1
00:00:00,000 --> 00:00:01,000
.

2
00:00:00,000 --> 00:00:02,460
I den her video skal vi lave

3
00:00:02,460 --> 00:00:03,800
nogle øvelser med funktioner.

4
00:00:03,800 --> 00:00:06,570
Det er noget, mange har lidt problemer med,

5
00:00:06,570 --> 00:00:09,230
men hvis man forstår konceptet bag funktioner,

6
00:00:09,230 --> 00:00:11,070
er det ikke

7
00:00:11,070 --> 00:00:12,240
så svært.

8
00:00:12,240 --> 00:00:13,710
Måske undrer man siger over,

9
00:00:13,710 --> 00:00:14,880
hvad en funktion i grunden er.

10
00:00:14,880 --> 00:00:16,720
I virkeligheden

11
00:00:16,720 --> 00:00:19,830
er det en sammenhæng mellem 2 variable.

12
00:00:19,830 --> 00:00:25,540
Vi siger, at y er lig med en funktion af x.

13
00:00:25,540 --> 00:00:28,260
Det betyder, at hvis vi har en funktion,

14
00:00:28,260 --> 00:00:31,660
kan vi putte et x ind i funktionen.

15
00:00:31,660 --> 00:00:34,190
Funktionen er i virkeligheden et sæt regler, der fortæller,

16
00:00:34,190 --> 00:00:36,480
hvad der skal ske med det x.

17
00:00:36,480 --> 00:00:39,150
Funktionen kommer ud med et y,

18
00:00:39,150 --> 00:00:41,230
der hænger sammen med det x, vi puttede ind i den.

19
00:00:41,230 --> 00:00:42,945
Man kan forestille den som en

20
00:00:42,945 --> 00:00:45,900
form for kasse.

21
00:00:45,900 --> 00:00:47,990
Det her er en funktion.

22
00:00:47,990 --> 00:00:53,830
Når vi giver den et tal x,

23
00:00:53,830 --> 00:00:56,990
får vi et tal y tilbage.

24
00:00:56,990 --> 00:00:58,160
Det her lyder måske lidt abstrakt.

25
00:00:58,160 --> 00:00:59,360
Vi ved jo intet om, hvad de her x'er og y'er er lig endnu.

26
00:00:59,360 --> 00:01:02,830
Vi bliver nødt til at kende funktionens definition, før vi rigtig kan bruge det her.

27
00:01:02,830 --> 00:01:04,190
Lad os sige, at vi har

28
00:01:04,190 --> 00:01:05,720
følgende funktionsdefinition.

29
00:01:05,720 --> 00:01:11,770
I den her funktion vil vi få 1,

30
00:01:11,770 --> 00:01:14,440
hvis x er lig med 0.

31
00:01:14,440 --> 00:01:18,730
Vi vil få 2, hvis x er lig med 1,

32
00:01:18,730 --> 00:01:21,320
og vi vil få 3

33
00:01:21,320 --> 00:01:24,790
i alle andre tilfælde.

34
00:01:24,790 --> 00:01:28,720
Nu har vi defineret, hvad der sker inde i kassen.

35
00:01:28,720 --> 00:01:31,630
Lad os tegne en kasse rundt om det.

36
00:01:31,630 --> 00:01:33,650
Det her er vores kasse.

37
00:01:33,650 --> 00:01:35,940
Det her er en helt tilfældig definition af en funktion.

38
00:01:35,940 --> 00:01:37,760
Forhåbentlig hjælper den med at forstå præcis,

39
00:01:37,760 --> 00:01:40,070
hvad en funktion er.

40
00:01:40,070 --> 00:01:47,500
Lad os nu sige, at x er lig med 7.

41
00:01:47,500 --> 00:01:52,480
x er lig med 7.

42
00:01:52,480 --> 00:01:56,400
Hvad er f af 7 lig med?

43
00:01:56,400 --> 00:01:58,020
Vi putter 7 ind i vores kasse.

44
00:01:58,020 --> 00:01:59,700
Man kan se på funktionen som en form for computer.

45
00:01:59,700 --> 00:02:02,770
Computeren kigger på x og på de regler, der findes.

46
00:02:02,770 --> 00:02:04,060
Den siger: Okay, x er 7.

47
00:02:04,060 --> 00:02:06,270
x er ikke 0, og x er ikke 1.

48
00:02:06,270 --> 00:02:08,229
Vi har altså situationen med alle andre tal.

49
00:02:08,229 --> 00:02:10,100
Output-værdien er derfor 3.

