Statistics: Sample Variance

Əlimizdə

bir neçə videolar.

Sizə seçmənin

variasiyasından danışacağam.

Videonu HD-də rekord etməyə çalışıram,

Ümid edirəm ki, əvvəlkindən daha aydın

görəcəksiniz.

Bu videoda

seçmənin variasiyasından bəhs edəcəyəm.

Lakin seçmənin variasiyası haqqında danışmazdan öncə

populyasinan variasiyasını və

düsturunu xatırlayaq.

Belə ki, populyasianın variasiyası

yunan hərfi olan siqma ilə işarə olunur.

Kiçik siqmanın kvadratı.

Bu, variasiya deməkdir.

Bilirəm, hansısa dəyişənin birbaşa kvadrat şəklində

ifadə olunması bir az qəribə görünür.

Lakin burada əsas dəyişən kvadrata yüksəldilməyib.

Bu, elə dəyişənin özüdür.

Yəni siqmanın kvadratı elə variasiyanı ifadə edir.

Gəlin bunu yazılı şəkildə də qeyd edək.

Bu, variasiyaya bərabərdir.

Variasiyanı hesablayarkən

informasiya nöqtələrindən istifadə edəcəyik ki, onlar da xi ilə işarə olunur.

Sonra isə bu nöqtə ilə

populyasiyanın ədədi ortası arasında nə qədər

fərq olduğunu tapmaq lazımdır.

Bunu kvadrata yüksəldirik, sonra da alınan nəticənin orta qiymətini tapırıq.

Orta qiyməti tapmaq üçün isə

bunların hamısı toplayırıq.

i=1 nöqtəsindən başlayırıq,

sonuncu nöqtə isə N-dir.

İndi isə orta qiyməti tapmaq üçün yuxarıdakıları toplayıb,

alınan nəticəni N-ə böləcəyik.

Beləliklə, variasiya,
populyasiyanın ədədi ortası ilə hər bir

nöqtə arasındakı məsafənin kvadratları cəminin orta qiymətinə bərabər oldu.

Başqa sözlə ifadə etsəm,

bu, hər bir nöqtənin mərkəzdən

təxmini nə qədər aralı olduğunu göstərir.

Düşünürəm ki, bu, anlamaq üçün ən yaxşı yoldur.

Bir nüans var. Bu düstur populyasiya üçün idi, düzdür?

Yadınızdadırsa, nümunə olaraq demişdik ki, əgər

ölkədəki kişilərin boylarının variasiyasını tapmalı olsaydıq,

və bunu populyasiyanın düsturu ilə

hesablasaydıq, bu, çox çətin olardı.

Belə ki, bunun üçün

250 milyonun hamısının boylarını ölçməli olacaqdıq.

Eyni zamanda ola bilərdi ki, sizə elə bir populyasiya verilsin ki,

onunla bağlı informasiyanı

tapmaq tamamilə qeyri-mümkün olsun.

Bu haqda daha sonra danışacağıq.

Lakin daha asan olması üçün seçmənin variasiyasını

tapmaqla bunu hesablaya

bilərik.

Beləliklə, eyni yolla populyasiyanın variasiyasını heç zaman tapa bilməsəniz belə,

seçmənin variasiyasını hesablamaqla nəticəni

təxmin edə biləcəksiniz.

Bunu 1-ci videoda öyrənmişdik.

Baxın, bu, populyasiyadır.

İçərisində milyonlarla informasiya nöqtəsi mövcuddur.

Bunu tam olaraq əldə edə bilməyəcəksiniz,

çünki, bu, ixtiyari bir dəyişəndir.

Bu, populyasiyadır.

Siz sadəcə seçməyə baxmaqla nəticəni təxmin edə bilərsiniz.

Nəticə yönümlü statistika da məhz

bununla bağlıdır.

Seçməyə təsviri statistikanı tətbiq etmək üçün isə

populyasiyadan nəticələr çıxarmaq lazımdır.

