WEBVTT 00:00:00.000 --> 00:00:01.000 . 00:00:00.000 --> 00:00:02.460 I den her video skal vi lave 00:00:02.460 --> 00:00:03.800 nogle øvelser med funktioner. 00:00:03.800 --> 00:00:06.570 Det er noget, mange har lidt problemer med, 00:00:06.570 --> 00:00:09.230 men hvis man forstår konceptet bag funktioner, 00:00:09.230 --> 00:00:11.070 er det ikke 00:00:11.070 --> 00:00:12.240 så svært. 00:00:12.240 --> 00:00:13.710 Måske undrer man siger over, 00:00:13.710 --> 00:00:14.880 hvad en funktion i grunden er. 00:00:14.880 --> 00:00:16.720 I virkeligheden 00:00:16.720 --> 00:00:19.830 er det en sammenhæng mellem 2 variable. 00:00:19.830 --> 00:00:25.540 Vi siger, at y er lig med en funktion af x. 00:00:25.540 --> 00:00:28.260 Det betyder, at hvis vi har en funktion, 00:00:28.260 --> 00:00:31.660 kan vi putte et x ind i funktionen. 00:00:31.660 --> 00:00:34.190 Funktionen er i virkeligheden et sæt regler, der fortæller, 00:00:34.190 --> 00:00:36.480 hvad der skal ske med det x. 00:00:36.480 --> 00:00:39.150 Funktionen kommer ud med et y, 00:00:39.150 --> 00:00:41.230 der hænger sammen med det x, vi puttede ind i den. 00:00:41.230 --> 00:00:42.945 Man kan forestille den som en 00:00:42.945 --> 00:00:45.900 form for kasse. 00:00:45.900 --> 00:00:47.990 Det her er en funktion. 00:00:47.990 --> 00:00:53.830 Når vi giver den et tal x, 00:00:53.830 --> 00:00:56.990 får vi et tal y tilbage. 00:00:56.990 --> 00:00:58.160 Det her lyder måske lidt abstrakt. 00:00:58.160 --> 00:00:59.360 Vi ved jo intet om, hvad de her x'er og y'er er lig endnu. 00:00:59.360 --> 00:01:02.830 Vi bliver nødt til at kende funktionens definition, før vi rigtig kan bruge det her. 00:01:02.830 --> 00:01:04.190 Lad os sige, at vi har 00:01:04.190 --> 00:01:05.720 følgende funktionsdefinition. 00:01:05.720 --> 00:01:11.770 I den her funktion vil vi få 1, 00:01:11.770 --> 00:01:14.440 hvis x er lig med 0. 00:01:14.440 --> 00:01:18.730 Vi vil få 2, hvis x er lig med 1, 00:01:18.730 --> 00:01:21.320 og vi vil få 3 00:01:21.320 --> 00:01:24.790 i alle andre tilfælde. 00:01:24.790 --> 00:01:28.720 Nu har vi defineret, hvad der sker inde i kassen. 00:01:28.720 --> 00:01:31.630 Lad os tegne en kasse rundt om det. 00:01:31.630 --> 00:01:33.650 Det her er vores kasse. 00:01:33.650 --> 00:01:35.940 Det her er en helt tilfældig definition af en funktion. 00:01:35.940 --> 00:01:37.760 Forhåbentlig hjælper den med at forstå præcis, 00:01:37.760 --> 00:01:40.070 hvad en funktion er. 00:01:40.070 --> 00:01:47.500 Lad os nu sige, at x er lig med 7. 00:01:47.500 --> 00:01:52.480 x er lig med 7. 00:01:52.480 --> 00:01:56.400 Hvad er f af 7 lig med? 00:01:56.400 --> 00:01:58.020 Vi putter 7 ind i vores kasse. 00:01:58.020 --> 00:01:59.700 Man kan se på funktionen som en form for computer. 00:01:59.700 --> 00:02:02.770 Computeren kigger på x og på de regler, der findes. 00:02:02.770 --> 00:02:04.060 Den siger: Okay, x er 7. 00:02:04.060 --> 00:02:06.270 x er ikke 0, og x er ikke 1. 