< Return to Video

Linear Algebra: Rank(A) = Rank(transpose of A)

  • 0:00 - 0:01
    -
  • 0:01 - 0:04
    ในวิดีโอก่อนๆ, ผมได้กล่าวไว้ว่าแรงค์ของ
  • 0:04 - 0:08
    เมทริกซ์ A เท่ากับแรงค์ของทรานสโพสของมัน
  • 0:08 - 0:10
    และผมให้เหตุผลแบบลวกๆ ไป
  • 0:10 - 0:12
    มันคือตอนจบของวิดีโอ, และผมเหนื่อยแล้ว
  • 0:12 - 0:14
    ที่จริงมันตอนท้ายของวันแล้ว
  • 0:14 - 0:17
    และผมว่ามันมีค่าที่จะพูดถึง
  • 0:17 - 0:17
    มันอีกหน่อย
  • 0:17 - 0:19
    เพราะมันเป็นบทเรียนที่สำคัญ
  • 0:19 - 0:22
    มันจะช่วยให้เราเข้าใจทุกอย่างเที่เราเรียน
  • 0:22 - 0:23
    ได้ดีขึ้น
  • 0:23 - 0:26
    ลองมาเข้าใจ -- ผมจะเริ่มต้นด้วย
  • 0:26 - 0:27
    แรงค์ของ A ทรานสโพสก่อน
  • 0:27 - 0:32
    -
  • 0:32 - 0:37
    แรงค์ของ A ทรานสโพส เท่ากับมิติของ
  • 0:37 - 0:40
    สเปซคอลัมน์ของ A ทรานสโพส
  • 0:40 - 0:43
    นั่นคือนิยามของแรงค์
  • 0:43 - 0:47
    มิติของสเปซคอลัมน์ของ A ทรานสโพส
  • 0:47 - 0:54
    คือจำนวนเวกเตอร์ฐานสำหรับ
  • 0:54 - 0:55
    สเปซคอลัมน์ของ A ทรานสโพส
  • 0:55 - 0:57
    นั่นคิอมิติ
  • 0:57 - 1:00
    สำหรับสับสเปซใดๆ, คุณหาได้ว่ามีเวกเตอร์ฐานกี่ตัวที่
  • 1:00 - 1:02
    คุณจำเป็นต้องใช้ในสับสเปซ, และคุณนับมัน
  • 1:02 - 1:03
    นั่นก็คือมิติของคุณ
  • 1:03 - 1:07
    มันก็คือจำนวนเวกเตอร์ฐานของสเปซคอลัมน์
  • 1:07 - 1:10
    ของ A ทรานสโพส, ซึ่งก็เหมือนกันแน่นอน
  • 1:10 - 1:13
    สิ่งนี้เราเห็นมาหลายครั้งแล้ว, มันเหมือนกับ
  • 1:13 - 1:14
    สเปซแถวของ A
  • 1:14 - 1:18
    -
  • 1:18 - 1:18
    จริงไหม?
  • 1:18 - 1:20
    คอลัมน์ของ A ทรานสโพสนั้นเหมือนกับ
  • 1:20 - 1:22
    แถวของ A
  • 1:22 - 1:24
    เพราะคุณสลับแถวกับคอลัมน์กัน
  • 1:24 - 1:27
    ทีนี้, เราจะหาจำนวนของเวกเตอร์ฐาน
  • 1:27 - 1:30
    ที่เราต้องใช้สำหรับสเปซคอลัมน์ของ A ทรานสโพส, หรือ
  • 1:30 - 1:32
    สเปซแถวของ A ได้อย่างไร?
  • 1:32 - 1:34
    ลองคิดถึงสเปซคอลัมน์ของ A
  • 1:34 - 1:36
    ทรานสโพสว่ามันบอกอะไรเรา
  • 1:36 - 1:38
    มันก็เท่ากับ -- สมมุติว่า, ขอผม
  • 1:38 - 1:40
    วาด A แบบนี้นะ
  • 1:40 - 1:43
    -
  • 1:43 - 1:44
    นั่นคือเมทริกซ์ A
  • 1:44 - 1:47
    สมมุติว่ามันคือเมทริกซ์ขนาด m คูณ n
  • 1:47 - 1:49
    ขอผมเขียนมันเป็นเวกเตอร์แถวหลายๆ ตัวนะ
  • 1:49 - 1:51
    ผมสามารถเขียนมันเป็นเวกเตอร์คอลัมน์หลายๆ ตัว, แต่
  • 1:51 - 1:53
    ตรงนี้ลองใช้เวกเตอร์แถวกัน
  • 1:53 - 1:55
    เรามีแถวที่ 1
  • 1:55 - 1:57
    ทรานสโพสของเวกเตอร์คอลัมน์
  • 1:57 - 2:02
    นั่นคือแถว 1, และเราจะมีแถว 2, และ
  • 2:02 - 2:06
    เราก็ไปจนถึงแถวที่ m
  • 2:06 - 2:06
    จริงไหม?