Gəlin bu dərmanı 100 nəfərdə sınayaq.

Əgər cavab statistik olaraq əhəmiyyətli olarsa, alınmış

nəticə bütün populyasiya üçün də

keçərli sayılar.

Əsas məğz bundan ibarətdir.

Belə ki, seçmə və populyasiyanın

bir-birindən fərqini anlamaq və seçmədən alınan

nəticə ilə

populyasiyanın parametrlərini

təsvir edə bilmək

çox vacibdir.

Populyasiyanın

orta qiyməti nəyə bərabər idi?

Bunu bənövşəyi rənglə yazacağam.

Populyasiyanın ədədi ortasını tapmaq üçün onda olan

bütün informasiya

nöqtələrini götürürük və onları xi olaraq adlandırırıq.

Onları toplayırıq.

Birinci nöqtədən başlayaraq

N-ci nöqtəyə qədər davam edirik və onları

N-ə bölürük. Beləliklə, bütün nöqtələri toplayaraq

N-ə bölürük. Bu da populyasiyanın orta qiyməti adlanır.

Sonra alınan cavabı digər düsturda yerinə qoyuruq

və hər bir nöqtənin orta nöqtədən

uzaqlığını hesablayaraq

variasiyanı tapırıq.

Yaxşı, bəs eynisini seçmə üçün necə tapardıq?

Əgər populyasiyanın orta qiymətini

seçmənin orta qiymətini hesablayaraq tapmaq istəyiriksə,

bunu etməyin ən yaxşı yolu bu tip

düsturlardan istifadə etməkdir.

Bəs bunu

necə edəcəyik?

İlk olaraq edəcəyimiz seçmənin orta qiymətini hesablamaq olacaq.

Elə bu düstur seçmənin də orta qiymətini hesablayır.

Yadınızdadırsa, ilk videoda öyrənmişdik ki, düsturlar

eynidir, sadəcə

işarələnmə fərqlidir.

Burada mu əvəzinə x üstü xətt yazacağıq.

Beləliklə, seçmənin orta qiyməti bərabərdir...

Burada da hər bir informasiya nöqtəsini götürürük, lakin populyasiyadan

yox, seçmədən.

Birinci nöqtədən n-ci nöqtəyədək hamısını toplayırıq,

düzdür?

N qədər nöqtə varsa,

nöqtələrin cəmini onların sayına, yəni n-ə bölürük.

Kifayət qədər aydındır.

Gördüyünüz kimi, həqiqətən də, eyni düstur alındı.

Populyasiyanın orta qiymətini

hesabladığımız yolla seçmənin də

orta qiymətini hesablaya bilərik.

Yəqin ki, elə ən yaxşısı birbaşa

populyasiyanın orta qiymətini hesablamaq olar.

İndi isə variasiyaya keçək.

Baxın, sizdə bu seçmə var.

Əgər seçmənin variasiyasını hesablamaq istəyirsiksə,

elə bu düsturu seçməyə də tətbiq edərək

onu tapa bilmərikmi?

İndi seçmənin variasiyasını tapaq.

Düsturda onu s kvadratı ilə işarələcəyik.

Siqma bir növ buradakı yunan hərfinin s-lə olan ekvivalentidir.

Seçməni hesablayarkən buraya

s yazdıq.

Bu, seçmənin variasiyasıdır.

Gəlin bunu buraya da yazım.

Seçmənin variasiyası.

Bunu etmənin ən yaxşı yolu

elə eyni yoldan istifadə etməkdir.

İlk olaraq hər bir nöqtənin seçmənin

orta qiymətindən nə qədər uzaq olduğunu tapırıq.

Baxın, buradakı populyasiyanın orta nöqtəsində olduğu kimi.

Lakin bu düsturda seçmənin orta qiymətindən və ya ədədi ortasından istifadə

edəcəyik, çünki sadəcə bunu öyrənə bilərik.

Populyasiyanın orta qiymətini bütün

populyasiyanı bilmədən hesablaya bilmirik.