50
00:02:10,100 --> 00:02:12,040
f af 7 er altså lig med 3.

51
00:02:12,040 --> 00:02:15,320
Vi skriver, at f af 7 er lig med 3.

52
00:02:15,320 --> 00:02:18,760
f er navnet på funktionen eller det her system af regler

53
00:02:18,760 --> 00:02:21,310
eller sammenhænge,

54
00:02:21,310 --> 00:02:22,190
eller hvad man nu vil kalde det.

55
00:02:22,190 --> 00:02:24,350
Når vi giver funktionen et 7-tal, får vi altså et 3-tal tilbage.

56
00:02:24,350 --> 00:02:27,460
Funktionen producerer et 3-tal, når vi giver den et 7-tal at arbejde med.

57
00:02:27,460 --> 00:02:31,240
Hvad er så f af 2?

58
00:02:31,240 --> 00:02:34,690
Nu er x ikke længere 7.

59
00:02:34,690 --> 00:02:36,420
Nu er x lig med 2.

60
00:02:36,420 --> 00:02:38,550
Nu kigger funktionen derfor i stedet på 2,

61
00:02:38,550 --> 00:02:42,550
og den kommer frem til,

62
00:02:42,550 --> 00:02:44,410
at vi stadig er i situationen med alle andre tal.

63
00:02:44,410 --> 00:02:45,910
x er ikke 0 eller 1.

64
00:02:45,910 --> 00:02:50,800
Igen er f af x, når x er lig med 2,

65
00:02:50,800 --> 00:02:53,470
altså lig med 3.

66
00:02:53,470 --> 00:02:56,970
f af 2 er lig med 3.

67
00:02:56,970 --> 00:03:03,200
Hvad sker der, hvis x er lig med 1?

68
00:03:03,200 --> 00:03:05,100
Nu har vi altså

69
00:03:05,100 --> 00:03:07,990
f af 1.

70
00:03:07,990 --> 00:03:10,080
Funktionen kigger så på reglerne igen.

71
00:03:10,080 --> 00:03:11,620
Den vil se, at x er lig med 1.

72
00:03:11,620 --> 00:03:13,350
Den kan derfor bruge den her regel.

73
00:03:13,350 --> 00:03:15,520
Når x er lig med 1, spytter funktionen værdien 2 ud.

74
00:03:15,520 --> 00:03:18,750
f af 1 er altså lig med 2.

75
00:03:18,750 --> 00:03:22,290
.

76
00:03:22,290 --> 00:03:24,420
Det her er i virkeligheden det, en funktion er.

77
00:03:24,420 --> 00:03:29,120
Lad os nu se på nogle af de her øvelsesopgaver.

78
00:03:29,120 --> 00:03:31,620
Vi får at vide,

79
00:03:31,620 --> 00:03:35,010
at vi for hver af de her funktioner

80
00:03:35,010 --> 00:03:37,570
skal udregne funktionsværdien

81
00:03:37,570 --> 00:03:39,070
med de opgivne x-værdier.

82
00:03:39,070 --> 00:03:42,800
Lad os starte med a.

83
00:03:42,800 --> 00:03:47,880
De har defineret en kasse eller en funktion for os. f af x er lig med minus 2x plus 3.

84
00:03:47,880 --> 00:03:51,790
Vi skal finde ud af, hvad f af minus 3 er.

85
00:03:51,790 --> 00:03:54,300
Hvad skal vi gøre med x,

86
00:03:54,300 --> 00:03:55,430
når vi skal finde f af minus 3?

87
00:03:55,430 --> 00:03:57,110
Hvordan skal vi vide, hvad funktionen skal producere?

88
00:03:57,110 --> 00:04:00,060
Hver gang der står et x, skal vi skrive minus 3 i stedet.

89
00:04:00,060 --> 00:04:02,060
.

90
00:04:02,060 --> 00:04:04,780
Vi bruger lige en anden farve.

91
00:04:04,780 --> 00:04:06,520
Vi har altså minus 2

92
00:04:06,520 --> 00:04:13,130
gange minus 3 plus 3.

93
00:04:13,130 --> 00:04:16,149
Vi har skrevet minus 3 på x's plads.

94
00:04:16,149 --> 00:04:19,250
Nu ved vi, hvad der sker i funktionen.

95
00:04:19,250 --> 00:04:21,600
Vi har minus 2 gange minus 3.

96
00:04:21,600 --> 00:04:25,640
Det giver 6. 6 plus 3 er lig med 9.

97
00:04:25,640 --> 00:04:29,470
f af minus 3 er altså lig med 9.

