0:00:00.000,0:00:01.000
.

0:00:00.000,0:00:02.460
I den her video skal vi lave

0:00:02.460,0:00:03.800
nogle øvelser med funktioner.

0:00:03.800,0:00:06.570
Det er noget, mange har lidt problemer med,

0:00:06.570,0:00:09.230
men hvis man forstår konceptet bag funktioner,

0:00:09.230,0:00:11.070
er det ikke

0:00:11.070,0:00:12.240
så svært.

0:00:12.240,0:00:13.710
Måske undrer man siger over,

0:00:13.710,0:00:14.880
hvad en funktion i grunden er.

0:00:14.880,0:00:16.720
I virkeligheden

0:00:16.720,0:00:19.830
er det en sammenhæng mellem 2 variable.

0:00:19.830,0:00:25.540
Vi siger, at y er lig med en funktion af x.

0:00:25.540,0:00:28.260
Det betyder, at hvis vi har en funktion,

0:00:28.260,0:00:31.660
kan vi putte et x ind i funktionen.

0:00:31.660,0:00:34.190
Funktionen er i virkeligheden et sæt regler, der fortæller,

0:00:34.190,0:00:36.480
hvad der skal ske med det x.

0:00:36.480,0:00:39.150
Funktionen kommer ud med et y,

0:00:39.150,0:00:41.230
der hænger sammen med det x, vi puttede ind i den.

0:00:41.230,0:00:42.945
Man kan forestille den som en

0:00:42.945,0:00:45.900
form for kasse.

0:00:45.900,0:00:47.990
Det her er en funktion.

0:00:47.990,0:00:53.830
Når vi giver den et tal x,

0:00:53.830,0:00:56.990
får vi et tal y tilbage.

0:00:56.990,0:00:58.160
Det her lyder måske lidt abstrakt.

0:00:58.160,0:00:59.360
Vi ved jo intet om, hvad de her x'er og y'er er lig endnu.

0:00:59.360,0:01:02.830
Vi bliver nødt til at kende funktionens definition, før vi rigtig kan bruge det her.

0:01:02.830,0:01:04.190
Lad os sige, at vi har

0:01:04.190,0:01:05.720
følgende funktionsdefinition.

0:01:05.720,0:01:11.770
I den her funktion vil vi få 1,

0:01:11.770,0:01:14.440
hvis x er lig med 0.

0:01:14.440,0:01:18.730
Vi vil få 2, hvis x er lig med 1,

0:01:18.730,0:01:21.320
og vi vil få 3

0:01:21.320,0:01:24.790
i alle andre tilfælde.

0:01:24.790,0:01:28.720
Nu har vi defineret, hvad der sker inde i kassen.

0:01:28.720,0:01:31.630
Lad os tegne en kasse rundt om det.

0:01:31.630,0:01:33.650
Det her er vores kasse.

0:01:33.650,0:01:35.940
Det her er en helt tilfældig definition af en funktion.

0:01:35.940,0:01:37.760
Forhåbentlig hjælper den med at forstå præcis,

0:01:37.760,0:01:40.070
hvad en funktion er.

0:01:40.070,0:01:47.500
Lad os nu sige, at x er lig med 7.

0:01:47.500,0:01:52.480
x er lig med 7.

0:01:52.480,0:01:56.400
Hvad er f af 7 lig med?

0:01:56.400,0:01:58.020
Vi putter 7 ind i vores kasse.

0:01:58.020,0:01:59.700
Man kan se på funktionen som en form for computer.

0:01:59.700,0:02:02.770
Computeren kigger på x og på de regler, der findes.

0:02:02.770,0:02:04.060
Den siger: Okay, x er 7.

0:02:04.060,0:02:06.270
x er ikke 0, og x er ikke 1.

0:02:06.270,0:02:08.229
Vi har altså situationen med alle andre tal.

0:02:08.229,0:02:10.100
Output-værdien er derfor 3.

