Evaluating with function notation | Functions and their graphs | Algebra II | Khan Academy

.

I den her video skal vi lave

nogle øvelser med funktioner.

Det er noget, mange har lidt problemer med,

men hvis man forstår konceptet bag funktioner,

er det ikke

så svært.

Måske undrer man siger over,

hvad en funktion i grunden er.

I virkeligheden

er det en sammenhæng mellem 2 variable.

Vi siger, at y er lig med en funktion af x.

Det betyder, at hvis vi har en funktion,

kan vi putte et x ind i funktionen.

Funktionen er i virkeligheden et sæt regler, der fortæller,

hvad der skal ske med det x.

Funktionen kommer ud med et y,

der hænger sammen med det x, vi puttede ind i den.

Man kan forestille den som en

form for kasse.

Det her er en funktion.

Når vi giver den et tal x,

får vi et tal y tilbage.

Det her lyder måske lidt abstrakt.

Vi ved jo intet om, hvad de her x'er og y'er er lig endnu.

Vi bliver nødt til at kende funktionens definition, før vi rigtig kan bruge det her.

Lad os sige, at vi har

følgende funktionsdefinition.

I den her funktion vil vi få 1,

hvis x er lig med 0.

Vi vil få 2, hvis x er lig med 1,

og vi vil få 3

i alle andre tilfælde.

Nu har vi defineret, hvad der sker inde i kassen.

Lad os tegne en kasse rundt om det.

Det her er vores kasse.

Det her er en helt tilfældig definition af en funktion.

Forhåbentlig hjælper den med at forstå præcis,

hvad en funktion er.

Lad os nu sige, at x er lig med 7.

x er lig med 7.

Hvad er f af 7 lig med?

Vi putter 7 ind i vores kasse.

Man kan se på funktionen som en form for computer.

Computeren kigger på x og på de regler, der findes.

Den siger: Okay, x er 7.

x er ikke 0, og x er ikke 1.

Vi har altså situationen med alle andre tal.

Output-værdien er derfor 3.

f af 7 er altså lig med 3.

Vi skriver, at f af 7 er lig med 3.

f er navnet på funktionen eller det her system af regler

eller sammenhænge,

eller hvad man nu vil kalde det.

Når vi giver funktionen et 7-tal, får vi altså et 3-tal tilbage.

Funktionen producerer et 3-tal, når vi giver den et 7-tal at arbejde med.

Hvad er så f af 2?

Nu er x ikke længere 7.

Nu er x lig med 2.

Nu kigger funktionen derfor i stedet på 2,

og den kommer frem til,

at vi stadig er i situationen med alle andre tal.

x er ikke 0 eller 1.

Igen er f af x, når x er lig med 2,

altså lig med 3.

f af 2 er lig med 3.

Hvad sker der, hvis x er lig med 1?

Nu har vi altså

f af 1.

Funktionen kigger så på reglerne igen.

Den vil se, at x er lig med 1.

Den kan derfor bruge den her regel.

Når x er lig med 1, spytter funktionen værdien 2 ud.

f af 1 er altså lig med 2.

.

Det her er i virkeligheden det, en funktion er.

Lad os nu se på nogle af de her øvelsesopgaver.

Vi får at vide,

at vi for hver af de her funktioner

skal udregne funktionsværdien

med de opgivne x-værdier.

Lad os starte med a.

De har defineret en kasse eller en funktion for os. f af x er lig med minus 2x plus 3.

Vi skal finde ud af, hvad f af minus 3 er.

Hvad skal vi gøre med x,

når vi skal finde f af minus 3?

Hvordan skal vi vide, hvad funktionen skal producere?

Hver gang der står et x, skal vi skrive minus 3 i stedet.

.

Vi bruger lige en anden farve.

Vi har altså minus 2

gange minus 3 plus 3.

Vi har skrevet minus 3 på x's plads.

Nu ved vi, hvad der sker i funktionen.

Vi har minus 2 gange minus 3.

Det giver 6. 6 plus 3 er lig med 9.

f af minus 3 er altså lig med 9.

Hvad med f af 7?

Vi gør det samme nu.

Lad os bruge gul.

VI har minus 2 gange 7

plus 3.

Det er lig med minus 14 plus 3,

og det giver minus 11.

Når vi putter 7 ind i funktionen,

får vi altså 11 ud.

Det var det, vi blev bedt om at gøre.

Det her er reglen.

Det er præcis det samme, vi gjorde heroppe.

Det her er funktionens regel.

Lad os lave de næste 2.

Vi laver ikke b.

Den kan man eventuelt selv lave for sjov.

.

Nu skal vi finde f af 0.

Vi skal igen bruge samme metode.

Hver gang vi ser et x,

skal vi skrive 0.

Vi har altså minus 2 gange 0

plus 3.