98
00:04:29,470 --> 00:04:32,130
Hvad med f af 7?

99
00:04:32,130 --> 00:04:36,340
Vi gør det samme nu.

100
00:04:36,340 --> 00:04:43,120
Lad os bruge gul.

101
00:04:43,120 --> 00:04:47,650
VI har minus 2 gange 7

102
00:04:47,650 --> 00:04:50,480
plus 3.

103
00:04:50,480 --> 00:04:55,140
Det er lig med minus 14 plus 3,

104
00:04:55,140 --> 00:04:57,260
og det giver minus 11.

105
00:04:57,260 --> 00:05:03,940
Når vi putter 7 ind i funktionen,

106
00:05:03,940 --> 00:05:11,060
får vi altså 11 ud.

107
00:05:11,060 --> 00:05:13,310
Det var det, vi blev bedt om at gøre.

108
00:05:13,310 --> 00:05:14,760
Det her er reglen.

109
00:05:14,760 --> 00:05:18,470
Det er præcis det samme, vi gjorde heroppe.

110
00:05:18,470 --> 00:05:20,980
Det her er funktionens regel.

111
00:05:20,980 --> 00:05:24,430
Lad os lave de næste 2.

112
00:05:24,430 --> 00:05:25,200
Vi laver ikke b.

113
00:05:25,200 --> 00:05:26,330
Den kan man eventuelt selv lave for sjov.

114
00:05:26,330 --> 00:05:29,650
.

115
00:05:29,650 --> 00:05:32,540
Nu skal vi finde f af 0.

116
00:05:32,540 --> 00:05:33,810
Vi skal igen bruge samme metode.

117
00:05:33,810 --> 00:05:35,300
Hver gang vi ser et x,

118
00:05:35,300 --> 00:05:37,500
skal vi skrive 0.

119
00:05:37,500 --> 00:05:40,005
Vi har altså minus 2 gange 0

120
00:05:40,005 --> 00:05:43,100
plus 3.

121
00:05:43,100 --> 00:05:44,345
Minus 2 gange 0 er 0,

122
00:05:44,345 --> 00:05:47,300
så f af 0 er lig med 3.

123
00:05:47,300 --> 00:05:49,000
Til sidst skal vi gange f af z.

124
00:05:49,000 --> 00:05:51,720
Det er lidt mere abstrakt.

125
00:05:51,720 --> 00:05:52,780
.

126
00:05:52,780 --> 00:05:55,800
Vi har f af z.

127
00:05:55,800 --> 00:05:59,150
Lad os skrive z med en anden farve.

128
00:05:59,150 --> 00:06:00,900
f af z.

129
00:06:00,900 --> 00:06:06,210
Hver gang vi ser et x,

130
00:06:06,210 --> 00:06:07,750
skal vi altså nu skrive z.

131
00:06:07,750 --> 00:06:09,240
Vi har stadig minus 2.

132
00:06:09,240 --> 00:06:12,040
I stedet for x her,

133
00:06:12,040 --> 00:06:13,860
skriver vi z.

134
00:06:13,860 --> 00:06:19,760
Vi har altså minus 2 gange z plus 3.

135
00:06:19,760 --> 00:06:24,330
Det er vores svar. f af z er minus 2z plus 3.

136
00:06:24,330 --> 00:06:28,110
Hvis vi putter z ind i vores kasse for funktionen f,

137
00:06:28,110 --> 00:06:38,130
vil vi altså få minus 2

138
00:06:38,130 --> 00:06:43,480
gange det z plus 3.

139
00:06:43,480 --> 00:06:44,520
Det er alt, vi skal gøre her.

140
00:06:44,520 --> 00:06:47,830
Det er lidt mere abstrakt, men det er præcis det samme, som hvis det var et tal.

141
00:06:47,830 --> 00:06:52,030
Lad os nu lave c.

142
00:06:52,030 --> 00:06:53,330
Lad os lige slette lidt her.

143
00:06:53,330 --> 00:06:55,820
Der er snart ikke mere plads.

144
00:06:55,820 --> 00:06:59,102
Vi bliver nødt til at have lidt mere plads,

145
00:06:59,102 --> 00:07:02,910
så vi kan lave resten.

146
00:07:02,910 --> 00:07:03,810
Lad os lave c.

147
00:07:03,810 --> 00:07:05,370
Vi springer b over.

148
00:07:05,370 --> 00:07:07,710
b kan man selv lave.

149
00:07:07,710 --> 00:07:10,830
.

150
00:07:10,830 --> 00:07:13,430
Det er altså øvelse c,

151
00:07:13,430 --> 00:07:16,680
vi laver nu.