0:02:10.100,0:02:12.040
f af 7 er altså lig med 3.

0:02:12.040,0:02:15.320
Vi skriver, at f af 7 er lig med 3.

0:02:15.320,0:02:18.760
f er navnet på funktionen eller det her system af regler

0:02:18.760,0:02:21.310
eller sammenhænge,

0:02:21.310,0:02:22.190
eller hvad man nu vil kalde det.

0:02:22.190,0:02:24.350
Når vi giver funktionen et 7-tal, får vi altså et 3-tal tilbage.

0:02:24.350,0:02:27.460
Funktionen producerer et 3-tal, når vi giver den et 7-tal at arbejde med.

0:02:27.460,0:02:31.240
Hvad er så f af 2?

0:02:31.240,0:02:34.690
Nu er x ikke længere 7.

0:02:34.690,0:02:36.420
Nu er x lig med 2.

0:02:36.420,0:02:38.550
Nu kigger funktionen derfor i stedet på 2,

0:02:38.550,0:02:42.550
og den kommer frem til,

0:02:42.550,0:02:44.410
at vi stadig er i situationen med alle andre tal.

0:02:44.410,0:02:45.910
x er ikke 0 eller 1.

0:02:45.910,0:02:50.800
Igen er f af x, når x er lig med 2,

0:02:50.800,0:02:53.470
altså lig med 3.

0:02:53.470,0:02:56.970
f af 2 er lig med 3.

0:02:56.970,0:03:03.200
Hvad sker der, hvis x er lig med 1?

0:03:03.200,0:03:05.100
Nu har vi altså

0:03:05.100,0:03:07.990
f af 1.

0:03:07.990,0:03:10.080
Funktionen kigger så på reglerne igen.

0:03:10.080,0:03:11.620
Den vil se, at x er lig med 1.

0:03:11.620,0:03:13.350
Den kan derfor bruge den her regel.

0:03:13.350,0:03:15.520
Når x er lig med 1, spytter funktionen værdien 2 ud.

0:03:15.520,0:03:18.750
f af 1 er altså lig med 2.

0:03:18.750,0:03:22.290
.

0:03:22.290,0:03:24.420
Det her er i virkeligheden det, en funktion er.

0:03:24.420,0:03:29.120
Lad os nu se på nogle af de her øvelsesopgaver.

0:03:29.120,0:03:31.620
Vi får at vide,

0:03:31.620,0:03:35.010
at vi for hver af de her funktioner

0:03:35.010,0:03:37.570
skal udregne funktionsværdien

0:03:37.570,0:03:39.070
med de opgivne x-værdier.

0:03:39.070,0:03:42.800
Lad os starte med a.

0:03:42.800,0:03:47.880
De har defineret en kasse eller en funktion for os. f af x er lig med minus 2x plus 3.

0:03:47.880,0:03:51.790
Vi skal finde ud af, hvad f af minus 3 er.

0:03:51.790,0:03:54.300
Hvad skal vi gøre med x,

0:03:54.300,0:03:55.430
når vi skal finde f af minus 3?

0:03:55.430,0:03:57.110
Hvordan skal vi vide, hvad funktionen skal producere?

0:03:57.110,0:04:00.060
Hver gang der står et x, skal vi skrive minus 3 i stedet.

0:04:00.060,0:04:02.060
.

0:04:02.060,0:04:04.780
Vi bruger lige en anden farve.

0:04:04.780,0:04:06.520
Vi har altså minus 2

0:04:06.520,0:04:13.130
gange minus 3 plus 3.

0:04:13.130,0:04:16.149
Vi har skrevet minus 3 på x's plads.

0:04:16.149,0:04:19.250
Nu ved vi, hvad der sker i funktionen.

0:04:19.250,0:04:21.600
Vi har minus 2 gange minus 3.

0:04:21.600,0:04:25.640
Det giver 6. 6 plus 3 er lig med 9.

0:04:25.640,0:04:29.470
f af minus 3 er altså lig med 9.

