0:00:00.000,0:00:00.520
-

0:00:00.520,0:00:04.360
ในวิดีโอก่อนๆ, ผมได้กล่าวไว้ว่าแรงค์ของ

0:00:04.360,0:00:08.280
เมทริกซ์ A เท่ากับแรงค์ของทรานสโพสของมัน

0:00:08.280,0:00:09.910
และผมให้เหตุผลแบบลวกๆ ไป

0:00:09.910,0:00:12.310
มันคือตอนจบของวิดีโอ, และผมเหนื่อยแล้ว

0:00:12.310,0:00:13.710
ที่จริงมันตอนท้ายของวันแล้ว

0:00:13.710,0:00:16.810
และผมว่ามันมีค่าที่จะพูดถึง

0:00:16.810,0:00:17.300
มันอีกหน่อย

0:00:17.300,0:00:18.620
เพราะมันเป็นบทเรียนที่สำคัญ

0:00:18.620,0:00:21.550
มันจะช่วยให้เราเข้าใจทุกอย่างเที่เราเรียน

0:00:21.550,0:00:23.200
ได้ดีขึ้น

0:00:23.200,0:00:25.560
ลองมาเข้าใจ -- ผมจะเริ่มต้นด้วย

0:00:25.560,0:00:26.830
แรงค์ของ A ทรานสโพสก่อน

0:00:26.830,0:00:31.630
-

0:00:31.630,0:00:37.080
แรงค์ของ A ทรานสโพส เท่ากับมิติของ

0:00:37.080,0:00:40.020
สเปซคอลัมน์ของ A ทรานสโพส

0:00:40.020,0:00:42.690
นั่นคือนิยามของแรงค์

0:00:42.690,0:00:46.810
มิติของสเปซคอลัมน์ของ A ทรานสโพส

0:00:46.810,0:00:53.950
คือจำนวนเวกเตอร์ฐานสำหรับ

0:00:53.950,0:00:55.330
สเปซคอลัมน์ของ A ทรานสโพส

0:00:55.330,0:00:56.810
นั่นคิอมิติ

0:00:56.810,0:00:59.900
สำหรับสับสเปซใดๆ, คุณหาได้ว่ามีเวกเตอร์ฐานกี่ตัวที่

0:00:59.900,0:01:01.910
คุณจำเป็นต้องใช้ในสับสเปซ, และคุณนับมัน

0:01:01.910,0:01:02.830
นั่นก็คือมิติของคุณ

0:01:02.830,0:01:07.180
มันก็คือจำนวนเวกเตอร์ฐานของสเปซคอลัมน์

0:01:07.180,0:01:10.150
ของ A ทรานสโพส, ซึ่งก็เหมือนกันแน่นอน

0:01:10.150,0:01:12.530
สิ่งนี้เราเห็นมาหลายครั้งแล้ว, มันเหมือนกับ

0:01:12.530,0:01:13.780
สเปซแถวของ A

0:01:13.780,0:01:17.690
-

0:01:17.690,0:01:17.950
จริงไหม?

0:01:17.950,0:01:20.220
คอลัมน์ของ A ทรานสโพสนั้นเหมือนกับ

0:01:20.220,0:01:21.785
แถวของ A

0:01:21.785,0:01:24.310
เพราะคุณสลับแถวกับคอลัมน์กัน

0:01:24.310,0:01:27.480
ทีนี้, เราจะหาจำนวนของเวกเตอร์ฐาน

0:01:27.480,0:01:30.390
ที่เราต้องใช้สำหรับสเปซคอลัมน์ของ A ทรานสโพส, หรือ

0:01:30.390,0:01:32.040
สเปซแถวของ A ได้อย่างไร?

