일반 선형소비함수

총 소득으로 나타낸 선형 소비함수의 일반화

지난 비디오에서 소비함수가 무엇인지 살펴봤죠

꽤 간단한 개념입니다, 총 소득이 어떻게
총 소비를 이끌어내는가를 표현한 함수죠

간단한 모형으로 살펴 봤는데요, 간단한 소비함수였죠

선형함수로 표현된 소비함수였어요.
총 소득과 상관없는 최저소비가 존재하죠

그리고 가처분 소득의 발생으로 인해
생긴 소비가 존재해요

이를 그래프로 표현하면 직선으로 표현되죠

지난 비디오에서 말씀 드렸는데,
소비함수가 항상 이렇게 표현되는 것은 아닙니다

더 정교한 수학적 방법을 사용할 수도 있겠죠

가처분소득이 적을 때 한계소비성향이 더 높게 나타나고

총 가처분 소득이 늘어남에 따라
점점 감소하는 형태가 있을 수 있죠

그래서 이렇게 생긴
더 복잡한 소비함수를 그릴 수도 있습니다

이 비디오에서는
선형소비함수에 대해 더 설명하려고 합니다

선형소비함수에 논의를 한정시키는 이유는
첫째로, 더 간단하구요. 다루기도 쉽습니다

또한 이 모형이 소비 함수에 대해
처음 배울 때 주로 쓰이기 때문이죠

거기서부터 논리를 전개해 나가거든요,
국민소득 결정모형(Keynesian cross)까지요

여기서는 두 가지를 보여드릴 건데요,
이 선형 소비함수를 일반화하고

이 함수를 가처분소득에 대해서가 아니라,
지난번 영상에서 보여드린 것처럼요

총 소득에 대한 함수로 바꿔보겠습니다.
그리고 일반화된 함수를 그래프로 나타내도록 하죠

이전에 했던 것과 같은 거지만,
이번에는 숫자 대신 변수를 사용하는거죠

그럼 선형소비함수를 만들어보기로 하죠

총 소비는, 우선 최저소비가 필요한데요

소득이 없어도 생존하기 위해 소비자들은
식량 등등이 필요하겠죠. 저축을 쓰던가 할거에요.

최저 소비는 소문자 c와 아래첨자 0으로 표현할게요

이것이 최저 소비를 나타낸다고 합시다.
독립소비라고도 불러요

독립소비이구요, 소비자가 총 소득이 없더라도
소비하므로 이렇게 불러요

그리고 다른 부분이 있죠,
총 소득에 의해 나타나는 소비입니다.

이것은 유발 소비라고 불리는데요,
총 소득이 발생하면서 유발된 소비이기 때문이죠

최저 소비 이상으로 소비자는
가처분 소득의 일정 부분을 소비할 겁니다

가처분 소득이라고 쓸게요, 이들은 가처분소득
전체를 소비하는 것이 아니죠, 저축도 할 거에요

일부분을 소비할텐데,
이는 한계소비성향에 의해 결정되죠!

주황색으로 한계소비성향(MPC)이라고 쓸게요

직관적으로 이해가 되었음 하는데,
소비자는 어쨌거나 100(최저소비)을 소비하죠

여기서 한계소비성향은 1/3이라고 하죠

최저소비 이외에 가처분소득 900이 존재합니다.
여기서 가처분소득의 1/3을 소비할 거에요

가처분소득이 900이면 소득 증가에 따른
한계소비성향에 따라 1/3을 소비할거에요

그러므로 이게 1/3일거고,
여기서 c0가 100이었죠?