  • 2:06 - 2:07
    มันคือเมทริกซ์ขนาด m คูณ n
  • 2:07 - 2:10
    เวกเตอร์แต่ลตัวนี้ จะเป็นสมาชิกของ rn, เพราะพวกมัน
  • 2:10 - 2:12
    จะมีค่า n ค่าในนั้น
  • 2:12 - 2:14
    เพราะเรามี n คอลัมน์
  • 2:14 - 2:16
    แล้ว, A จะเป็นอย่างไร
  • 2:16 - 2:17
    A จะเป็นแบบนั้น
  • 2:17 - 2:21
    แล้ว A ทรานสโพส, แถวพวกนี้ทั้งหมด
  • 2:21 - 2:22
    จะเป็นคอลัมน์
  • 2:22 - 2:28
    A ทรานสโพสจะเป็นแบบนี้. r1, r2,
  • 2:28 - 2:31
    ไปจนถึง rm
  • 2:31 - 2:34
    และนี่แน่นอนจะเป็นเมทริกซ์ขนาด n คูณ m
  • 2:34 - 2:35
    คุณสลับพวกนี้ไปได้
  • 2:35 - 2:39
    แล้วแถวพวกนี้ทั้งหมดจะเป็นคอลัมน์
  • 2:39 - 2:40
    จริงไหม?
  • 2:40 - 2:42
    และแน่นอน สเปซคอลัมน์ -- มันอาจไม่
  • 2:42 - 2:47
    ชัดเท่าไหร่ -- สเปซคอลัมน์ของ A ทรานสโพส เท่ากับ
  • 2:47 - 2:56
    สแปนของ r1, r2 ไปจนถึง rm
  • 2:56 - 2:57
    จริงไหม?
  • 2:57 - 2:58
    มันเท่ากับสแปนของเจ้าพวกนี้
  • 2:58 - 3:01
    หรือคุณอาจบอกได้เช่นกันว่า, มันเท่ากับสเแปน
  • 3:01 - 3:01
    ของแถวของ A
  • 3:01 - 3:04
    นั่นคือสาเหตุที่มันเรียกว่าสเปซแถว
  • 3:04 - 3:13
    นี่เท่ากับสแปนของแถวของ A
  • 3:13 - 3:15
    สองอย่างนี้เหมือนกัน
  • 3:15 - 3:16
    ทีนี้, พวกนี้คือสแปน
  • 3:16 - 3:18
    นั่นหมายความว่า นี่คือสับสเปซ คือผลรวม
  • 3:18 - 3:21
    เชิงเส้นของคอลัมน์เหล่านี้ทั้งหมด, หรือผลรวม
  • 3:21 - 3:22
    เชิงเส้นของแถวเหล่านี้ทั้งหมด
  • 3:22 - 3:26
    ถ้าเราอยากได้ฐานของมัน, เราก็ต้องหาเซตที่เล็กที่สุด
  • 3:26 - 3:29
    ของเวกเตอร์อิสระเชิงเส้น ที่เราสามารถใช้มัน
  • 3:29 - 3:31
    สร้างคอลัมน์ใดๆ พวกนี้
  • 3:31 - 3:35
    หรือเราสามารถสร้างแถวใดๆ เหล่านี้, ตรงนี้
  • 3:35 - 3:37
    ทีนี้, เกิดอะไรขึ้นเมื่อเราทำ A ในลักษณะ
  • 3:37 - 3:40
    ขั้นบันไดลดรูปตามแถว?
  • 3:40 - 3:46
    เราทำการดำเนินการแถวหลายๆ ครั้ง เพื่อให้มี
  • 3:46 - 3:49
    ลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถว
  • 3:49 - 3:49
    จริงไหม?