0:01:32.040,0:01:34.160
ลองคิดถึงสเปซคอลัมน์ของ A

0:01:34.160,0:01:36.330
ทรานสโพสว่ามันบอกอะไรเรา

0:01:36.330,0:01:38.290
มันก็เท่ากับ -- สมมุติว่า, ขอผม

0:01:38.290,0:01:39.690
วาด A แบบนี้นะ

0:01:39.690,0:01:43.400
-

0:01:43.400,0:01:44.420
นั่นคือเมทริกซ์ A

0:01:44.420,0:01:47.160
สมมุติว่ามันคือเมทริกซ์ขนาด m คูณ n

0:01:47.160,0:01:49.210
ขอผมเขียนมันเป็นเวกเตอร์แถวหลายๆ ตัวนะ

0:01:49.210,0:01:51.040
ผมสามารถเขียนมันเป็นเวกเตอร์คอลัมน์หลายๆ ตัว, แต่

0:01:51.040,0:01:53.150
ตรงนี้ลองใช้เวกเตอร์แถวกัน

0:01:53.150,0:01:55.420
เรามีแถวที่ 1

0:01:55.420,0:01:57.420
ทรานสโพสของเวกเตอร์คอลัมน์

0:01:57.420,0:02:02.460
นั่นคือแถว 1, และเราจะมีแถว 2, และ

0:02:02.460,0:02:05.710
เราก็ไปจนถึงแถวที่ m

0:02:05.710,0:02:06.010
จริงไหม?

0:02:06.010,0:02:06.970
มันคือเมทริกซ์ขนาด m คูณ n

0:02:06.970,0:02:10.289
เวกเตอร์แต่ลตัวนี้ จะเป็นสมาชิกของ rn, เพราะพวกมัน

0:02:10.289,0:02:11.690
จะมีค่า n ค่าในนั้น

0:02:11.690,0:02:13.800
เพราะเรามี n คอลัมน์

0:02:13.800,0:02:15.730
แล้ว, A จะเป็นอย่างไร

0:02:15.730,0:02:17.050
A จะเป็นแบบนั้น

0:02:17.050,0:02:20.660
แล้ว A ทรานสโพส, แถวพวกนี้ทั้งหมด

0:02:20.660,0:02:22.480
จะเป็นคอลัมน์

0:02:22.480,0:02:27.670
A ทรานสโพสจะเป็นแบบนี้. r1, r2,

0:02:27.670,0:02:30.890
ไปจนถึง rm

0:02:30.890,0:02:33.880
และนี่แน่นอนจะเป็นเมทริกซ์ขนาด n คูณ m

0:02:33.880,0:02:35.485
คุณสลับพวกนี้ไปได้

0:02:35.485,0:02:38.670
แล้วแถวพวกนี้ทั้งหมดจะเป็นคอลัมน์

0:02:38.670,0:02:39.650
จริงไหม?

0:02:39.650,0:02:41.590
และแน่นอน สเปซคอลัมน์ -- มันอาจไม่

0:02:41.590,0:02:47.350
ชัดเท่าไหร่ -- สเปซคอลัมน์ของ A ทรานสโพส เท่ากับ

0:02:47.350,0:02:56.270
สแปนของ r1, r2 ไปจนถึง rm

0:02:56.270,0:02:56.900
จริงไหม?

0:02:56.900,0:02:58.390
มันเท่ากับสแปนของเจ้าพวกนี้

0:02:58.390,0:03:00.780
หรือคุณอาจบอกได้เช่นกันว่า, มันเท่ากับสเแปน

0:03:00.780,0:03:01.470
ของแถวของ A

0:03:01.470,0:03:03.740
นั่นคือสาเหตุที่มันเรียกว่าสเปซแถว

0:03:03.740,0:03:12.560
นี่เท่ากับสแปนของแถวของ A

0:03:12.560,0:03:14.530
สองอย่างนี้เหมือนกัน

0:03:14.530,0:03:16.100
ทีนี้, พวกนี้คือสแปน

0:03:16.100,0:03:18.260
นั่นหมายความว่า นี่คือสับสเปซ คือผลรวม

0:03:18.260,0:03:20.700
เชิงเส้นของคอลัมน์เหล่านี้ทั้งหมด, หรือผลรวม

0:03:20.700,0:03:22.090
เชิงเส้นของแถวเหล่านี้ทั้งหมด

0:03:22.090,0:03:26.030
ถ้าเราอยากได้ฐานของมัน, เราก็ต้องหาเซตที่เล็กที่สุด

0:03:26.030,0:03:29.280
ของเวกเตอร์อิสระเชิงเส้น ที่เราสามารถใช้มัน

0:03:29.280,0:03:30.880
สร้างคอลัมน์ใดๆ พวกนี้

0:03:30.880,0:03:34.830
หรือเราสามารถสร้างแถวใดๆ เหล่านี้, ตรงนี้

0:03:34.830,0:03:37.270
ทีนี้, เกิดอะไรขึ้นเมื่อเราทำ A ในลักษณะ

0:03:37.270,0:03:40.070
ขั้นบันไดลดรูปตามแถว?

0:03:40.070,0:03:46.290
เราทำการดำเนินการแถวหลายๆ ครั้ง เพื่อให้มี

0:03:46.290,0:03:49.020
ลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถว

0:03:49.020,0:03:49.140
จริงไหม?