Bunu kvadrata yüksəldirik.

Cavab müsbət edəcək.

Çünki bir neçə xassəsi var, bu haqda daha sonra danışacağıq.

Daha sonra bu kvadrata yüksəlmiş məsafələrin ədədi ortasını tapırıq.

Hamısını toplayırıq.

n sayda nöqtə var, hamısını toplayırıq və

kiçik n hərfi ilə işarə etdiyimiz n-ə bölürük.

Bu, yaxşı təxmindir.

Nəyin variasiyası olsa belə,

bütöv populyasiya üçün kifayət qədər yaxşı təxmindir.

Belə ki, seçmənin

variasiyası dedikdə bu nəzərdə tutulur.

Bəzən isə o bu cür ifadə olunur.

Buraya kiçik n hərfi yazılır.

Çünki n-ə bölmüşdük.

Yaxşı, bəs burada biz başqa necə bir problemlə

qarşılaşa bilərik?

Nə bizə çətinlik yarada

bilər?

Ən yaxşısı

bunu nümunə ilə

izah edək və

bir növ sübut etmiş

olaq.

Başlayaq.

Ədəd oxu üzərində bir neçə

rəqəm olduğunu təsəvvür edin.

Ən yaxşısı ədəd oxunu çəkim.

Tutaq ki, populyasiyadan bir qədər ədədiniz var və

siz həmin ədədləri təsadüfi şəkildə

burada qeyd edirsiniz.

Böyük olanlar sağ, kiçiklər isə

sol tərəfdə olacaq.

İndi təsəvvür edin ki, siz bu populyasiyadan bir seçmə götürürsünüz.

Seçmə olduğu üçün bu, tamamilə təsadüfidir.

Təsadüfi bir seçmə götürdüyünüz zaman

hansısa qrupu seçməyə ehtiyacınız yoxdur.

Məsələn, bunu, bunu, bunu və bunu götürə bilərsiniz,

elə deyilmi?

Sonra əgər bu rəqəmlərin ədədi

ortasını tapsam, bu nöqtə, yəqin ki,

ortalarda bir yerdə olacaq.

Təxmini buralarda ola bilər.

Sonra bu nöqtələrdən istifadə edərək

seçmənin variasiyasını tapmalıyıq. Deməli, bu məsafənin

kvadratı, üstəgəl bu məsafənin kvadratı, üstəgəl bu məsafənin kvadratı,

üstəgəl bu məsafənin kvadratı. Daha sonra isə hamısının orta

qiymətini tapırıq.

Yəqin ki, təxmini bu rəqəmi alacağam.

Uyğun olaraq, çox güman ki, aldığım rəqəm bütün

populyasiya üçün də çox yaxşı bir cavab olacaqdır.

Populyasiyanın orta qiyməti də elə

bu rəqəmə çox yaxın bir cavab olar.

Əgər bütün nöqələri götürüb, onları cəmləsə idim,

yəqin ki, buralarda bir yerdə olacaqdı.

Sonra isə variasiyanı tapsaydım belə,

seçmənin variasiyasından aldığımız

cavaba yenə də yaxın olacaqdı.

Kifayət qədər düzgündür.

Deyə bilərsiniz ki, bu, hazırda çox rahat görünür.

Lakin burada kiçik bir nüans var.

Çünki hər zaman rəqəmləri belə

ədalətli və düzgün bölüşdürülmüş şəkildə götürməyə bilərik.

Məsələn, əgər seçmədə

bu ədədi, bu ədədi və bu ədədi,

bir də bu ədədi götürsək, necə olar?

Seçmənin necə olduğundan asılı olmayaraq, onun ədədi

ortası həmişə mərkəzdə olur, elə deyilmi?

Bu halda seçmənin orta qiyməti təxmini burada olacaqdır.

Deyə bilərsiniz ki,

bu rəqəm digərindən çox uzaqdır.

Bu uzaq deyil,

elə bu da uzaq deyil.

Bu yolla etdiyiniz zaman seçmənin variasiyası

daha az olur.