00:02:06.270 --> 00:02:08.229 Vi har altså situationen med alle andre tal. 00:02:08.229 --> 00:02:10.100 Output-værdien er derfor 3. 00:02:10.100 --> 00:02:12.040 f af 7 er altså lig med 3. 00:02:12.040 --> 00:02:15.320 Vi skriver, at f af 7 er lig med 3. 00:02:15.320 --> 00:02:18.760 f er navnet på funktionen eller det her system af regler 00:02:18.760 --> 00:02:21.310 eller sammenhænge, 00:02:21.310 --> 00:02:22.190 eller hvad man nu vil kalde det. 00:02:22.190 --> 00:02:24.350 Når vi giver funktionen et 7-tal, får vi altså et 3-tal tilbage. 00:02:24.350 --> 00:02:27.460 Funktionen producerer et 3-tal, når vi giver den et 7-tal at arbejde med. 00:02:27.460 --> 00:02:31.240 Hvad er så f af 2? 00:02:31.240 --> 00:02:34.690 Nu er x ikke længere 7. 00:02:34.690 --> 00:02:36.420 Nu er x lig med 2. 00:02:36.420 --> 00:02:38.550 Nu kigger funktionen derfor i stedet på 2, 00:02:38.550 --> 00:02:42.550 og den kommer frem til, 00:02:42.550 --> 00:02:44.410 at vi stadig er i situationen med alle andre tal. 00:02:44.410 --> 00:02:45.910 x er ikke 0 eller 1. 00:02:45.910 --> 00:02:50.800 Igen er f af x, når x er lig med 2, 00:02:50.800 --> 00:02:53.470 altså lig med 3. 00:02:53.470 --> 00:02:56.970 f af 2 er lig med 3. 00:02:56.970 --> 00:03:03.200 Hvad sker der, hvis x er lig med 1? 00:03:03.200 --> 00:03:05.100 Nu har vi altså 00:03:05.100 --> 00:03:07.990 f af 1. 00:03:07.990 --> 00:03:10.080 Funktionen kigger så på reglerne igen. 00:03:10.080 --> 00:03:11.620 Den vil se, at x er lig med 1. 00:03:11.620 --> 00:03:13.350 Den kan derfor bruge den her regel. 00:03:13.350 --> 00:03:15.520 Når x er lig med 1, spytter funktionen værdien 2 ud. 00:03:15.520 --> 00:03:18.750 f af 1 er altså lig med 2. 00:03:18.750 --> 00:03:22.290 . 00:03:22.290 --> 00:03:24.420 Det her er i virkeligheden det, en funktion er. 00:03:24.420 --> 00:03:29.120 Lad os nu se på nogle af de her øvelsesopgaver. 00:03:29.120 --> 00:03:31.620 Vi får at vide, 00:03:31.620 --> 00:03:35.010 at vi for hver af de her funktioner 00:03:35.010 --> 00:03:37.570 skal udregne funktionsværdien 00:03:37.570 --> 00:03:39.070 med de opgivne x-værdier. 00:03:39.070 --> 00:03:42.800 Lad os starte med a. 00:03:42.800 --> 00:03:47.880 De har defineret en kasse eller en funktion for os. f af x er lig med minus 2x plus 3. 00:03:47.880 --> 00:03:51.790 Vi skal finde ud af, hvad f af minus 3 er. 00:03:51.790 --> 00:03:54.300 Hvad skal vi gøre med x, 00:03:54.300 --> 00:03:55.430 når vi skal finde f af minus 3? 00:03:55.430 --> 00:03:57.110 Hvordan skal vi vide, hvad funktionen skal producere? 00:03:57.110 --> 00:04:00.060 Hver gang der står et x, skal vi skrive minus 3 i stedet. 00:04:00.060 --> 00:04:02.060 . 00:04:02.060 --> 00:04:04.780 Vi bruger lige en anden farve. 00:04:04.780 --> 00:04:06.520 Vi har altså minus 2 00:04:06.520 --> 00:04:13.130 gange minus 3 plus 3. 00:04:13.130 --> 00:04:16.149 Vi har skrevet minus 3 på x's plads. 00:04:16.149 --> 00:04:19.250 Nu ved vi, hvad der sker i funktionen. 00:04:19.250 --> 00:04:21.600 Vi har minus 2 gange minus 3. 