0:03:49.140,0:03:52.150
ดำเนินการแถวไปเรื่อยๆ, และคุณได้อะไร

0:03:52.150,0:03:53.050
แบบนี้

0:03:53.050,0:03:57.410
คุณจะได้ขั้นบันไดลดรูปตามแถวของ A

0:03:57.410,0:03:59.610
ขั้นบันไดลดรูปตามแถวของ A จะเป็น

0:03:59.610,0:04:00.840
แบบนี้

0:04:00.840,0:04:04.180
คุณจะได้แถวจุดหมุน, แถวที่

0:04:04.180,0:04:05.650
มีค่าจุดหมุน

0:04:05.650,0:04:08.010
สมมุติว่านั่นคือตัวหนึ่ง

0:04:08.010,0:04:08.980
สมมุติว่านั่นคือตัวหนึ่ง

0:04:08.980,0:04:11.390
นี่จะมี 0 ลงไปเรื่อยๆ

0:04:11.390,0:04:12.770
อันนี้จะมี 0

0:04:12.770,0:04:14.760
ค่าจุดหมุนของคุณต้องไม่ใช่ศูนย์

0:04:14.760,0:04:16.180
ในคอลัมน์ของมัน

0:04:16.180,0:04:18.220
และทุกอย่างไปทางซ้ายของมันต้องเป็น 0

0:04:18.220,0:04:19.790
สมมุติว่าอันนี้ไม่ใช่

0:04:19.790,0:04:21.360
มีค่าที่ไม่ใช่ 0 อยู่

0:04:21.360,0:04:22.600
พวกนี้คือ 0

0:04:22.600,0:04:24.690
เรามีค่าจุดหมุนอีกตัวตรงนี้

0:04:24.690,0:04:25.340
อย่างอื่นเป็น 0 หมด

0:04:25.340,0:04:29.350
สมมุติว่าทุกอย่างที่เหลือไม่ใช่ค่าจุดหมุน

0:04:29.350,0:04:32.510
แล้วคุณมาตรงนี้ และคุณมีแถวจุดหมุน

0:04:32.510,0:04:35.350
หลายๆ ตัว, หรือค่าจุดหมุนจำนวนหนึ่ง, จริงไหม?