152
00:07:16,680 --> 00:07:18,610
Det her er vores funktionsforskrift.

153
00:07:18,610 --> 00:07:26,300
f af x er lig med 5 gange 2 minus x over 11.

154
00:07:26,300 --> 00:07:29,440
Lad os nu udregne det

155
00:07:29,440 --> 00:07:32,620
med forskellige x-værdier.

156
00:07:32,620 --> 00:07:39,900
Vi sætter minus 3 ind på x's plads, og vi får

157
00:07:39,900 --> 00:07:42,250
5 gange 2 minus minus 3 over 11.

158
00:07:42,250 --> 00:07:45,620
2 minus minus 3 over 11.

159
00:07:45,620 --> 00:07:48,700
Det her er lig med 2 plus 3.

160
00:07:48,700 --> 00:07:50,870
Det giver 5.

161
00:07:50,870 --> 00:07:53,260
Vi har altså 5 gange 5 over 11.

162
00:07:53,260 --> 00:07:57,120
Det er lig med 25 over 11.

163
00:07:57,120 --> 00:07:57,850
Lad os løse den her.

164
00:07:57,850 --> 00:07:59,990
f af 7.

165
00:07:59,990 --> 00:08:06,680
Vi sætter nu 7 ind på x's plads.

166
00:08:06,680 --> 00:08:11,160
Vi får nu, at f af 7 er lig med 5 gange 2 minus 7 over 11.

167
00:08:11,160 --> 00:08:14,360
.

168
00:08:14,360 --> 00:08:15,540
Hvad er det lig med?

169
00:08:15,540 --> 00:08:18,250
2 minus 7 er minus 5.

170
00:08:18,250 --> 00:08:23,780
5 gange minus 5 er minus 25. Resultatet er derfor minus 25 over 11.

171
00:08:23,780 --> 00:08:27,410
Der er 2 mere. f af 0.

172
00:08:27,410 --> 00:08:35,000
Det er lig med 5 gange 2 minus 0. Det her er altså 2.

173
00:08:35,000 --> 00:08:36,130
5 gange 2 er 10.

174
00:08:36,130 --> 00:08:38,850
Det er altså lig med 10 over 11.

175
00:08:38,850 --> 00:08:39,840
1 til.

176
00:08:39,840 --> 00:08:42,059
f af z.

177
00:08:42,059 --> 00:08:43,299
Hver gang der står x,

178
00:08:43,299 --> 00:08:44,490
erstatter vi det med z.

179
00:08:44,490 --> 00:08:49,960
Det er lig med 5 gange 2 minus z over 11.

180
00:08:49,960 --> 00:08:50,630
Det er vores svar.

181
00:08:50,630 --> 00:08:51,910
Vi kan faktisk gange 5 ind i parentesen.

182
00:08:51,910 --> 00:08:57,210
Det er det samme som 10 minus 5z over 11.

183
00:08:57,210 --> 00:09:00,260
Vi kan også skrive det på hældnings-skæringspunktsform.

184
00:09:00,260 --> 00:09:06,000
Det er det samme som 5 over 11 z plus 10 over 11.

185
00:09:06,000 --> 00:09:06,990
De her er alle det samme.

186
00:09:06,990 --> 00:09:10,430
Det er det, f af z er lig med.

187
00:09:10,430 --> 00:09:11,590
Lad os tænke lidt mere generelt over funktioner.

188
00:09:11,590 --> 00:09:15,510
Vi sagde, at en funktion giver os en output-værdi,

189
00:09:15,510 --> 00:09:16,470
når vi putter et x ind i den.

190
00:09:16,470 --> 00:09:19,120
Den giver os en funktionsværdi.

191
00:09:19,120 --> 00:09:23,040
Det her er vores funktion,

192
00:09:23,040 --> 00:09:26,550
og den vil producere en værdi for f af x.

193
00:09:26,550 --> 00:09:29,680
Den kan dog kun producere 1 f af x eller 1 funktionsværdi for hvert x.

194
00:09:29,680 --> 00:09:32,840
Man kan ikke have en funktion,

195
00:09:32,840 --> 00:09:34,700
der kan producere mere end 1 funktionsværdi for hvert x.

196
00:09:34,700 --> 00:09:37,540
Det ville ikke være en funktion,

197
00:09:37,540 --> 00:09:42,790
hvis funktionsværdien både kan være

198
00:09:42,790 --> 00:09:45,230
3 og 4,

199
00:09:45,230 --> 00:09:49,240
når x er lig med 0.