00:04:21.600 --> 00:04:25.640 Det giver 6. 6 plus 3 er lig med 9. 00:04:25.640 --> 00:04:29.470 f af minus 3 er altså lig med 9. 00:04:29.470 --> 00:04:32.130 Hvad med f af 7? 00:04:32.130 --> 00:04:36.340 Vi gør det samme nu. 00:04:36.340 --> 00:04:43.120 Lad os bruge gul. 00:04:43.120 --> 00:04:47.650 VI har minus 2 gange 7 00:04:47.650 --> 00:04:50.480 plus 3. 00:04:50.480 --> 00:04:55.140 Det er lig med minus 14 plus 3, 00:04:55.140 --> 00:04:57.260 og det giver minus 11. 00:04:57.260 --> 00:05:03.940 Når vi putter 7 ind i funktionen, 00:05:03.940 --> 00:05:11.060 får vi altså 11 ud. 00:05:11.060 --> 00:05:13.310 Det var det, vi blev bedt om at gøre. 00:05:13.310 --> 00:05:14.760 Det her er reglen. 00:05:14.760 --> 00:05:18.470 Det er præcis det samme, vi gjorde heroppe. 00:05:18.470 --> 00:05:20.980 Det her er funktionens regel. 00:05:20.980 --> 00:05:24.430 Lad os lave de næste 2. 00:05:24.430 --> 00:05:25.200 Vi laver ikke b. 00:05:25.200 --> 00:05:26.330 Den kan man eventuelt selv lave for sjov. 00:05:26.330 --> 00:05:29.650 . 00:05:29.650 --> 00:05:32.540 Nu skal vi finde f af 0. 00:05:32.540 --> 00:05:33.810 Vi skal igen bruge samme metode. 00:05:33.810 --> 00:05:35.300 Hver gang vi ser et x, 00:05:35.300 --> 00:05:37.500 skal vi skrive 0. 00:05:37.500 --> 00:05:40.005 Vi har altså minus 2 gange 0 00:05:40.005 --> 00:05:43.100 plus 3. 00:05:43.100 --> 00:05:44.345 Minus 2 gange 0 er 0, 00:05:44.345 --> 00:05:47.300 så f af 0 er lig med 3. 00:05:47.300 --> 00:05:49.000 Til sidst skal vi gange f af z. 00:05:49.000 --> 00:05:51.720 Det er lidt mere abstrakt. 00:05:51.720 --> 00:05:52.780 . 00:05:52.780 --> 00:05:55.800 Vi har f af z. 00:05:55.800 --> 00:05:59.150 Lad os skrive z med en anden farve. 00:05:59.150 --> 00:06:00.900 f af z. 00:06:00.900 --> 00:06:06.210 Hver gang vi ser et x, 00:06:06.210 --> 00:06:07.750 skal vi altså nu skrive z. 00:06:07.750 --> 00:06:09.240 Vi har stadig minus 2. 00:06:09.240 --> 00:06:12.040 I stedet for x her, 00:06:12.040 --> 00:06:13.860 skriver vi z. 00:06:13.860 --> 00:06:19.760 Vi har altså minus 2 gange z plus 3. 00:06:19.760 --> 00:06:24.330 Det er vores svar. f af z er minus 2z plus 3. 00:06:24.330 --> 00:06:28.110 Hvis vi putter z ind i vores kasse for funktionen f, 00:06:28.110 --> 00:06:38.130 vil vi altså få minus 2 00:06:38.130 --> 00:06:43.480 gange det z plus 3. 00:06:43.480 --> 00:06:44.520 Det er alt, vi skal gøre her. 00:06:44.520 --> 00:06:47.830 Det er lidt mere abstrakt, men det er præcis det samme, som hvis det var et tal. 00:06:47.830 --> 00:06:52.030 Lad os nu lave c. 00:06:52.030 --> 00:06:53.330 Lad os lige slette lidt her. 00:06:53.330 --> 00:06:55.820 Der er snart ikke mere plads. 00:06:55.820 --> 00:06:59.102 Vi bliver nødt til at have lidt mere plads, 00:06:59.102 --> 00:07:02.910 så vi kan lave resten. 00:07:02.910 --> 00:07:03.810 Lad os lave c. 00:07:03.810 --> 00:07:05.370 Vi springer b over. 00:07:05.370 --> 00:07:07.710 b kan man selv lave. 00:07:07.710 --> 00:07:10.830 . 