Çünki tərifə görə bütün rəqəmlər

orta qiymətə yaxın olmalı idi.

Lakin buradakı halda seçmə bir növ bir tərəfə meyillidir və

populyasiyanın həqiqi orta qiyməti

tamamilə başqa yerdədir.

Belə ki, əgər seçmənin orta qiymətini

bilirsinizsə, onun variasiyası--

Başa düşürəm ki, bu, bir az qarışıqdır -- Əgər orta qiyməti bilirsinizsə,

bu zaman

buradakı məsafələri hesablayaraq

variasiyanı tapa bilərsiniz.

Demək istədiyim odur ki, seçmənin

orta qiymətinin populyasiyanın

orta qiymətinə yaxın olması

ehtimalı var.

Məsələn, ola bilər ki, seçmənin orta qiyməti burada, populyasiyanınki isə

buradadır.

Bu zaman düsturdan istifadə etmək

əlverişlidir, çünki seçmədə verilən nöqtələrlə

uyğun variasiyanı tapa biləcəyik.

Lakin başqa halların da olma ehtimalı var. Belə ki, seçmənin orta

qiyməti həmişə götürdüyünüz nöqtələrin

içində yerləşməlidir, elə deyil?

Həmin nöqtələrin mərkəzində olmalıdır.

Eyni zamanda populyasiyanın orta qiymətinin

seçməyə daxil olan nöqtələr çoxluğundan kənarda olması ehtimalı da var.

Bu, seçmədə populyasiyanın orta qiyməti

olmayan nöqtələr çoxluğunu götürdüyünüz

zaman baş verə bilər.

Bu zaman seçmənin variasiyası populyasiyanın

variasiyasından daha az olacaq.

Çünki bu nöqtələr öz orta qiymətlərinə

populyasiyanınkindən daha yaxın olacaqlar.

Açığı, əgər bunların hətta 10%-ni belə anlasanız,

bu o deməkdir ki, siz çox yaxşı statistika tələbəsisiniz.

Bunları ona görə başa saldım ki,

prosesin necə baş verdiyini

anlayasınız.

Belə ki, bu düstur çox zaman populyasiyanın

həqiqi variyasiyasını olduğundan daha az qiymətləndirir.

Dediklərimi mənim nümunəmdən daha

ciddi və açıq şəkildə sübut edən düstur var.

Bu düstur

populyasiyanın və ya seçmənin qərəzsiz

variasiyasının təxmini kimi adlana bilər.

Bəzən o, s kvadratı kimi, bəzən isə

s, n çıx 1 kimi işarə olunur.

İndi bunun nə üçün belə olduğunu izah edəcəyəm.

Əslində, demək olar ki, onlar eynidirlər.

Yenə də hər bir nöqtəni götürüb, onların

seçmənin orta qiymətindən nə qədər uzaq olduğunu müəyyənləşdirirsiniz.

Daha sonra alınan nəticəni kvadrata yüksəldib, ədədi ortanı

tapırsınız, amma kiçik bir dəyişiklik etməklə.

İ bərabərdir 1 və n.

Bu dəfə n-ə bölmək əvəzinə tədricən daha kiçik ədədə

bölürsünüz.

n çıx 1-ə bölürük.

n-ə yox, n çıx 1-ə böldüyünüz zaman

daha böyük ədəd alacaqsınız.

Nəticədə aldığımız cavab həqiqətə

daha yaxın olacaqdır.

Bunu özüm də dəfələrlə yoxlamışam və

gördüm ki, bu düstur populyasiyanın variasiyasınln

ən yaxın və düzgün təxminini hesablayır.

Eyni yolla hesablaya bilərik.

Böl n

çıx 1.

Vaxtımız bitdi.

Burada saxlayıb növbəti videoda

bir neçə hesablamalar aparacağıq.

Bu qədər. Ümid edirəm ki, mövzu sizə

kifayət qədər aydın oldu.

Növbəti videolarda görüşərik.