200
00:09:49,240 --> 00:09:53,170
I den situation ved vi nemlig ikke med sikkerhed,

201
00:09:53,170 --> 00:09:54,090
hvad f af 0 er lig med.

202
00:09:54,090 --> 00:09:56,330
Vi ved simpelthen ikke,

203
00:09:56,330 --> 00:09:57,310
om funktionsværdien

204
00:09:57,310 --> 00:09:57,830
er 3,

205
00:09:57,830 --> 00:09:58,190
eller om den er 4.

206
00:09:58,190 --> 00:10:01,550
Det er altså ikke en funktion,

207
00:10:01,550 --> 00:10:02,800
selvom den godt kan ligne en funktion lidt.

208
00:10:02,800 --> 00:10:07,700
.

209
00:10:07,700 --> 00:10:12,250
Man kan ikke have 2 funktionsværdier for 1 x-værdi.

210
00:10:12,250 --> 00:10:16,020
Lad os se på, hvilke af de her grafer, der er en funktion.

211
00:10:16,020 --> 00:10:18,390
Vi kan finde ud af det

212
00:10:18,390 --> 00:10:21,850
ved at se på,

213
00:10:21,850 --> 00:10:25,090
om der er nogle x-værdier,

214
00:10:25,090 --> 00:10:28,950
der hænger sammen med

215
00:10:28,950 --> 00:10:30,550
mere end 1 y-værdi.

216
00:10:30,550 --> 00:10:32,970
Vi kan lave en lodret-linje-test.

217
00:10:32,970 --> 00:10:35,720
Hvis vi tegner en lodret linje

218
00:10:35,720 --> 00:10:37,570
ved en given x-værdi,

219
00:10:37,570 --> 00:10:41,920
kan vi se, at der kun er 1 y-værdi, der hænger sammen med den.

220
00:10:41,920 --> 00:10:43,630
Det her er altså en funktion.

221
00:10:43,630 --> 00:10:46,240
Vi skærer kun grafen 1 gang,

222
00:10:46,240 --> 00:10:47,610
når vi tegner en lodret linje.

223
00:10:47,610 --> 00:10:50,410
Det her er altså en funktion.

224
00:10:50,410 --> 00:10:52,220
Hvad med den her?

225
00:10:52,220 --> 00:10:53,960
Vi kan tegne en lodret linje

226
00:10:53,960 --> 00:10:55,230
lige her.

227
00:10:55,230 --> 00:10:58,650
Det ser ud som om,

228
00:10:58,650 --> 00:11:00,860
at der til det x er 2 mulige værdier for y.

229
00:11:00,860 --> 00:11:04,550
f af x kan være det her, eller det kan være det her.

230
00:11:04,550 --> 00:11:05,270
.

231
00:11:05,270 --> 00:11:07,520
Vi skærer altså grafen 2 gange.

232
00:11:07,520 --> 00:11:08,840
Det er derfor ikke en funktion.

233
00:11:08,840 --> 00:11:11,150
.

234
00:11:11,150 --> 00:11:15,090
For et givent x

235
00:11:15,090 --> 00:11:16,800
kan der altså være 2 y-værdier her.

236
00:11:16,800 --> 00:11:19,220
Det her er altså ikke en funktion.

237
00:11:19,220 --> 00:11:20,830
Her er det det samme.

238
00:11:20,830 --> 00:11:22,310
Vi kan tegne en lodret linje her.

239
00:11:22,310 --> 00:11:24,540
Vi skærer grafen 2 gange.

240
00:11:24,540 --> 00:11:26,000
Det her er ikke en funktion.

241
00:11:26,000 --> 00:11:30,590
Der er 2 y-værdier til 1 x-værdi.

242
00:11:30,590 --> 00:11:31,490
Lad os nu se på den her funktion.

243
00:11:31,490 --> 00:11:33,160
Den funktion ser underlig ud.

244
00:11:33,160 --> 00:11:34,750
Den ligner et omvendt godkendt-tegn.

245
00:11:34,750 --> 00:11:37,020
Hvis vi tegner en lodret linje,

246
00:11:37,020 --> 00:11:38,720
vil vi dog aldrig skære funktionen mere end 1 gang.

247
00:11:38,720 --> 00:11:40,420
Det er derfor en funktion.

248
00:11:40,420 --> 00:11:43,470
Der findes kun 1 y-værdi

249
00:11:43,470 --> 00:11:46,450
til hver x-værdi.

250
00:11:46,450 --> 00:11:48,960
Forhåbentlig var det her brugbart.