  • 3:49 - 3:52
    ดำเนินการแถวไปเรื่อยๆ, และคุณได้อะไร
  • 3:52 - 3:53
    แบบนี้
  • 3:53 - 3:57
    คุณจะได้ขั้นบันไดลดรูปตามแถวของ A
  • 3:57 - 4:00
    ขั้นบันไดลดรูปตามแถวของ A จะเป็น
  • 4:00 - 4:01
    แบบนี้
  • 4:01 - 4:04
    คุณจะได้แถวจุดหมุน, แถวที่
  • 4:04 - 4:06
    มีค่าจุดหมุน
  • 4:06 - 4:08
    สมมุติว่านั่นคือตัวหนึ่ง
  • 4:08 - 4:09
    สมมุติว่านั่นคือตัวหนึ่ง
  • 4:09 - 4:11
    นี่จะมี 0 ลงไปเรื่อยๆ
  • 4:11 - 4:13
    อันนี้จะมี 0
  • 4:13 - 4:15
    ค่าจุดหมุนของคุณต้องไม่ใช่ศูนย์
  • 4:15 - 4:16
    ในคอลัมน์ของมัน
  • 4:16 - 4:18
    และทุกอย่างไปทางซ้ายของมันต้องเป็น 0
  • 4:18 - 4:20
    สมมุติว่าอันนี้ไม่ใช่
  • 4:20 - 4:21
    มีค่าที่ไม่ใช่ 0 อยู่
  • 4:21 - 4:23
    พวกนี้คือ 0
  • 4:23 - 4:25
    เรามีค่าจุดหมุนอีกตัวตรงนี้
  • 4:25 - 4:25
    อย่างอื่นเป็น 0 หมด
  • 4:25 - 4:29
    สมมุติว่าทุกอย่างที่เหลือไม่ใช่ค่าจุดหมุน
  • 4:29 - 4:33
    แล้วคุณมาตรงนี้ และคุณมีแถวจุดหมุน
  • 4:33 - 4:35
    หลายๆ ตัว, หรือค่าจุดหมุนจำนวนหนึ่ง, จริงไหม?
  • 4:35 - 4:38
    และคุณได้อันนี้มาจากการดำเนินการแถว
  • 4:38 - 4:39
    เชิงเส้นกับเจ้าพวกนี้
  • 4:39 - 4:42
    แล้วการดำเนินการแถวเชิงเส้้นเหล่านี้ -- คุณก็รู้, ผมหา
  • 4:42 - 4:45
    3 คูณแถวที่สอง, และผมบวกมันกับแถวที่ 1, นั่นจะ
  • 4:45 - 4:46
    กลายเป็นแถวที่สองอันใหม่ของผม
  • 4:46 - 4:48
    แล้วคุณก็ทำไป แล้วคุณได้พวกนี้ตรงนี้
  • 4:48 - 4:49
    สิ่งเหล่านี้ตรงนี้คือผลรวม
  • 4:49 - 4:51
    เชิงเส้นของเจ้าพวกนั้น
  • 4:51 - 4:53
    หรือวิธีทำอีกอย่างคือ, คุณย้อนการดำเนินการ
  • 4:53 - 4:53
    แถวเหล่านั้น
  • 4:53 - 4:56
    ผมสามารถเริ่มด้วยเจ้านี่ตรงนี้
  • 4:56 - 4:59
    และเราสามารถทำการย้อนการดำเนินการ
  • 4:59 - 5:00
    แถวได้ง่ายๆ
  • 5:00 - 5:02
    การดำเนินการเชิงเส้นใด, คุณสามารถทำการย้อนได้
  • 5:02 - 5:04
    เราเห็นมาหลายครั้งแล้ว
  • 5:04 - 5:10
    คุณสามารถดำเนินการแถวกับเจ้าพวกนี้ เพื่อ
  • 5:10 - 5:11
    ให้ได้เจ้าพวกนี้ทั้งหมดได้
  • 5:11 - 5:15
    หรือวิธีมองอีกอย่างคือว่า, เวกเตอร์พวกนี้ตรงนี้, แถว
  • 5:15 - 5:20
    พวกนี้ตรงนี้, พวกมันสแปนทั้งหมดนี่ -- หรือเวกเตอร์แถว
  • 5:20 - 5:23
    ทั้งหมดนี้สามารถแทนได้ด้วยผลรวมเชิงเส้นของ
  • 5:23 - 5:24
    แถวจุดหมุนตรงนี้
  • 5:24 - 5:29
    แน่นอน, แถวที่ไม่ใช่จุดหมุนของคุณ จะเป็น 0 หมด
  • 5:29 - 5:31
    และพวกนี้จะไม่มีความหมาย
  • 5:31 - 5:34
    แต่, แถวจุดหมุนของคุณ, ถ้าคุณหาผลรวมเชิงเส้น
  • 5:34 - 5:38
    ของพวกมัน, คุณจะย้อนลักษณะขั้นบันไดแล้ว
  • 5:38 - 5:39
    ได้เมทริกซ์ของคุณกลับมา
  • 5:39 - 5:41