0:04:29.470,0:04:32.130
Hvad med f af 7?

0:04:32.130,0:04:36.340
Vi gør det samme nu.

0:04:36.340,0:04:43.120
Lad os bruge gul.

0:04:43.120,0:04:47.650
VI har minus 2 gange 7

0:04:47.650,0:04:50.480
plus 3.

0:04:50.480,0:04:55.140
Det er lig med minus 14 plus 3,

0:04:55.140,0:04:57.260
og det giver minus 11.

0:04:57.260,0:05:03.940
Når vi putter 7 ind i funktionen,

0:05:03.940,0:05:11.060
får vi altså 11 ud.

0:05:11.060,0:05:13.310
Det var det, vi blev bedt om at gøre.

0:05:13.310,0:05:14.760
Det her er reglen.

0:05:14.760,0:05:18.470
Det er præcis det samme, vi gjorde heroppe.

0:05:18.470,0:05:20.980
Det her er funktionens regel.

0:05:20.980,0:05:24.430
Lad os lave de næste 2.

0:05:24.430,0:05:25.200
Vi laver ikke b.

0:05:25.200,0:05:26.330
Den kan man eventuelt selv lave for sjov.

0:05:26.330,0:05:29.650
.

0:05:29.650,0:05:32.540
Nu skal vi finde f af 0.

0:05:32.540,0:05:33.810
Vi skal igen bruge samme metode.

0:05:33.810,0:05:35.300
Hver gang vi ser et x,

0:05:35.300,0:05:37.500
skal vi skrive 0.

0:05:37.500,0:05:40.005
Vi har altså minus 2 gange 0

0:05:40.005,0:05:43.100
plus 3.

0:05:43.100,0:05:44.345
Minus 2 gange 0 er 0,

0:05:44.345,0:05:47.300
så f af 0 er lig med 3.

0:05:47.300,0:05:49.000
Til sidst skal vi gange f af z.

0:05:49.000,0:05:51.720
Det er lidt mere abstrakt.

0:05:51.720,0:05:52.780
.

0:05:52.780,0:05:55.800
Vi har f af z.

0:05:55.800,0:05:59.150
Lad os skrive z med en anden farve.

0:05:59.150,0:06:00.900
f af z.

0:06:00.900,0:06:06.210
Hver gang vi ser et x,

0:06:06.210,0:06:07.750
skal vi altså nu skrive z.

0:06:07.750,0:06:09.240
Vi har stadig minus 2.

0:06:09.240,0:06:12.040
I stedet for x her,

0:06:12.040,0:06:13.860
skriver vi z.

0:06:13.860,0:06:19.760
Vi har altså minus 2 gange z plus 3.

0:06:19.760,0:06:24.330
Det er vores svar. f af z er minus 2z plus 3.

0:06:24.330,0:06:28.110
Hvis vi putter z ind i vores kasse for funktionen f,

0:06:28.110,0:06:38.130
vil vi altså få minus 2

0:06:38.130,0:06:43.480
gange det z plus 3.

0:06:43.480,0:06:44.520
Det er alt, vi skal gøre her.

0:06:44.520,0:06:47.830
Det er lidt mere abstrakt, men det er præcis det samme, som hvis det var et tal.

0:06:47.830,0:06:52.030
Lad os nu lave c.

0:06:52.030,0:06:53.330
Lad os lige slette lidt her.

0:06:53.330,0:06:55.820
Der er snart ikke mere plads.

0:06:55.820,0:06:59.102
Vi bliver nødt til at have lidt mere plads,

0:06:59.102,0:07:02.910
så vi kan lave resten.

0:07:02.910,0:07:03.810
Lad os lave c.

0:07:03.810,0:07:05.370
Vi springer b over.

0:07:05.370,0:07:07.710
b kan man selv lave.

0:07:07.710,0:07:10.830
.

0:07:10.830,0:07:13.430
Det er altså øvelse c,

0:07:13.430,0:07:16.680
vi laver nu.

