zahlenwert haben möchtest, kannst du

deinen Taschenrechner rausholen.

Das alles weg.

Und 3/2-- wir machen zuerst die Plus-Version. Wir wollen

3 geteilt durch 2 plus die zweite Wurzel.

Wir wollen die kleine gelbe Quadratwurzel.

Also die Wurzel aus 61 geteilt durch 20, was 3,24 ist.

Diese verrückte 3,2464, ich schreibe nur 3,246.

Also das ist ungefähr gleich 3,246 und das war erst

die positive Version.

Jetzt machen wir die Minus-Version.

Wir können hier tatsächlich unseren Eintrag-- wenn du die Taste "2nd" drückst

und dann "Entry", wir wollen die kleine gelbe Taste,

deshalb habe ich die "2nd"-Taste gedrückt.

Und ich drücke Enter und es fügt ein, was ich gerade eingegeben habe, wir können einfach

die Addition zu einer Subtraktion machen und

wir erhalten -0,246.

Also ergibt das -0.246.

Und du kannst sogar überprüfen, dass diese Zahlen unsere

ursprüngliche Gleichung erfüllen.

Unsere ursprüngliche Gleichung war hier oben.

Ich überprüfe eine von ihnen.

Also die "2nd" + "Ans" Taste auf dem Taschenrechner holt das

letzte Ergebnis zum Benutzen.

Also wenn du in einer Rechnung "Ans"(Answer) benutzt, wird das letzte Ergebnis an dieser Stelle benutzt.

Also wenn du in einer Rechnung "Ans"(Answer) benutzt, wird das letzte Ergebnis an dieser Stelle benutzt.

Also lasse ich mein "Ans" quadrieren

und "Ans" ist 0,24.

(Ans² - 3) * (Ans - 4/5)--
4 geteilt durch 5,

das ist gleich--

Und das ist nur ein Teil der Erklärung

Er speichert nicht die vollständige Zahl, es geht nur bis zu einem gewissen Grad an Präzision.

Er speichert nicht die vollständige Zahl, es geht nur bis zu einem gewissen Grad an Präzision.

Er speichert nur eine gewisse Anzahl an Stellen.

Also als er hier mit der hier gespeicherten Zahl gerechnet hat,

hat er 1*10 hoch -14 erhalten

und das ist 0,0000

das sind also 13 Nullen und dann eine 1

Ein Komma, dann 13 Nullen und eine 1

das ist also ziemlich nah an 0.

Oder wenn dies das exakte Ergebnis ist, wenn

du einen unendlichen Grad an Präzision hättest oder vielleicht, wenn

du das in Wurzelform behalten würdest, würdest du als Ergebnis tatsächlich 0 erhalten.

du das in Wurzelform behalten würdest, würdest du als Ergebnis tatsächlich 0 erhalten.

Ich hoffe du fandest das hilfreich, diese ganze Idee der

Quadratvervollständigung

Nun werden wir es auf die eigentliche quadratische Formel erweitern,

die wir benutzen können, in die wir einfach Zahlen hereinstopfen können,

um jede quadratische Gleichung zu lösen.