0:04:35.350,0:04:37.630
และคุณได้อันนี้มาจากการดำเนินการแถว

0:04:37.630,0:04:38.880
เชิงเส้นกับเจ้าพวกนี้

0:04:38.880,0:04:41.670
แล้วการดำเนินการแถวเชิงเส้้นเหล่านี้ -- คุณก็รู้, ผมหา

0:04:41.670,0:04:44.655
3 คูณแถวที่สอง, และผมบวกมันกับแถวที่ 1, นั่นจะ

0:04:44.655,0:04:45.790
กลายเป็นแถวที่สองอันใหม่ของผม

0:04:45.790,0:04:47.840
แล้วคุณก็ทำไป แล้วคุณได้พวกนี้ตรงนี้

0:04:47.840,0:04:49.170
สิ่งเหล่านี้ตรงนี้คือผลรวม

0:04:49.170,0:04:50.890
เชิงเส้นของเจ้าพวกนั้น

0:04:50.890,0:04:52.830
หรือวิธีทำอีกอย่างคือ, คุณย้อนการดำเนินการ

0:04:52.830,0:04:53.380
แถวเหล่านั้น

0:04:53.380,0:04:56.170
ผมสามารถเริ่มด้วยเจ้านี่ตรงนี้

0:04:56.170,0:04:58.990
และเราสามารถทำการย้อนการดำเนินการ

0:04:58.990,0:05:00.420
แถวได้ง่ายๆ

0:05:00.420,0:05:02.470
การดำเนินการเชิงเส้นใด, คุณสามารถทำการย้อนได้

0:05:02.470,0:05:04.040
เราเห็นมาหลายครั้งแล้ว

0:05:04.040,0:05:09.690
คุณสามารถดำเนินการแถวกับเจ้าพวกนี้ เพื่อ

0:05:09.690,0:05:11.420
ให้ได้เจ้าพวกนี้ทั้งหมดได้

0:05:11.420,0:05:15.070
หรือวิธีมองอีกอย่างคือว่า, เวกเตอร์พวกนี้ตรงนี้, แถว

0:05:15.070,0:05:20.400
พวกนี้ตรงนี้, พวกมันสแปนทั้งหมดนี่ -- หรือเวกเตอร์แถว

0:05:20.400,0:05:23.170
ทั้งหมดนี้สามารถแทนได้ด้วยผลรวมเชิงเส้นของ

0:05:23.170,0:05:24.190
แถวจุดหมุนตรงนี้

0:05:24.190,0:05:29.280
แน่นอน, แถวที่ไม่ใช่จุดหมุนของคุณ จะเป็น 0 หมด

0:05:29.280,0:05:31.380
และพวกนี้จะไม่มีความหมาย

0:05:31.380,0:05:33.670
แต่, แถวจุดหมุนของคุณ, ถ้าคุณหาผลรวมเชิงเส้น

0:05:33.670,0:05:37.870
ของพวกมัน, คุณจะย้อนลักษณะขั้นบันไดแล้ว

0:05:37.870,0:05:39.190
ได้เมทริกซ์ของคุณกลับมา

0:05:39.190,0:05:41.280
ดังนั้น, เจ้าพวกนี้ทั้งหมดสามารถแทนได้ด้วย

0:05:41.280,0:05:42.730
ผลรวมเชิงเส้นของพวกมัน

0:05:42.730,0:05:47.140
และค่าจุดหมุนทั้งหมดนี้ ตามนิยามแล้ว -- อืม

0:05:47.140,0:05:48.590
เกือบตามนิยามแล้ว -- พวกมันเป็น

0:05:48.590,0:05:49.900
อิสระเชิงเส้น, จริงไหม?

0:05:49.900,0:05:50.970
เพราะผมมี 1 ตรงนี้

0:05:50.970,0:05:53.320
ไม่มีตัวไหนมี 1 ตรงนี้

0:05:53.320,0:05:55.880
เจ้านี่จึงไม่สามารถแทนได้ด้วยผลรวม

0:05:55.880,0:05:57.990
เชิงเส้นของตัวอื่น

0:05:57.990,0:06:00.710
ทำไมผมถึงทำแบบฝึกหัดนี้ด้วย?

0:06:00.710,0:06:02.300
ตรงนี้, เราเริ่มต้นบอกว่า เราอยากหา

0:06:02.300,0:06:05.470
ฐานของสเปซแถว

0:06:05.470,0:06:09.600
เราอยากได้เซตที่เล็กที่สุดของเวกเตอร์อิสระเชิงเส้น

0:06:09.600,0:06:12.610
ที่สแปนทุกอย่างที่เจ้าพวกนี้สแปนได้

0:06:12.610,0:06:14.920
ทีนี้, ถ้าเจ้าพวกนี้ทั้งหมด สามารถแทนได้ด้วย

0:06:14.920,0:06:17.660
ผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์แถวเหล่านี้ในลักษณะขั้นบันไดลดรูป

0:06:17.660,0:06:23.090
ตามแถว -- หรือแถวจุดหมุนในลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถว --

0:06:23.090,0:06:25.910
เจ้าพวกนี้จะเป็นอิสระเชิงส้นทั้งหมด, แล้วพวกมัน

0:06:25.910,0:06:27.980
จะเป็นฐานที่เข้าท่า

0:06:27.980,0:06:30.810
แถวจุดหมุนเหล่านี้ตรงนี้, นั่นคือตัวหนึ่ง, นี่

0:06:30.810,0:06:33.750
คือตัวที่สอง, นี่คือตัวที่สาม, บางทีพวกมัน

0:06:33.750,0:06:34.380
อาจมีแค่สาม

0:06:34.380,0:06:36.050
นี่คือตัวอย่างเฉพาะขอผม

0:06:36.050,0:06:38.715
มันจะเป็นฐานที่เหมาะสมสำหรับสเปซแถว

0:06:38.715,0:06:40.520
ขอผมเขียนนี่ลงไปนะ

0:06:40.520,0:06:57.480
แถวจุดหมุนในลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถวของ A เป็นฐาน