0:07:16.680,0:07:18.610
Det her er vores funktionsforskrift.

0:07:18.610,0:07:26.300
f af x er lig med 5 gange 2 minus x over 11.

0:07:26.300,0:07:29.440
Lad os nu udregne det

0:07:29.440,0:07:32.620
med forskellige x-værdier.

0:07:32.620,0:07:39.900
Vi sætter minus 3 ind på x's plads, og vi får

0:07:39.900,0:07:42.250
5 gange 2 minus minus 3 over 11.

0:07:42.250,0:07:45.620
2 minus minus 3 over 11.

0:07:45.620,0:07:48.700
Det her er lig med 2 plus 3.

0:07:48.700,0:07:50.870
Det giver 5.

0:07:50.870,0:07:53.260
Vi har altså 5 gange 5 over 11.

0:07:53.260,0:07:57.120
Det er lig med 25 over 11.

0:07:57.120,0:07:57.850
Lad os løse den her.

0:07:57.850,0:07:59.990
f af 7.

0:07:59.990,0:08:06.680
Vi sætter nu 7 ind på x's plads.

0:08:06.680,0:08:11.160
Vi får nu, at f af 7 er lig med 5 gange 2 minus 7 over 11.

0:08:11.160,0:08:14.360
.

0:08:14.360,0:08:15.540
Hvad er det lig med?

0:08:15.540,0:08:18.250
2 minus 7 er minus 5.

0:08:18.250,0:08:23.780
5 gange minus 5 er minus 25. Resultatet er derfor minus 25 over 11.

0:08:23.780,0:08:27.410
Der er 2 mere. f af 0.

0:08:27.410,0:08:35.000
Det er lig med 5 gange 2 minus 0. Det her er altså 2.

0:08:35.000,0:08:36.130
5 gange 2 er 10.

0:08:36.130,0:08:38.850
Det er altså lig med 10 over 11.

0:08:38.850,0:08:39.840
1 til.

0:08:39.840,0:08:42.059
f af z.

0:08:42.059,0:08:43.299
Hver gang der står x,

0:08:43.299,0:08:44.490
erstatter vi det med z.

0:08:44.490,0:08:49.960
Det er lig med 5 gange 2 minus z over 11.

0:08:49.960,0:08:50.630
Det er vores svar.

0:08:50.630,0:08:51.910
Vi kan faktisk gange 5 ind i parentesen.

0:08:51.910,0:08:57.210
Det er det samme som 10 minus 5z over 11.

0:08:57.210,0:09:00.260
Vi kan også skrive det på hældnings-skæringspunktsform.

0:09:00.260,0:09:06.000
Det er det samme som 5 over 11 z plus 10 over 11.

0:09:06.000,0:09:06.990
De her er alle det samme.

0:09:06.990,0:09:10.430
Det er det, f af z er lig med.

0:09:10.430,0:09:11.590
Lad os tænke lidt mere generelt over funktioner.

0:09:11.590,0:09:15.510
Vi sagde, at en funktion giver os en output-værdi,

0:09:15.510,0:09:16.470
når vi putter et x ind i den.

0:09:16.470,0:09:19.120
Den giver os en funktionsværdi.

0:09:19.120,0:09:23.040
Det her er vores funktion,

0:09:23.040,0:09:26.550
og den vil producere en værdi for f af x.

0:09:26.550,0:09:29.680
Den kan dog kun producere 1 f af x eller 1 funktionsværdi for hvert x.

0:09:29.680,0:09:32.840
Man kan ikke have en funktion,

0:09:32.840,0:09:34.700
der kan producere mere end 1 funktionsværdi for hvert x.

0:09:34.700,0:09:37.540
Det ville ikke være en funktion,

0:09:37.540,0:09:42.790
hvis funktionsværdien både kan være

0:09:42.790,0:09:45.230
3 og 4,

0:09:45.230,0:09:49.240
når x er lig med 0.