Minus 2 gange 0 er 0,

så f af 0 er lig med 3.

Til sidst skal vi gange f af z.

Det er lidt mere abstrakt.

.

Vi har f af z.

Lad os skrive z med en anden farve.

f af z.

Hver gang vi ser et x,

skal vi altså nu skrive z.

Vi har stadig minus 2.

I stedet for x her,

skriver vi z.

Vi har altså minus 2 gange z plus 3.

Det er vores svar. f af z er minus 2z plus 3.

Hvis vi putter z ind i vores kasse for funktionen f,

vil vi altså få minus 2

gange det z plus 3.

Det er alt, vi skal gøre her.

Det er lidt mere abstrakt, men det er præcis det samme, som hvis det var et tal.

Lad os nu lave c.

Lad os lige slette lidt her.

Der er snart ikke mere plads.

Vi bliver nødt til at have lidt mere plads,

så vi kan lave resten.

Lad os lave c.

Vi springer b over.

b kan man selv lave.

.

Det er altså øvelse c,

vi laver nu.

Det her er vores funktionsforskrift.

f af x er lig med 5 gange 2 minus x over 11.

Lad os nu udregne det

med forskellige x-værdier.

Vi sætter minus 3 ind på x's plads, og vi får

5 gange 2 minus minus 3 over 11.

2 minus minus 3 over 11.

Det her er lig med 2 plus 3.

Det giver 5.

Vi har altså 5 gange 5 over 11.

Det er lig med 25 over 11.

Lad os løse den her.

f af 7.

Vi sætter nu 7 ind på x's plads.

Vi får nu, at f af 7 er lig med 5 gange 2 minus 7 over 11.

.

Hvad er det lig med?

2 minus 7 er minus 5.

5 gange minus 5 er minus 25. Resultatet er derfor minus 25 over 11.

Der er 2 mere. f af 0.

Det er lig med 5 gange 2 minus 0. Det her er altså 2.

5 gange 2 er 10.

Det er altså lig med 10 over 11.

1 til.

f af z.

Hver gang der står x,

erstatter vi det med z.

Det er lig med 5 gange 2 minus z over 11.

Det er vores svar.

Vi kan faktisk gange 5 ind i parentesen.

Det er det samme som 10 minus 5z over 11.

Vi kan også skrive det på hældnings-skæringspunktsform.

Det er det samme som 5 over 11 z plus 10 over 11.

De her er alle det samme.

Det er det, f af z er lig med.

Lad os tænke lidt mere generelt over funktioner.

Vi sagde, at en funktion giver os en output-værdi,

når vi putter et x ind i den.

Den giver os en funktionsværdi.

Det her er vores funktion,

og den vil producere en værdi for f af x.

Den kan dog kun producere 1 f af x eller 1 funktionsværdi for hvert x.

Man kan ikke have en funktion,

der kan producere mere end 1 funktionsværdi for hvert x.

Det ville ikke være en funktion,

hvis funktionsværdien både kan være

3 og 4,

når x er lig med 0.

I den situation ved vi nemlig ikke med sikkerhed,

hvad f af 0 er lig med.

Vi ved simpelthen ikke,

om funktionsværdien

er 3,

eller om den er 4.

Det er altså ikke en funktion,

selvom den godt kan ligne en funktion lidt.

.

Man kan ikke have 2 funktionsværdier for 1 x-værdi.

Lad os se på, hvilke af de her grafer, der er en funktion.

Vi kan finde ud af det

ved at se på,

om der er nogle x-værdier,

der hænger sammen med

mere end 1 y-værdi.

Vi kan lave en lodret-linje-test.

Hvis vi tegner en lodret linje

ved en given x-værdi,

kan vi se, at der kun er 1 y-værdi, der hænger sammen med den.

Det her er altså en funktion.

Vi skærer kun grafen 1 gang,

når vi tegner en lodret linje.

Det her er altså en funktion.

Hvad med den her?

Vi kan tegne en lodret linje

lige her.

Det ser ud som om,

at der til det x er 2 mulige værdier for y.

f af x kan være det her, eller det kan være det her.

.

Vi skærer altså grafen 2 gange.

Det er derfor ikke en funktion.

.

For et givent x

kan der altså være 2 y-værdier her.

Det her er altså ikke en funktion.

Her er det det samme.

Vi kan tegne en lodret linje her.

Vi skærer grafen 2 gange.

Det her er ikke en funktion.

Der er 2 y-værdier til 1 x-værdi.

Lad os nu se på den her funktion.

Den funktion ser underlig ud.

Den ligner et omvendt godkendt-tegn.

Hvis vi tegner en lodret linje,

vil vi dog aldrig skære funktionen mere end 1 gang.

Det er derfor en funktion.

Der findes kun 1 y-værdi

til hver x-værdi.

Forhåbentlig var det her brugbart.