    ดังนั้น, เจ้าพวกนี้ทั้งหมดสามารถแทนได้ด้วย
  • 5:41 - 5:43
    ผลรวมเชิงเส้นของพวกมัน
  • 5:43 - 5:47
    และค่าจุดหมุนทั้งหมดนี้ ตามนิยามแล้ว -- อืม
  • 5:47 - 5:49
    เกือบตามนิยามแล้ว -- พวกมันเป็น
  • 5:49 - 5:50
    อิสระเชิงเส้น, จริงไหม?
  • 5:50 - 5:51
    เพราะผมมี 1 ตรงนี้
  • 5:51 - 5:53
    ไม่มีตัวไหนมี 1 ตรงนี้
  • 5:53 - 5:56
    เจ้านี่จึงไม่สามารถแทนได้ด้วยผลรวม
  • 5:56 - 5:58
    เชิงเส้นของตัวอื่น
  • 5:58 - 6:01
    ทำไมผมถึงทำแบบฝึกหัดนี้ด้วย?
  • 6:01 - 6:02
    ตรงนี้, เราเริ่มต้นบอกว่า เราอยากหา
  • 6:02 - 6:05
    ฐานของสเปซแถว
  • 6:05 - 6:10
    เราอยากได้เซตที่เล็กที่สุดของเวกเตอร์อิสระเชิงเส้น
  • 6:10 - 6:13
    ที่สแปนทุกอย่างที่เจ้าพวกนี้สแปนได้
  • 6:13 - 6:15
    ทีนี้, ถ้าเจ้าพวกนี้ทั้งหมด สามารถแทนได้ด้วย
  • 6:15 - 6:18
    ผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์แถวเหล่านี้ในลักษณะขั้นบันไดลดรูป
  • 6:18 - 6:23
    ตามแถว -- หรือแถวจุดหมุนในลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถว --
  • 6:23 - 6:26
    เจ้าพวกนี้จะเป็นอิสระเชิงส้นทั้งหมด, แล้วพวกมัน
  • 6:26 - 6:28
    จะเป็นฐานที่เข้าท่า
  • 6:28 - 6:31
    แถวจุดหมุนเหล่านี้ตรงนี้, นั่นคือตัวหนึ่ง, นี่
  • 6:31 - 6:34
    คือตัวที่สอง, นี่คือตัวที่สาม, บางทีพวกมัน
  • 6:34 - 6:34
    อาจมีแค่สาม
  • 6:34 - 6:36
    นี่คือตัวอย่างเฉพาะขอผม
  • 6:36 - 6:39
    มันจะเป็นฐานที่เหมาะสมสำหรับสเปซแถว
  • 6:39 - 6:41
    ขอผมเขียนนี่ลงไปนะ
  • 6:41 - 6:57
    แถวจุดหมุนในลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถวของ A เป็นฐาน
  • 6:57 - 7:03
    ของสเปซว่างของ A
  • 7:03 - 7:07
    แล้วสเปซแถวของ A, หรือสเปซ
  • 7:07 - 7:08
    คอลัมน์ของ A ทรานสโพสก็เหมือนกัน
  • 7:08 - 7:10
    สเปซแถวของ A เหมือนกับ
  • 7:10 - 7:11
    สเปซคอลัมน์ของ A ทรานสโพส
  • 7:11 - 7:13
    เราเห็นมาหลายครั้งแล้ว
  • 7:13 - 7:17
    ทีนี้, ถ้าเราอยากรู้มิติของสเปซ
  • 7:17 - 7:21
    คอลัมน์คุณ, เราก็แค่นับจำนวนแถวจุดหมุนที่คุณมี
  • 7:21 - 7:23
    คุณก็แค่นับจำนวนแถวจุดหมุน
  • 7:23 - 7:26
    แล้วมิติของสเปซแถวคุณ, ซึ่งก็เหมือนกับ
  • 7:26 - 7:28
    สเปซคอลัมน์ของ A ทรานสโพส, จะ
  • 7:28 - 7:32
    เป็นจำนวนของแถวจุดหมุน ที่คุณมีในลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถว
  • 7:32 - 7:35
    หรือ, ถ้าให้ง่ายกว่านั้น, คือจำนวนค่าจุดหมุนที่คุณมี
  • 7:35 - 7:37
    เพราะค่าจุดหมุนทุกค่ามีแถวจุดหมุน
  • 7:37 - 7:47
    แล้วเราสามารถเขียนได้ว่า แรงค์ของ A ทรานสโพส
  • 7:47 - 7:57
    เท่ากับจำนวนค่าจุดหมุนของลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถวของ A
  • 7:57 - 7:57
    จริงไหม?