00:07:10.830 --> 00:07:13.430 Det er altså øvelse c, 00:07:13.430 --> 00:07:16.680 vi laver nu. 00:07:16.680 --> 00:07:18.610 Det her er vores funktionsforskrift. 00:07:18.610 --> 00:07:26.300 f af x er lig med 5 gange 2 minus x over 11. 00:07:26.300 --> 00:07:29.440 Lad os nu udregne det 00:07:29.440 --> 00:07:32.620 med forskellige x-værdier. 00:07:32.620 --> 00:07:39.900 Vi sætter minus 3 ind på x's plads, og vi får 00:07:39.900 --> 00:07:42.250 5 gange 2 minus minus 3 over 11. 00:07:42.250 --> 00:07:45.620 2 minus minus 3 over 11. 00:07:45.620 --> 00:07:48.700 Det her er lig med 2 plus 3. 00:07:48.700 --> 00:07:50.870 Det giver 5. 00:07:50.870 --> 00:07:53.260 Vi har altså 5 gange 5 over 11. 00:07:53.260 --> 00:07:57.120 Det er lig med 25 over 11. 00:07:57.120 --> 00:07:57.850 Lad os løse den her. 00:07:57.850 --> 00:07:59.990 f af 7. 00:07:59.990 --> 00:08:06.680 Vi sætter nu 7 ind på x's plads. 00:08:06.680 --> 00:08:11.160 Vi får nu, at f af 7 er lig med 5 gange 2 minus 7 over 11. 00:08:11.160 --> 00:08:14.360 . 00:08:14.360 --> 00:08:15.540 Hvad er det lig med? 00:08:15.540 --> 00:08:18.250 2 minus 7 er minus 5. 00:08:18.250 --> 00:08:23.780 5 gange minus 5 er minus 25. Resultatet er derfor minus 25 over 11. 00:08:23.780 --> 00:08:27.410 Der er 2 mere. f af 0. 00:08:27.410 --> 00:08:35.000 Det er lig med 5 gange 2 minus 0. Det her er altså 2. 00:08:35.000 --> 00:08:36.130 5 gange 2 er 10. 00:08:36.130 --> 00:08:38.850 Det er altså lig med 10 over 11. 00:08:38.850 --> 00:08:39.840 1 til. 00:08:39.840 --> 00:08:42.059 f af z. 00:08:42.059 --> 00:08:43.299 Hver gang der står x, 00:08:43.299 --> 00:08:44.490 erstatter vi det med z. 00:08:44.490 --> 00:08:49.960 Det er lig med 5 gange 2 minus z over 11. 00:08:49.960 --> 00:08:50.630 Det er vores svar. 00:08:50.630 --> 00:08:51.910 Vi kan faktisk gange 5 ind i parentesen. 00:08:51.910 --> 00:08:57.210 Det er det samme som 10 minus 5z over 11. 00:08:57.210 --> 00:09:00.260 Vi kan også skrive det på hældnings-skæringspunktsform. 00:09:00.260 --> 00:09:06.000 Det er det samme som 5 over 11 z plus 10 over 11. 00:09:06.000 --> 00:09:06.990 De her er alle det samme. 00:09:06.990 --> 00:09:10.430 Det er det, f af z er lig med. 00:09:10.430 --> 00:09:11.590 Lad os tænke lidt mere generelt over funktioner. 00:09:11.590 --> 00:09:15.510 Vi sagde, at en funktion giver os en output-værdi, 00:09:15.510 --> 00:09:16.470 når vi putter et x ind i den. 00:09:16.470 --> 00:09:19.120 Den giver os en funktionsværdi. 00:09:19.120 --> 00:09:23.040 Det her er vores funktion, 00:09:23.040 --> 00:09:26.550 og den vil producere en værdi for f af x. 00:09:26.550 --> 00:09:29.680 Den kan dog kun producere 1 f af x eller 1 funktionsværdi for hvert x. 00:09:29.680 --> 00:09:32.840 Man kan ikke have en funktion, 00:09:32.840 --> 00:09:34.700 der kan producere mere end 1 funktionsværdi for hvert x. 00:09:34.700 --> 00:09:37.540 Det ville ikke være en funktion, 00:09:37.540 --> 00:09:42.790 hvis funktionsværdien både kan være 00:09:42.790 --> 00:09:45.230 3 og 4, 00:09:45.230 --> 00:09:49.240 når x er lig med 0. 