0:06:57.480,0:07:03.470
ของสเปซว่างของ A

0:07:03.470,0:07:07.180
แล้วสเปซแถวของ A, หรือสเปซ

0:07:07.180,0:07:08.230
คอลัมน์ของ A ทรานสโพสก็เหมือนกัน

0:07:08.230,0:07:10.370
สเปซแถวของ A เหมือนกับ

0:07:10.370,0:07:11.490
สเปซคอลัมน์ของ A ทรานสโพส

0:07:11.490,0:07:13.150
เราเห็นมาหลายครั้งแล้ว

0:07:13.150,0:07:16.870
ทีนี้, ถ้าเราอยากรู้มิติของสเปซ

0:07:16.870,0:07:20.770
คอลัมน์คุณ, เราก็แค่นับจำนวนแถวจุดหมุนที่คุณมี

0:07:20.770,0:07:22.530
คุณก็แค่นับจำนวนแถวจุดหมุน

0:07:22.530,0:07:25.740
แล้วมิติของสเปซแถวคุณ, ซึ่งก็เหมือนกับ

0:07:25.740,0:07:28.360
สเปซคอลัมน์ของ A ทรานสโพส, จะ

0:07:28.360,0:07:32.420
เป็นจำนวนของแถวจุดหมุน ที่คุณมีในลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถว

0:07:32.420,0:07:35.010
หรือ, ถ้าให้ง่ายกว่านั้น, คือจำนวนค่าจุดหมุนที่คุณมี

0:07:35.010,0:07:37.430
เพราะค่าจุดหมุนทุกค่ามีแถวจุดหมุน

0:07:37.430,0:07:46.760
แล้วเราสามารถเขียนได้ว่า แรงค์ของ A ทรานสโพส

0:07:46.760,0:07:57.180
เท่ากับจำนวนค่าจุดหมุนของลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถวของ A

0:07:57.180,0:07:57.490
จริงไหม?

0:07:57.490,0:07:59.950
เพราะค่าจุดหมุนทุกจุดตรงกับแถวจุดหมุน

0:07:59.950,0:08:03.840
แถวจุดหมุนเหล่านั้น เป็นฐานที่เหมาะสมสำหรับสเปซ

0:08:03.840,0:08:06.260
แถวทั้งหมด, เพราะทุกแถวสามารถสร้างได้จาก

0:08:06.260,0:08:07.910
ผลรวมเชิงเส้นของเจ้าพวกนี้

0:08:07.910,0:08:10.270
และเนื่องจากทั้งหมดนี้สามารถ, อะไรก็ตามที่เจ้าพวกนี้

0:08:10.270,0:08:12.970
สร้างได้, เจ้าพวกนี้ก็สร้างได้

0:08:12.970,0:08:13.930
ใช้ได้

0:08:13.930,0:08:16.350
ทีนี้, แรงค์ของ A คืออะไร?

0:08:16.350,0:08:18.160
นี่คือแรงค์ของ A ทรานสโพส ที่เรา

0:08:18.160,0:08:20.440
ทำมาถึงตอนนี้

0:08:20.440,0:08:30.350
แรงค์ของ A เท่ากับมิติของ

0:08:30.350,0:08:32.620
สเปซคอลัมน์ของ A

0:08:32.620,0:08:41.669
หรือ, คุณบอกได้ว่า มันคือจำนวนเวกเตอร์ในฐาน

0:08:41.669,0:08:44.450
สำหรับสเปซคอลัมน์ของ A

0:08:44.450,0:08:50.910
แล้วถ้าเราเอาเมทริกซ์ A เดิมที่เราใช้บนนี้มา, และเรา

0:08:50.910,0:08:55.860
เขียนมันเป็นเวกเตอร์คอลัมน์หลายๆ ตัวแทน, ได้ c1, c2,

0:08:55.860,0:08:57.720
ไปจนถึง cn

0:08:57.720,0:09:00.440
เรามี n คอลัมน์ตรงนี้

0:09:00.440,0:09:02.490
สเปซคอลัมน์ก็คือสับสเปซ

0:09:02.490,0:09:05.150
ที่สแปนโดยเจ้าพวกนี้ทั้งหมดตรงนี้, จริงไหม?

0:09:05.150,0:09:06.790
สแปนโดยเวกเตอร์คอลัมน์พวกนี้แต่ลตัว

0:09:06.790,0:09:13.810
แล้วสเปซคอลัมน์ของ A เท่ากับสแปนของ c1, c2

0:09:13.810,0:09:15.810
ไปจนถึง cn

0:09:15.810,0:09:17.410
นั่นคือนิยามของมัน

0:09:17.410,0:09:19.280
แต่เราอยากรู้จำนวนของเวกเตอร์ฐาน

0:09:19.280,0:09:23.020
และเราเห็นมาก่อนแล้ว -- เราทำมาหลายครั้งแล้ว --

0:09:23.020,0:09:25.170
เวกเตอร์ฐานที่เหมาะสมคืออะไร

0:09:25.170,0:09:28.800
ถ้าเราเขียนมันในลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถว, และคุณมี