그리고 가처분소득이 900이고
c₁은 1/3인데요, 0.3333..으로 해도 되고요

이러면 완성이네요, 소비자들은 100만큼
독립소비를 하고, 900의 가처분 소득이 있으므로

가처분소득의 1/3만큼 소비할 거구요, 그러면

총 소비는 100+ 1/3 x 900이 되겠네요

유발 소비부분은 1/3 x 900 이므로 300이네요

독립소비는 100일 것이고, 전체는 400이 됩니다

다시 한 번, 이 부분이 독립소비고

이 부분이 유발소비에요

지금 저는 상수대신 일반 항으로 함수를 표현했는데요

지난 영상에서 본 숫자대신 일반 항를 쓴 거죠

그리고 총 가처분소득이 아니라 총 소득으로
함수를 표현하겠다고 했는데요

총 가처분소득이 아니라 총 소득으로요

이 둘의 관계는 간단합니다.
가처분소득과 전체 소득간의 관계요

위에서 봤었죠. 총 소득이 있고,
현대 사회에서라면 정부가 얼마간의 세금을 가져가고

남은 소득이 가처분소득이 되죠

다시 생각해보세요. 소득,
총 소득은 총 지출, 총 생산량과 같은 개념이고

이건 바로 GDP를 뜻하는 거죠

따라서 가처분소득은 GDP에서, 혹은 총 소득에서
세금을 제외한 겁니다

즉, 가처분소득을 총 소득에서,
여기 이 부분(가처분 소득)은 총 소득에서 세금을 뺀 겁니다

그럼 이 식을 다시 쓸 수 있겠죠

총 소비 = 독립 소비 + 한계소비성향 x (총 소득

총 소득은 GDP와 같다고 볼 수 있죠

총 소비 = 독립 소비 + 한계소비성향 x (총 소득 - 세금)

이렇게 소비 함수를 일반화할 수 있습니다.
총 소득에 대한 함수로 정리했구요

총 가처분소득이 아니라 총 소득에 대해서요.
x축에 총 소득을 놓고 이 함수를 그리면 선형함수에요

한계소비성향 c₁을 괄호 안으로 분배할 수 있겠죠

총 소비 = 독립소비(c0) +
그리고 c₁을 분배하면

+ 한계소비성향(c₁) x 총 소득(Y)

- 한계소비성향(c₁) x 세금(T)

총 소득에 대한 함수로 정리를 해야하므로
다른 항들은 상수로 취급합니다

이 항들은 변화하지 않습니다. 상수로 존재하는 거에요

이 식을 익숙한 형식으로 바꾸어볼게요.
대수시간에 다뤘는데요

1차 함수는 y= mx+b의 형태로 나타낼 수 있죠

여기서 x는 독립변수이고, y는 종속변수로

그래프로는 x가 가로축, y가 세로축이구요

이 함수는 y절편을 가지므로 y 절편은 b가 되고요

m의 기울기를 가진 직선으로 나타납니다.
m은 직선 위 x축으로 이동할 경우 y축의 변화값이죠

이렇게 m을 계산할 수 있습니다.
기울기=m 이죠

이와 같은 방법입니다.
이제 종속변수는 y가 아니라 C이구요

독립변수는 x가 아니라, 총 수입(Y)이죠

이 방식으로 정리해 봅시다.
종속변수 C = 한계소비성향(c₁) x 총소득

+ 독립 소비(c0) - 한계소비성향(c₁) x 세금(T)

복잡해 보이지만, 알고보면 이 부분은 전부 상수입니다.

1차함수 식에서 b와 유사한 역할이죠.
일반 식인 기울기, 절편식으로 쓴다면요

이제 그래프에 표시가 가능합니다.
소득이 없다면 이것이 소비값이겠죠

그려볼게요, 종속변수는 총 소비이고

독립변수는 지난 영상에서처럼
가처분소득이 아니라 총 소득이죠

총 소득입니다. 만약 소득이 없다면,

소비는 여기 이만큼이 될 겁니다 = c0 - c₁x T

그리고 총 소득이 늘어남에 따라
유발소비가 c₁에 따라 결정될 거구요

따라서 c₁이 이 함수의 기울기가 되는 겁니다

y=mx+b라고 할 때, 지금은 C=mY+b라고 써야겠네요
여기서 m과 b는 대수학에서 통용되는 문자입니다

C=mY+b일때, m은 기울기이고
b는 종속변수의 절편이죠

바로 이겁니다. 종속변수의 절편을 알아냈고

c₁이 기울기 입니다. 한계소비성향이기도 하죠.
따라서 이 함수는 이런 직선을 보일겁니다

기울기가 한계소비성향인 c₁인 직선이죠

소비자들의 소득 대비 소비 비율이 늘어난다면

한계소비성향이 커질테니까 기울기도 가팔라지겠죠.
이렇게 생긴 함수가 될 겁니다

지금까지 한계소비성향이 1보다는 작다고 가정했으므로
기울기가 1인 함수는 안 나오겠죠

또 음의 기울기를 가진 함수도 없을 겁니다.
c₁은 양수니까요

또한 소비자들이 추가적 소득에 대해
소비보다 저축을 선호한다면

더 낮은 기울기를 보이는 함수를 보일겁니다