00:09:49.240 --> 00:09:53.170 I den situation ved vi nemlig ikke med sikkerhed, 00:09:53.170 --> 00:09:54.090 hvad f af 0 er lig med. 00:09:54.090 --> 00:09:56.330 Vi ved simpelthen ikke, 00:09:56.330 --> 00:09:57.310 om funktionsværdien 00:09:57.310 --> 00:09:57.830 er 3, 00:09:57.830 --> 00:09:58.190 eller om den er 4. 00:09:58.190 --> 00:10:01.550 Det er altså ikke en funktion, 00:10:01.550 --> 00:10:02.800 selvom den godt kan ligne en funktion lidt. 00:10:02.800 --> 00:10:07.700 . 00:10:07.700 --> 00:10:12.250 Man kan ikke have 2 funktionsværdier for 1 x-værdi. 00:10:12.250 --> 00:10:16.020 Lad os se på, hvilke af de her grafer, der er en funktion. 00:10:16.020 --> 00:10:18.390 Vi kan finde ud af det 00:10:18.390 --> 00:10:21.850 ved at se på, 00:10:21.850 --> 00:10:25.090 om der er nogle x-værdier, 00:10:25.090 --> 00:10:28.950 der hænger sammen med 00:10:28.950 --> 00:10:30.550 mere end 1 y-værdi. 00:10:30.550 --> 00:10:32.970 Vi kan lave en lodret-linje-test. 00:10:32.970 --> 00:10:35.720 Hvis vi tegner en lodret linje 00:10:35.720 --> 00:10:37.570 ved en given x-værdi, 00:10:37.570 --> 00:10:41.920 kan vi se, at der kun er 1 y-værdi, der hænger sammen med den. 00:10:41.920 --> 00:10:43.630 Det her er altså en funktion. 00:10:43.630 --> 00:10:46.240 Vi skærer kun grafen 1 gang, 00:10:46.240 --> 00:10:47.610 når vi tegner en lodret linje. 00:10:47.610 --> 00:10:50.410 Det her er altså en funktion. 00:10:50.410 --> 00:10:52.220 Hvad med den her? 00:10:52.220 --> 00:10:53.960 Vi kan tegne en lodret linje 00:10:53.960 --> 00:10:55.230 lige her. 00:10:55.230 --> 00:10:58.650 Det ser ud som om, 00:10:58.650 --> 00:11:00.860 at der til det x er 2 mulige værdier for y. 00:11:00.860 --> 00:11:04.550 f af x kan være det her, eller det kan være det her. 00:11:04.550 --> 00:11:05.270 . 00:11:05.270 --> 00:11:07.520 Vi skærer altså grafen 2 gange. 00:11:07.520 --> 00:11:08.840 Det er derfor ikke en funktion. 00:11:08.840 --> 00:11:11.150 . 00:11:11.150 --> 00:11:15.090 For et givent x 00:11:15.090 --> 00:11:16.800 kan der altså være 2 y-værdier her. 00:11:16.800 --> 00:11:19.220 Det her er altså ikke en funktion. 00:11:19.220 --> 00:11:20.830 Her er det det samme. 00:11:20.830 --> 00:11:22.310 Vi kan tegne en lodret linje her. 00:11:22.310 --> 00:11:24.540 Vi skærer grafen 2 gange. 00:11:24.540 --> 00:11:26.000 Det her er ikke en funktion. 00:11:26.000 --> 00:11:30.590 Der er 2 y-værdier til 1 x-værdi. 00:11:30.590 --> 00:11:31.490 Lad os nu se på den her funktion. 00:11:31.490 --> 00:11:33.160 Den funktion ser underlig ud. 00:11:33.160 --> 00:11:34.750 Den ligner et omvendt godkendt-tegn. 00:11:34.750 --> 00:11:37.020 Hvis vi tegner en lodret linje, 00:11:37.020 --> 00:11:38.720 vil vi dog aldrig skære funktionen mere end 1 gang. 00:11:38.720 --> 00:11:40.420 Det er derfor en funktion. 00:11:40.420 --> 00:11:43.470 Der findes kun 1 y-værdi 00:11:43.470 --> 00:11:46.450 til hver x-værdi. 00:11:46.450 --> 00:11:48.960 Forhåbentlig var det her brugbart.