  • 7:57 - 8:00
    เพราะค่าจุดหมุนทุกจุดตรงกับแถวจุดหมุน
  • 8:00 - 8:04
    แถวจุดหมุนเหล่านั้น เป็นฐานที่เหมาะสมสำหรับสเปซ
  • 8:04 - 8:06
    แถวทั้งหมด, เพราะทุกแถวสามารถสร้างได้จาก
  • 8:06 - 8:08
    ผลรวมเชิงเส้นของเจ้าพวกนี้
  • 8:08 - 8:10
    และเนื่องจากทั้งหมดนี้สามารถ, อะไรก็ตามที่เจ้าพวกนี้
  • 8:10 - 8:13
    สร้างได้, เจ้าพวกนี้ก็สร้างได้
  • 8:13 - 8:14
    ใช้ได้
  • 8:14 - 8:16
    ทีนี้, แรงค์ของ A คืออะไร?
  • 8:16 - 8:18
    นี่คือแรงค์ของ A ทรานสโพส ที่เรา
  • 8:18 - 8:20
    ทำมาถึงตอนนี้
  • 8:20 - 8:30
    แรงค์ของ A เท่ากับมิติของ
  • 8:30 - 8:33
    สเปซคอลัมน์ของ A
  • 8:33 - 8:42
    หรือ, คุณบอกได้ว่า มันคือจำนวนเวกเตอร์ในฐาน
  • 8:42 - 8:44
    สำหรับสเปซคอลัมน์ของ A
  • 8:44 - 8:51
    แล้วถ้าเราเอาเมทริกซ์ A เดิมที่เราใช้บนนี้มา, และเรา
  • 8:51 - 8:56
    เขียนมันเป็นเวกเตอร์คอลัมน์หลายๆ ตัวแทน, ได้ c1, c2,
  • 8:56 - 8:58
    ไปจนถึง cn
  • 8:58 - 9:00
    เรามี n คอลัมน์ตรงนี้
  • 9:00 - 9:02
    สเปซคอลัมน์ก็คือสับสเปซ
  • 9:02 - 9:05
    ที่สแปนโดยเจ้าพวกนี้ทั้งหมดตรงนี้, จริงไหม?