0:09:49.240,0:09:53.170
I den situation ved vi nemlig ikke med sikkerhed,

0:09:53.170,0:09:54.090
hvad f af 0 er lig med.

0:09:54.090,0:09:56.330
Vi ved simpelthen ikke,

0:09:56.330,0:09:57.310
om funktionsværdien

0:09:57.310,0:09:57.830
er 3,

0:09:57.830,0:09:58.190
eller om den er 4.

0:09:58.190,0:10:01.550
Det er altså ikke en funktion,

0:10:01.550,0:10:02.800
selvom den godt kan ligne en funktion lidt.

0:10:02.800,0:10:07.700
.

0:10:07.700,0:10:12.250
Man kan ikke have 2 funktionsværdier for 1 x-værdi.

0:10:12.250,0:10:16.020
Lad os se på, hvilke af de her grafer, der er en funktion.

0:10:16.020,0:10:18.390
Vi kan finde ud af det

0:10:18.390,0:10:21.850
ved at se på,

0:10:21.850,0:10:25.090
om der er nogle x-værdier,

0:10:25.090,0:10:28.950
der hænger sammen med

0:10:28.950,0:10:30.550
mere end 1 y-værdi.

0:10:30.550,0:10:32.970
Vi kan lave en lodret-linje-test.

0:10:32.970,0:10:35.720
Hvis vi tegner en lodret linje

0:10:35.720,0:10:37.570
ved en given x-værdi,

0:10:37.570,0:10:41.920
kan vi se, at der kun er 1 y-værdi, der hænger sammen med den.

0:10:41.920,0:10:43.630
Det her er altså en funktion.

0:10:43.630,0:10:46.240
Vi skærer kun grafen 1 gang,

0:10:46.240,0:10:47.610
når vi tegner en lodret linje.

0:10:47.610,0:10:50.410
Det her er altså en funktion.

0:10:50.410,0:10:52.220
Hvad med den her?

0:10:52.220,0:10:53.960
Vi kan tegne en lodret linje

0:10:53.960,0:10:55.230
lige her.

0:10:55.230,0:10:58.650
Det ser ud som om,

0:10:58.650,0:11:00.860
at der til det x er 2 mulige værdier for y.

0:11:00.860,0:11:04.550
f af x kan være det her, eller det kan være det her.

0:11:04.550,0:11:05.270
.

0:11:05.270,0:11:07.520
Vi skærer altså grafen 2 gange.

0:11:07.520,0:11:08.840
Det er derfor ikke en funktion.

0:11:08.840,0:11:11.150
.

0:11:11.150,0:11:15.090
For et givent x

0:11:15.090,0:11:16.800
kan der altså være 2 y-værdier her.

0:11:16.800,0:11:19.220
Det her er altså ikke en funktion.

0:11:19.220,0:11:20.830
Her er det det samme.

0:11:20.830,0:11:22.310
Vi kan tegne en lodret linje her.

0:11:22.310,0:11:24.540
Vi skærer grafen 2 gange.

0:11:24.540,0:11:26.000
Det her er ikke en funktion.

0:11:26.000,0:11:30.590
Der er 2 y-værdier til 1 x-værdi.

0:11:30.590,0:11:31.490
Lad os nu se på den her funktion.

0:11:31.490,0:11:33.160
Den funktion ser underlig ud.

0:11:33.160,0:11:34.750
Den ligner et omvendt godkendt-tegn.

0:11:34.750,0:11:37.020
Hvis vi tegner en lodret linje,

0:11:37.020,0:11:38.720
vil vi dog aldrig skære funktionen mere end 1 gang.

0:11:38.720,0:11:40.420
Det er derfor en funktion.

0:11:40.420,0:11:43.470
Der findes kun 1 y-værdi

0:11:43.470,0:11:46.450
til hver x-værdi.

0:11:46.450,0:11:48.960
Forhåbentlig var det her brugbart.