0:09:28.800,0:09:33.480
ค่าจุดหมุน และคอลัมน์จุดหมุนที่ตรงกัน,

0:09:33.480,0:09:35.820
ค่าจุดหมุน กับคอลัมน์จุดหมุนที่ตรงกัน

0:09:35.820,0:09:37.380
ของพวกมันแบบนั้น

0:09:37.380,0:09:41.540
บางทีอันนั้นเป็นแบบนั้น, แล้วอันนี้ไม่ใช่,

0:09:41.540,0:09:42.620
แล้วอันนี้ใช่

0:09:42.620,0:09:44.210
คุณก็จะได้เวกเตอร์จุดหมุนจำนวนหนึ่งมา

0:09:44.210,0:09:47.040
-

0:09:47.040,0:09:49.450
ขอผมใช้อีกสีหนึ่งตรงนี้นะ

0:09:49.450,0:09:53.190
เมื่อคุณเขียน A ในลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถว, เรา

0:09:53.190,0:09:56.660
รู้ว่าเวกเตอร์ฐาน, หรือคอลัมน์ฐานที่สร้าง

0:09:56.660,0:09:59.090
ฐานสำหรับสเปซคอลัมน์ของคุณ, คือคอลัมน์

0:09:59.090,0:10:02.000
ที่ตรงกับคอลัมน์จุดหมุน

0:10:02.000,0:10:04.750
แล้วคอลัมน์แรกตรงนี้คือคอลัมน์จุดหมุน, แล้วเจ้านี่

0:10:04.750,0:10:05.780
จะเป็นเวกเตอร์ฐาน

0:10:05.780,0:10:08.010
คอลัมน์ที่สอง, เจ้านี่ก็เป็นเวกเตอร์จุดหมุนด้วย

0:10:08.010,0:10:10.720
หรือบางทีตัวที่สี่ตรงนี้, เจ้านี่ก็เป็น

0:10:10.720,0:10:11.880
เวกเตอร์จุดหมุนด้วย

0:10:11.880,0:10:15.690
ดังนั้นโดยทั่วไป, เราก็บอกว่า เฮ้, ถ้าคุณอยากนับ

0:10:15.690,0:10:17.290
จำนวนเวกเตอร์ฐาน -- เพราะเราไม่ต้องรู้

0:10:17.290,0:10:18.400
ว่าเวกเตอร์ฐานคืออะไร เวลาหาแรงค์

0:10:18.400,0:10:20.230
เราแค่ต้องรู้จำนวนของมัน

0:10:20.230,0:10:22.960
แล้วคุณบอกว่า, ทีนี้, สำหรับคอลัมน์จุดหมุนทุกตัวตรงนี้, เราจะ

0:10:22.960,0:10:24.530
เวกเตอร์ฐานตรงนี้

0:10:24.530,0:10:26.990
เราก็แค่นับจำนวนคอลัมน์จุดหมุน

0:10:26.990,0:10:29.510
แต่จำนวนของคอลัมน์จุดหมุน เท่ากับ

0:10:29.510,0:10:31.510
จำนวนค่าจุดหมุน ที่เรามี. เพราะค่าจุดหมุน

0:10:31.510,0:10:33.200
ทุกค่ามีคอลัมน์ของมันเอง

0:10:33.200,0:10:42.220
เราก็บอกได้ว่า แรงค์ของ A เท่ากับจำนวน

0:10:42.220,0:10:49.870
ค่าจุดหมุนในลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถวของ A

0:10:49.870,0:10:53.000
และ, อย่างที่คุณเห็นได้ชัดแล้ว, นั่นเหมือนกับ

0:10:53.000,0:10:55.940
สิ่งที่เราสรุปไปว่า เท่ากับแรงค์ของ A

0:10:55.940,0:10:57.480
ทรานสโพส -- คือมิติของ

0:10:57.480,0:10:59.720
สเปซคอลัมน์ของ A ทรานสโพส

0:10:59.720,0:11:02.240
หรือมิติของสเปซว่างของ A

0:11:02.240,0:11:04.450
เราจึงสามารถเขียนสรุปได้แล้ว

0:11:04.450,0:11:11.100
แรงค์ของ A ย่อมเท่ากับแรงค์ของ

0:11:11.100,0:11:12.350
A ทรานสโพสแน่นอน

0:11:12.350,0:11:13.300
-