  • 9:05 - 9:07
    สแปนโดยเวกเตอร์คอลัมน์พวกนี้แต่ลตัว
  • 9:07 - 9:14
    แล้วสเปซคอลัมน์ของ A เท่ากับสแปนของ c1, c2
  • 9:14 - 9:16
    ไปจนถึง cn
  • 9:16 - 9:17
    นั่นคือนิยามของมัน
  • 9:17 - 9:19
    แต่เราอยากรู้จำนวนของเวกเตอร์ฐาน
  • 9:19 - 9:23
    และเราเห็นมาก่อนแล้ว -- เราทำมาหลายครั้งแล้ว --
  • 9:23 - 9:25
    เวกเตอร์ฐานที่เหมาะสมคืออะไร
  • 9:25 - 9:29
    ถ้าเราเขียนมันในลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถว, และคุณมี
  • 9:29 - 9:33
    ค่าจุดหมุน และคอลัมน์จุดหมุนที่ตรงกัน,
  • 9:33 - 9:36
    ค่าจุดหมุน กับคอลัมน์จุดหมุนที่ตรงกัน
  • 9:36 - 9:37
    ของพวกมันแบบนั้น
  • 9:37 - 9:42
    บางทีอันนั้นเป็นแบบนั้น, แล้วอันนี้ไม่ใช่,
  • 9:42 - 9:43
    แล้วอันนี้ใช่
  • 9:43 - 9:44
    คุณก็จะได้เวกเตอร์จุดหมุนจำนวนหนึ่งมา
  • 9:44 - 9:47
    -
  • 9:47 - 9:49
    ขอผมใช้อีกสีหนึ่งตรงนี้นะ
  • 9:49 - 9:53
    เมื่อคุณเขียน A ในลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถว, เรา
  • 9:53 - 9:57
    รู้ว่าเวกเตอร์ฐาน, หรือคอลัมน์ฐานที่สร้าง
  • 9:57 - 9:59
    ฐานสำหรับสเปซคอลัมน์ของคุณ, คือคอลัมน์
  • 9:59 - 10:02
    ที่ตรงกับคอลัมน์จุดหมุน
  • 10:02 - 10:05
    แล้วคอลัมน์แรกตรงนี้คือคอลัมน์จุดหมุน, แล้วเจ้านี่
  • 10:05 - 10:06
    จะเป็นเวกเตอร์ฐาน
  • 10:06 - 10:08
    คอลัมน์ที่สอง, เจ้านี่ก็เป็นเวกเตอร์จุดหมุนด้วย
  • 10:08 - 10:11
    หรือบางทีตัวที่สี่ตรงนี้, เจ้านี่ก็เป็น
  • 10:11 - 10:12
    เวกเตอร์จุดหมุนด้วย
  • 10:12 - 10:16
    ดังนั้นโดยทั่วไป, เราก็บอกว่า เฮ้, ถ้าคุณอยากนับ
  • 10:16 - 10:17
    จำนวนเวกเตอร์ฐาน -- เพราะเราไม่ต้องรู้
  • 10:17 - 10:18
    ว่าเวกเตอร์ฐานคืออะไร เวลาหาแรงค์
  • 10:18 - 10:20
    เราแค่ต้องรู้จำนวนของมัน
  • 10:20 - 10:23
    แล้วคุณบอกว่า, ทีนี้, สำหรับคอลัมน์จุดหมุนทุกตัวตรงนี้, เราจะ
  • 10:23 - 10:25
    เวกเตอร์ฐานตรงนี้
  • 10:25 - 10:27
    เราก็แค่นับจำนวนคอลัมน์จุดหมุน
  • 10:27 - 10:30
    แต่จำนวนของคอลัมน์จุดหมุน เท่ากับ
  • 10:30 - 10:32
    จำนวนค่าจุดหมุน ที่เรามี. เพราะค่าจุดหมุน
  • 10:32 - 10:33
    ทุกค่ามีคอลัมน์ของมันเอง
  • 10:33 - 10:42
    เราก็บอกได้ว่า แรงค์ของ A เท่ากับจำนวน
  • 10:42 - 10:50
    ค่าจุดหมุนในลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถวของ A
  • 10:50 - 10:53
    และ, อย่างที่คุณเห็นได้ชัดแล้ว, นั่นเหมือนกับ
  • 10:53 - 10:56
    สิ่งที่เราสรุปไปว่า เท่ากับแรงค์ของ A
  • 10:56 - 10:57
    ทรานสโพส -- คือมิติของ
  • 10:57 - 11:00
    สเปซคอลัมน์ของ A ทรานสโพส
  • 11:00 - 11:02
    หรือมิติของสเปซว่างของ A
  • 11:02 - 11:04
    เราจึงสามารถเขียนสรุปได้แล้ว
  • 11:04 - 11:11
    แรงค์ของ A ย่อมเท่ากับแรงค์ของ
  • 11:11 - 11:12
    A ทรานสโพสแน่นอน
  • 11:12 - 11:13
    -
Title:
Linear Algebra: Rank(A) = Rank(transpose of A)
Description:
more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
11:14

Thai subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.